重庆市南开中学2020届高三上学期第一次教学质量检测考试数学（理）试题

重庆市南开中学2020届高三上学期第一次教学质量检测考试数学（理）试题

重庆南开中学2020级高三第一次教学质量检测考试 数学（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得.‎ ‎【详解】由已知解得，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算和复数的共轭复数的概念求得.‎ ‎【详解】由已知得，‎ 所以，‎ 所以 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3.命题“若，则，”的否命题为（）‎ A. 若，则， B. 若，则或 C. 若，则， D. 若，则或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得.‎ ‎【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D.‎ ‎【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.‎ ‎4.关于函数与，下列说法一定正确的是（）‎ A. 定义域相同 B. 值域相同 C. 单调区间相同 D. 奇偶性相同 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域、值域、单调性和奇偶性的判断解得.‎ ‎【详解】对于A答案：的定义域是R，而的定义域是，故A错误；‎ 对于C答案：是复合函数，其单调需遵循“在定义域上，同增异减”的原则，故C错误；‎ 对于D答案：的定义域是的子集，故不具有奇偶性,故D错误；‎ 因为的值域是，故B正确.‎ ‎【点睛】本题考查函数的的定义域、值域、单调性和奇偶性，属于基础题.‎ ‎5.下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和单调性求解.‎ ‎【详解】由函数的奇偶性的判定方法，知选项是奇函数，所以排除选项，‎ 又因为在上单调递减，在选项中，只有选项符合，‎ 故选D ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.‎ ‎6.已知函数，则（）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.‎ ‎7.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，且，则以下说法：①的值域为；②方程有无穷多个解；③的图像关于直线对称；其中正确的个数为（）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的定义判断选项，可以选取特殊的值验证求解.‎ ‎【详解】由黎曼函数的定义可知的值域为（其中是大于或等于的自然数），故①错误；‎ 方程的解有： ，（其中是大于或等于的自然数），故②正确；‎ 对于任何的自然数，根据，所以的图像关于直线对称，故③正确；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查新定义函数，思考时牢牢抓住函数的定义，属于中档题.‎ ‎8.设，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用中介值“ ”，和指数的同指或同底时的大小比较得解.‎ ‎【详解】,‎ ‎, ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题.‎ ‎9.若函数的值域为，则的单调递增区间为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的值域得真数的最大值，从而求出参数的值，再根据复合函数的单调性的判断求解.‎ ‎【详解】由已知得令的最大值是，所以解得，‎ 所以 ，‎ 又因为在上且在上单调递增，在上单调递减，‎ 根据复合函数的单调性得C选项正确.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的值域和单调性，属于中档题.‎ ‎10.下图可能是下列哪个函数的图像（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手.‎ ‎【详解】由图像可知，在上单调递增，故可排除D；‎ 当时，A、选项中的选项中的 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域和特殊点的函数值辨别图像，属于基础题.‎ ‎11.已知是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知的含导函数的不等式构造成某个函数的导函数，得这个函数的单调性，再根据奇偶性得这个函数的大致图像趋势，并且得出其函数值的正负，从而得出的函数值的正负求解.‎ ‎【详解】当时，由得，即，‎ 所以，即，‎ 所以令，则在上单调递增，且，‎ 又因为上奇函数，所以也是奇函数，‎ 且在时，在时，‎ 又因为，‎ 所以在时，在时 解不等式中，‎ 当时，，所以其解集为；‎ 当时，，所以其解集为.‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题的关键在于构造函数分析其单调性、奇偶性和函数值的正负，从而得出的函数值的正负的取值范围，属于难度题.‎ ‎12.已知函数对满足：，，且，若，则（）‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抽象函数关系式赋值得特殊点的函数值，找出其函数值的周期规律得解.‎ ‎【详解】因为，‎ ‎∴，又 故，即 所以函数的周期为6，‎ 由已知可得 当时，，，又，‎ 所以，并且，‎ 所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的求值，考查函数的周期性，属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据导函数求值得切线的斜率，再用点斜式方程得切线方程.‎ ‎【详解】由已知得，所以，‎ 又因为，‎ 所以在点处的切线方程为，‎ 即，故得解.‎ ‎【点睛】本题考查根据导函数求切线方程，属于基础题.‎ ‎14.已知函数与函数的图像关于点对称，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像上的点关于点对称其坐标的关系得解.‎ ‎【详解】设上任意一点，点关于点对称的点 则 ‎ 且在函数的图像上，‎ 所以，即，‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题考查根据图像的对称性求解析式的问题，属于中档题.‎ ‎15.若关于的方程有两个不等正实根，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，即方程有两个大于1的不等正实根.‎ ‎【详解】令，即方程有两个大于1的不等正实根，‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题利用换元法转化为二次方程根的分布问题，属于中档题.‎ ‎16.若函数，的值域为，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别讨论对称轴与给定的区间的关系，得出函数在给定的区间上的单调性，从而得出最值求解不等式组.‎ ‎【详解】(1)当时，在单调递增，‎ 当时，的值域为，不满足题意；‎ ‎(2) 当时，在单调递增，‎ 当时，的值域为，不满足题意；‎ ‎(3) 当时，在单调递减，在单调递增，‎ 要使当时，的值域为，则需；‎ 即，解得；‎ ‎(4) 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，‎ 要使当时，的值域为，则需；‎ 即，解得；‎ 综上得知实数的取值范围是. ‎ 故得解.‎ ‎【点睛】本题关键在于讨论出函数在给定的区间的图像趋势得到最值，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知函数为奇函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据奇函数的定义可求得；‎ ‎(2)化简不等式转化为指数不等式求解.‎ ‎【详解】（1），，‎ 由题知，‎ 故即；‎ ‎（2）①，‎ 且②，‎ 又，故由①得，此时 ‎，‎ 故，∴，即不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和指数不等式，属于中档题.‎ ‎18.已知命题：函数不单调，命题：，.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由非命题的真假判断得不等式求解；‎ ‎(2)根据复合命题的真假判断条件，建立不等式组求解.‎ 详解】（1），，，故，‎ 又在上单增，∴，∴，‎ 由题知为假命题，故；‎ ‎（2），故不单调即，即为真命题，‎ 由（1）知为真命题，故为真命题，‎ 所以为假命题或.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假判断以及利用导函数研究函数的单调性，属于难度题.‎ ‎19.某省数学学会为选拔一批学生代表该省参加全国高中数学联赛，在省内组织了一次预选赛，该省各校学生均可报名参加.现从所有参赛学生中随机抽取人的成绩进行统计，发现这名学生中本次预选赛成绩优秀的男、女生人数之比为，成绩一般的男、女生人数之比为.已知从这名学生中随机抽取一名学生，抽到男生的概率是 ‎（1）请将下表补充完整，并判断是否有的把握认为在本次预选赛中学生的成绩优秀与性别有关？‎ 成绩优秀 成绩一般 总计 男生 女生 总计 ‎（2）以样本估计总体，视样本频率为相应事件发生的概率，从所有本次预选赛成绩优秀的学生中随机抽取人代表该省参加全国联赛，记抽到的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望.‎ 参考公式：，其中；‎ 临界值表供参考：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）填表见解析,有的把握认为二者有关；（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知概率和比例完善列联表，进行独立性检验得解；‎ ‎(2)随机变量服从二项分布，根据二项分布的数据特征值求解.‎ ‎【详解】解析：（1）根据表中所给数据计算可得：‎ 成绩优秀 成绩一般 总计 男生 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 女生 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 总计 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 故有的把握认为二者有关；‎ ‎（2）由题知，故的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验和二项分布，属于中档题.‎ ‎20.已知点到直线的距离比点到点的距离多.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）经过点的动直线与点的轨迹交于，两点，是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在满足条件的定点,详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据抛物线的定义可得解；‎ ‎(2)将角的相等关系转化到直线的斜率的关系，进而转化到交点的坐标的关系求解.‎ ‎【详解】（1）由题知，点到直线的距离，‎ 故点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，‎ 所以其方程为；‎ ‎（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点，则点必在轴上，可设其坐标为.‎ 此时，‎ 设，，则，‎ 由题知直线的斜率存在，设其方程为，与联立得，‎ 则，，‎ ‎，‎ 故，即存在满足条件的定点.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的关系，对于第二小问是常规题，转化成坐标的关系是关键，并且能最终转化成与韦达定理的关系，属于中档题.‎ ‎21.已知，函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设函数，若恰有两个零点，且当时，，求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导函数后，讨论参数的范围使之能判断导函数的符号，从而得原函数的单调性；‎ ‎(2)由(1)得两个零点的范围，从而得参数的范围，建立不等式求解.‎ ‎【详解】解析：（1），∵，故 当时，在上单减，在上单增；‎ 当时，在和上单增，在上单减；‎ 当时，在上单增；‎ 当时，在和上单增，在上单减；‎ ‎（2）结合（1）知；‎ 当时，，故，不存在零点；‎ 又当时，，当时，，当时，‎ ‎，∴只有一个零点；‎ 故，‎ 此时存在两个零点且当时即，‎ 此时，，，在上单增，上单减，‎ 而①，又，代入①式得 ‎，‎ 又，故，‎ ‎∴即，‎ ‎∴即可，∴.‎ ‎【点睛】本题考查根据导函数的正负研究原函数的图像趋势，进而解决相关的零点、不等式恒成立或满足不等式求解参数的范围等问题，属于难度题.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点在上，直线经过点且与直线垂直.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点在曲线上运动（异于点），射线交直线于点，求线段的中点轨迹的极坐标方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知条件先求出直线的普通方程，再转化成极坐标方程；‎ ‎(2)直接用极坐标表示、两点，运用中点坐标公式求解.‎ ‎【详解】解析：（1）由题知，，‎ 故点的直角坐标为，由知直线的倾斜角为，故直线的直角坐标方程为，所以其极坐标方程为即；‎ ‎（2）由题知可设，，其中，‎ 则中点极坐标为，由在曲线上得，由在直线上得，故中点的极坐标为，‎ 所以中点轨迹的极坐标方程为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标与平面直角坐标互化，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设，若对任意成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据对含两个绝对值符号的三段式讨论化简函数表达式求解不等式；‎ ‎(2)构造柯西不等式求最值.‎ 详解】解析：（1），‎ 当时，即，∴；‎ 当时，即，∴；‎ 当时，即，无解；‎ 综上，；‎ ‎（2）由（1）知，当时，取到最小值，故对任意成立，‎ 即，‎ 由柯西不等式知，‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎∴，即，‎ 当，，时，右边等号成立，∴的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查含两个绝对值符号的讨论方法和构造柯西不等式，属于中档题.‎ ‎ ‎