中考数学专题复习练习：切线的判定和性质

中考数学专题复习练习：切线的判定和性质

例 如图，△ABC内接于大⊙O，∠B＝∠C，小⊙O与AB相切于点D．求证：AC是小圆的切线．‎ ‎ 分析 AC与小⊙O的公共点没有确定，故应过O作AC的垂线段OE．再证明OE等于小圆半径，用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC是小圆的切线．‎ ‎ 证明 连结OD，作OE⊥AC于E．‎ ‎ ∵∠B＝∠C，∴AB=AC．‎ ‎ 又AB与⊙O小相切于D，∴OD⊥AB．‎ ‎ ∵OE⊥AC，∴OD=OE．‎ ‎ 即小⊙O的圆心O到AC的距离等于半径，所以AC是小圆的切线．‎ ‎ 说明：（1）本题为证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）之一；（2）本题为基本题型，但应用到切线的性质和判定；（3）本题为教材110页例4的变形题．‎ 例 （大连市，l 999）阅读：“如图△ABC内接于⊙O，∠CAE=∠B．‎ 求证：AE与⊙O相切于点A．‎ ‎ 证明：作直径AF，连结FC，则∠ACF＝90°．‎ ‎ ∴ ∠AFC+∠CAF＝90°． ∵∠B＝∠AFC．‎ ‎ ∴ ∠B+∠CAF＝90°． 又∵ ∠CAE=∠B，‎ ‎ ∴ ∠CAE+∠CAF＝90°． 即AE与⊙O相切于点A．‎ 问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．‎ 问题：通过阅读所得到的启示证明下题(阅读题中的结论可以直接应用)．‎ 如图，已知△ABC 内接于⊙O．P是CB延长线上一点，连结AP．且PA2＝PB·PC．‎ 求证：PA是⊙O的切线．‎ ‎ 证明：∵PA2＝PB·PC，∴．‎ ‎ 又∵ ∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA．‎ ‎ ∠PAB=∠C．‎ ‎ 由阅读题的结论可知，PA是⊙O的切线． ‎ 说明：（1）此题的阅读材料来源于教材第117页B组第1题；（2）应用“连半径证垂直”证明切线．‎ ‎ ‎ 例 （西宁，1999）已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以AB为直径的⊙O交斜边AB于E，OD∥AB．‎ ‎ 求证：（1）ED是⊙O的切线；（2）2 DE2＝BE·OD ‎ 证明：（1）连结OE、CE，则CE⊥AB．‎ 在Rt△ABC中，∵OA=OC，OD∥AB，‎ ‎∴D为BC的中点，∴DE=CD，‎ 又∵OC=OE，OD=OD，‎ ‎∴△COD≌△EOD，∴∠OED=∠OCD=90°，‎ ‎∴ED是⊙O的切线．‎ ‎（2）在Rt△ABC中，CE⊥AB，∴△CBE∽△ABC，∴CB2＝BE·AB，‎ ‎∵OD为△ABC的中位线，∴AB=2OD，BC=2ED，∴（2ED）2＝BE·2OD 即2 DE2＝BE·OD 说明：此题为综合题，主要应用切线的性质定理、判定定理、射影定理、中位线定理等知识．‎ 典型例题四 例 （北京市西城区试题，2002）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C.‎ ‎（1）当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作的平分线，交AC于点D，请你测量出的度数；‎ ‎（2）当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作的平分线（不写做法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出的度数；‎ 猜想：的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明.‎ 解：（1）测量结果：.‎ ‎（2）作图略.‎ 图2中的测量结果：.‎ 图3中的测量结果：.‎ 猜想：为确定的值，的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化.‎ 证法一：连结BC.‎ ‎∵ AB是⊙O的直径，‎ ‎∴ .‎ ‎∵ PC切⊙O于点C，‎ ‎∴ .‎ ‎∵ PD平分，‎ ‎∴ 猜想正确.‎ 证法二：连结OC.‎ ‎∵ PC切⊙O于点C，‎ ‎∵ PD平分，‎ ‎∴ 猜想正确.‎ 典型例题五 例 （北京市崇文区，2002）已知：≌，，对应边AC与重合，如图（1）.若将沿CB边按箭头所示方向平移，如图（2），使边AB、相交于点D，边交AB于点E，边AC交于点F，以为直径在五边形内作半圆O，设的长为x，半圆O的面积为y.‎ ‎1．求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；‎ ‎2．连结EF，求EF与半圆O相切时的x的值.‎ 解：1．∵ ≌，，‎ ‎.‎ 以为直径在五边形内作半圆，依题意，在运动过程中、AC与⊙O始终相切，故只需考虑AB与⊙O相切的特殊位置，以确定x的最小值.‎ 当沿CB边按箭头所示方向平移时，‎ ‎∵ ≌， ∴ ，‎ ‎∴ 是等腰三角形.‎ 又∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ O是的中点.‎ ‎∴ O到BD、的距离相等.‎ ‎∴ AB与⊙O相切时，必与⊙O相切.‎ 设切点分别为G、H，连结OG，‎ 则有 ‎∴ ∽.‎ 解之得 当或时，不合题意，‎ ‎∴ 自变量x的取值范围是.‎ ‎2．在和中，‎ ‎∴ ≌.‎ ‎∴ 四边形为矩形.‎ 当EF与⊙O相切时，.‎ 解之得 典型例题六 例 已知如图，在中，，以为直径的⊙交于，过作⊙的切线交于，求证：.‎ ‎ 分析：因为是⊙的切线，是切点，所以连，得，因此本题的关键在于证明.‎ ‎ 证明 连结、‎ ‎ 为⊙的直径，，‎ ‎ .是中点，是的中点，‎ ‎ 为的中位线，‎ ‎ ‎ ‎ 是切线，为切点，是⊙的半径 ‎ ‎ ‎ ‎ 说明：连结构成了“切线的性质定理”的基本图形，连结构成了圆周角推论的基本图形.‎ 典型例题七 例 如图，已知⊙中，为直径，过点作⊙的切线，连线，若交⊙于.求证：是⊙的切线.‎ 分析：要证是⊙的切线，只须证垂直于过切点的半径，由此应想到连结 ‎.‎ 证明 连结 ‎，‎ 及 ‎，‎ 为公共边，‎ ‎≌.即 是切线，是直径，‎ ‎，，‎ 是⊙的切线.‎ 说明：辅助线构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理.‎ 典型例题八 例 如图，以的一条直角边为直径作圆斜边于，是的中点，求证：是圆的切线.‎ ‎ ‎ 分析：连，因为过半径的外端，要证是切线，只需证.‎ 思路1 连，证≌，则有 思路2 连，则，证 证明1 如图，连、，‎ ‎，‎ 又，‎ 即，，‎ 所以≌‎ 有 即，‎ 过半径的外端，‎ 所以是⊙的切线.‎ 证明2 如图，连结、‎ 是⊙直径 过半径的外端 所以是⊙的切线 说明：这里的辅助线，仍然想着构造“切线判定定理”的基本图形的作用.‎ 典型例题九 例  如图，已知弦AB等于半径，连结OB并延长使 .‎ ‎（1）求证AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）请你在⊙O上选取一点D，使得 （自己完成作图，并给出证明过程）‎ 证明：（1） ‎ 即 ‎ 是⊙O 的切线.‎ ‎（2）①作BO延长线交⊙O 于D，连接AD，‎ ‎，所以D 点为所求.‎ ‎②如图，在圆上取一点 使得 ，连结 ，‎ 所以 点也为所求.‎ 说明：证明一条直线是圆的切线，通常选择：（1‎ ‎）到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；（2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.而涉及切线问题时，应灵活运用切线的性质，通常连结切点和圆心.‎ 题目的第（2）问是分类讨论问题，当题目中的图形未给定时，作图时，应将所有符合条件的图形作出，再分别解答.‎ 典型例题十 例 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且.求证：直线AB是⊙O的切线.‎ 证明 连结OC.∵，‎ ‎∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.‎ ‎∴∴AB是⊙O的切线.‎ 说明：本题考查切线的判定，解题关键是作出辅助线，易错点是把求证的结论“AB是⊙O的切线”.作为条件使用，造成推理过程中的逻辑混乱.‎ 典型例题十一 例 如图，AB是⊙O直径，弦，连AD，并延长交⊙O过点B的切线于E，作于G.求证：‎ 证明 连结BC交AE于F点.‎ 为⊙O切线，‎ 为直径，∴‎ 说明： 本题主要考查切线的性质，解题关键是作辅助线.‎ 典型例题十二 例 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AD交⊙O于点E，平分.（1）求证：.（2）求AC.‎ 证明 （1）连OC.切⊙O于C，∴‎ 解 （2）连BC.‎ 是⊙O的直径，∴.‎ ‎∽‎ ‎∴即 说明：在题目条件中若有切线，常常要作出过切点的半径.利用三角形相似的知识求出线段的长.‎ 典型例题十三 例 （北京朝阳区试题，2002）已知：在内角不确定的中，，点、分别在、上，，平行移动，如果梯形有内切圆，‎ 当时，；‎ 当时，（提示：）；‎ 当，. ‎ ‎（1）请你根据以上所反映的规律，填空：当时，的值等于_________；‎ ‎（2）当时（是大于1的自然数），请用含的代数式表示___________，并画出图形、写出已知、求证和证明过程。‎ 解 ：（1） ‎ ‎ （2） ‎ ‎ 图形、已知、求证和证明过程如下：‎ ‎ 已知：在中，，。 ‎ ‎ ⊙内切于梯形，点、、、为切点，‎ ‎ 是（是大于1的自然数） .‎ ‎ 求证：‎ ‎ 证法一：‎ ‎ 连结并延长与相交. ‎ ‎ ∵⊙内切于梯形，、是⊙的切线，‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∵，，‎ ‎ ∴. ‎ ‎ 又、为切点， ‎ ‎ ∴，. ‎ ‎ ∴于，于. ‎ ‎ ∵，∴. ‎ ‎ ∴∽. ‎ ‎∴. ‎ 设，则. ‎ 作交于，则. ‎ ‎∵，. ‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由勾股定理得，‎ ‎∴. ‎ 证法二：‎ 接证法一中：∵， ∴. ‎ ‎∴. ‎ 设，则，. ‎ 连结，∵为切点，∴. ‎ ‎∴，. ‎ 在中，由勾股定理得. ‎ ‎∵，‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ 典型例题十四 例 如图，已知⊙的半径、，且，点在的延长线上，连结交⊙于，过作⊙的切线交于，求证：.‎ 分析：要证，可证它们所对的角等，即证，又，故可利用同角（或等角）的余角相等证题.‎ 证明 连结，则 ‎，‎ 又 ‎，.‎ ‎，‎ ‎ ‎ 说明：在证题时，有切线可连结切点的半径，可利用切线性质定理得到垂直关系.‎ 典型例题十五 例 如图，已知，点在上，为⊙的直径，⊙切于，若，，求⊙的半径.‎ ‎ 解 连结，‎ ‎ 切⊙于，‎ ‎ ，则，‎ ‎ 在中，，，‎ ‎ ‎ 又为公共角，∽‎ 说明：连结圆心和切点是常用辅助线.本例连结，就得到，为解题创造了条件.‎ 选择题 ‎1.下列说法正确的是（ ）‎ ‎ （A）若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线 ‎ （B）经过半径的外端的直线是圆的切线 ‎ （C）和半径垂直的直线是圆的切线 ‎ （D）经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点 ‎2. 若CD是⊙O的切线，要判定AB⊥CD，还需要添加的条件是（ ）‎ ‎ （A）AB经过圆心O （B）AB是直径 ‎ （C）AB是直径，B是切点 （D）AB是直线，B是切点 ‎3.下列直线，是圆的切线是（ ）‎ ‎ （A）经过半径外端的直线 （B）垂直于半径的直线 ‎ （C）与圆有一个公共点的直线 （D）圆心到它的距离等于这个圆的半径长的直线 ‎4．下列直线中，一定是圆的切线的是（　　）．‎ ‎　A．与圆有公共点的直线　　　B．和圆心的距离等于半径的直线 ‎　C．垂直于圆的半径的直线　　D．过圆的半径端点的直线 ‎5．如图，⊙中直径与直径互相垂直，切⊙于交延长线于.若，则等于（）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图，、分别与⊙相切于、两点，是⊙上一点，且，则等于（）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，是半⊙直径、点是延长线上一点，切半⊙于，若，则等于（）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图，⊙与直线相切于、是⊙的直径，，则等于（）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知：如图，AB是半圆O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切半圆O于点C，若，则的度数是（ ）‎ A．60° B．45° C．30° D．15°‎ ‎10．已知：如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，PO交⊙O于点C，交AB于点D（），那么图中全等三角形共有（ ）‎ ‎ A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 ‎11．如图，在Rt中，，以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为（ ）‎ ‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，C是优弧上的点，，那么等于（ ）‎ A．26° B．62° C．60° D．52°‎ ‎13．如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若，那么的度数为（ ）‎ A．70° B．90° C．60° D．45°‎ ‎14．已知⊙的半径为，直线上有一点，，则直线⊙的关系为（　　）．‎ A．相交　　B．相离　　C．相切　　D．相交或相切 ‎15．如图，，分别切⊙于，，，则（　　）．‎ ‎　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎16．如图，切⊙于，，，则的长为（　　）．‎ ‎　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎17．如图，切⊙于，交⊙于，的延长线交⊙于．若，则的底数为（　　）．（甘肃省，1998）‎ ‎　A．　　B．　　C．　　D．‎ 答案：‎ ‎1. D 2. C 3. D 4．B； 5．B 6. A 7. C 8. A 9．C 10．D 11．C 12．D 13．B. 14．D；15．B；16．C；17．B.‎ 填空题 ‎1. 两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的弦AB与小圆相切，则AB= cm．‎ ‎2. 半圆圆心在Rt△ABC的斜边BC上，且半圆分别切AB、AC于D、E，AB=4cm，AC=5cm，则半圆的半径为 cm．‎ ‎3. 如图，四边形内接于⊙，是⊙的直径，切⊙于，，则，‎ ‎4. 如图，与⊙相切于，过，，则的度数等于_______‎ ‎5. 是的内心，，则 ‎6.是⊙直径，切⊙于，于，于，，，则⊙的直径为________‎ ‎7. 如图，是半圆直径，直线切半圆于，，，如果半圆直径为，则 ‎8．如图，中，，⊙A切BC于D，，则⊙A的半径的长为_______。‎ ‎9．已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为4.5cm，那么直线的圆有_____个公共点。‎ ‎10．如图，点在⊙的直径的延长线上，且，若切⊙于点，则的度数为_________．‎ ‎11．如图，两个半圆中，长为的弦与直径平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于________．（广西自治区，2000）‎ 答案:‎ ‎1.8 2. 20/9 3. ， 4. 5. 6. 11 7. 8．6 9．2. 10．;11．.‎ 解答题 ‎1. 如图AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E且PC2＝PE·PO．‎ 求证：PC是⊙O的切线．‎ ‎2. 已知：如图，AB是⊙O的直径，AC⊥l，BD⊥l，C、D是垂足，且AC+BD=AB．‎ 求证：DC是⊙O的切线．‎ ‎3.已知：AB是半⊙O的直径，EF切半圆于C点，AE⊥EF于E，BF⊥EF于F ‎ 求证：EF2=4AE·BF ‎4．如图，梯形内接于⊙，，，过点作⊙的切线与的延长线交于，求证：‎ ‎5．如图，是⊙的直径，为⊙上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为。求证：平分.‎ ‎6．如图，是⊙的弦，，交于，且.求证：是⊙的切线。‎ ‎7．求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。‎ ‎8．在⊙，直径和弦的夹角为，过点的切线交的延长线于，，求圆的半径和切线的长。‎ ‎9．如图，为⊙的弦，点为的中点，过引，求证：为⊙的切线．‎ ‎10．如图，以等腰的腰为直径的⊙交底边于，于，求证：为⊙的切线．‎ ‎11．如图，由正方形的顶点引一直线分别交，及的延长线于，，．求证：和的外接圆⊙相切．‎ ‎12．如图，已知梯形中，，，，且为⊙的直径．求证：⊙与相切．‎ ‎13．已知：如图，⊙的半径，点在的延长线上，连结交⊙于，过作⊙的切线交于．求证：．‎ ‎14．如图，中，，为上一点，以为圆心的半圆切于，交于，，．求的长．‎ ‎15．如图，在中，，是上的一点，，以为圆心，为直径的半圆与相切于点，(1)求证：；(2)求的长．‎ ‎16．如图，⊙是的外接圆，已知，，⊙的半径为．(1)求弦，的长；(2)若为延长线上一点，试确定点的位置，使与⊙相切，并证明你的结论．‎ 答案与提示：‎ ‎1. （提示：连结CO，证△PCO∽△PEC，即可）‎ ‎2. （提示：作OE⊥CD，证OE=1/2AB即可）‎ ‎3. 证明：连CA，CB，OC ‎∵EF是切线，C为切点，∴OC⊥EF是直径 ‎∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴AE∥OC∥BF ‎∵OA=OB ， ∴CE=CF ‎∵AB是直径 ，∴∠ACB=90°‎ ‎∴∠1+∠2=90°，∵ ∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3‎ ‎∵∠F=∠E=90°，∴△EAC∽△FCB ‎∴=，∴AE·BF=CF·EC，‎ ‎∵CF=CE=EF，∴EF2=AE·BF，∴EF2=4AE·BF ‎4．提示：先证出，再证∽‎ ‎5．提示：连结 ‎6．提示：证明 ‎7. 略. ‎ ‎8．，.‎ ‎9．连，证；10．连．证；11．连，证．‎ ‎12．作于，证；13．连结，证；14．连结．．‎ ‎15．(1)连，，．则有，又，∴，(2) ；‎ ‎16．(1) ，；(2) .‎