初三数学中考复习专题 平行线与三角形

初三数学中考复习专题 平行线与三角形

平行线与三角形复习材料 ‎ 2006.3‎ 一、相关知识点复习：‎ ‎（一）平行线 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．‎ 2. 判定：‎ （1） 同位角相等，两直线平行．‎ （2） 内错角相等，两直线平行．‎ （3） 同旁内角相等，两直线平行．‎ （4） 垂直于同一直线的两直线平行．‎ 3. 性质：‎ (1) 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．‎ (2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．‎ (3) 两直线平行，同位角相等．‎ (4) 两直线平行，内错角相等．‎ (5) 两直线平行，同旁内角互补．‎ ‎（二）三角形 4. 一般三角形的性质 (1) 角与角的关系：‎ 三个内角的和等于180°；‎ 一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角．‎ (2) 边与边的关系：‎ 三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．‎ (3) 边与角的大小对应关系：‎ 在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．‎ (4) 三角形的主要线段的性质(见下表)：‎ 名称 基本性质 角平分线 ① 三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边距离相等；‎ ② 角平分线上任一点到角的两边距离相等．‎ 中线 三角形的三条中线相交于一点．‎ 高 三角形的三条高相交于一点．‎ 边的垂直平分线 三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）；‎ 外心到三角形三个顶点的距离相等．‎ 中位线 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．‎ 1. 几种特殊三角形的特殊性质 (1) 等腰三角形的特殊性质：‎ ‎①等腰三角形的两个底角相等；‎ ‎②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴．‎ (2) 等边三角形的特殊性质：‎ ‎①等边三角形每个内角都等于60°；‎ ‎②等边三角形外心、内心合一．‎ (3) 直角三角形的特殊性质：‎ ‎①直角三角形的两个锐角互为余角；‎ ‎②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；‎ ① 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 ‎（其逆命题也成立）；‎ ② 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；‎ ‎⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．‎ 2. 三角形的面积 (1) 一般三角形：S △ ＝ a h（ h 是a边上的高 ）‎ (2) 直角三角形：S △ ＝ a b ＝ c h（a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的高）‎ (3) 等边三角形： S △ ＝ a 2（ a是边长 ）‎ (4) 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比．‎ 3. 相似三角形 (1) 相似三角形的判别方法：‎ ① 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；‎ ② 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；‎ ③ 如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似．‎ (2) 相似三角形的性质：‎ ① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；‎ ② 相似三角形的周长比等于相似比；‎ ③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方．‎ 4. 全等三角形 两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等．‎ ‎ 判定两个三角形全等的公理或定理：‎ ‎①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS；‎ ‎②直角三角形还有HL 二、巩固练习：‎ 一、选择题：‎ 1． 如图，若AB∥CD，∠C ＝ 60º，则∠A＋∠E＝（ ）‎ A．20º B．30º C．40º D．60º 2． 如图，∠1＝∠2，则下列结论一定成立的是（ ）‎ A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B＝∠D D．∠3＝∠4‎ 3． 如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（ ）‎ A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 不能确定 4． 如图，下列判断正确的是（ ）‎ A．∠1和∠5是同位角； B．∠2和∠6是同位角；‎ C．∠3和∠5是内错角； D．∠3和∠6是内错角．‎ 5． 下列命题正确的是（　　）‎ A．两直线与第三条直线相交，同位角相等；‎ B．两直线与第三条直线相交，内错角相等；‎ C．两直线平行，内错角相等；　‎ D．两直线平行，同旁内角相等．‎ 6． 如图，若AB∥CD，则（ ）‎ A．∠1 ＝ ∠4 B．∠3 ＝ ∠5‎ C．∠4 ＝ ∠5 D．∠3 ＝ ∠4‎ 7． 如图， l1∥l2，则α＝ （ ）‎ A．50° B．80°‎ C．85° D．95°‎ 8． 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）‎ A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm 1． 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）‎ ‎ A.150° B.80° C.50°或80° D.70°‎ 2． 如图，点D、E、F是线段BC的四等分点，点A在BC外，‎ 连接AB、AD、AE、AF、AC，若AB ＝ AC，则图中的全等三角形 共有（ ）对 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ 3． 三角形的三边分别为 a、b、c，下列哪个三角形是直角三角形？（ ）‎ A. a ＝ 3，b ＝ 2，c ＝ 4 B. a ＝ 15，b ＝ 12，c ＝ 9‎ C. a ＝ 9，b ＝ 8，c ＝ 11 D. a ＝ 7，b ＝ 7，c ＝ 4‎ 4． 如图，△AED ∽ △ABC，AD ＝ 4cm，AE ＝ 3cm，‎ AC ＝ 8cm，那么这两个三角形的相似比是（ ）‎ A． B． C． D．2‎ 5． 下列结论中，不正确的是（ ）‎ A．有一个锐角相等的两个直角三角形相似；‎ B．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；‎ C．各有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；‎ D．各有一个角等于60°的两个等腰三角形相似．‎ 二、填空题：‎ 6． 如图，直线a∥b，若∠1 ＝ 50°，‎ 则∠2 ＝ ___________．‎ 7． 如图，AB∥CD，∠1 ＝ 40°，‎ 则∠2 ＝ _________．‎ 8． 如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，‎ 若∠ADE ＝ 80°，则∠1 ＝ _________．‎ 1． 如图， l1∥l2，∠1 ＝ 105°，∠2 ＝ 140°，‎ 则∠α ＝ _____________．‎ 2． ‎△ABC中，BC ＝ 12cm，BC边上的高 AD ＝ 6cm，则△ABC的面积为____________．‎ 3． 如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，‎ 那么x的取值范围是_____________．‎ 4． 在△ABC中，AB ＝ AC，∠A ＝ 80°，则∠B ＝ ______，∠C ＝ ______．‎ 5． 在△ABC中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，BC ＝ 4cm，则AB ＝ ___________．‎ 6． 已知直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边上的中线长是___________．‎ 7． 等腰直角三角形的斜边为2，则它的面积是______________．‎ 8． 在Rt△ABC中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于_________．‎ 9． 已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为_____________．‎ 10． 等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则它的顶角度数为_______________．‎ 11． 如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子 测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他 想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的 点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长 为15m，则A、B两点间的距离为__________．‎ 12． 如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，‎ ‎∠B＝∠E．要使△ABC≌△DEF，需要补充的 是一个条件：_____________________________．‎ 1． 太阳光下，某建筑物在地面上的影长为36m，同时 量得高为1.2m的测杆影长为2m，那么该建筑物的高为________________．‎ 三、解答题：‎ 2． 如图，已知△ABC中，AB ＝ AC，AE ＝ AF，D是BC的中点 求证： ∠1 ＝ ∠2‎ 3． 如图，已知D是BC的中点，BE⊥AE于E，CF⊥AE于F 求证：BE ＝ CF 4． 如图，CE平分∠ACB且CE⊥BD，∠DAB ＝∠DBA，AC ＝ 18，△CDB的周长是28．求BD的长．‎ 5． 已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝EC，‎ 求证：AB＝AC A E D C B 1． ‎*一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在此岸离岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树．‎ (1) 根据题意，画出示意图；‎ (2) 求河宽．‎ 练习答案：‎ 一、选择题 ‎1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C 7、C 8、C ‎9、C 10、C 11、B 12、B 13、B 二、填空题 ‎14、130° 15、140° 16、40° 17、65° 18、36cm2‎ ‎19、1＜x＜5 20、50°、50° 21、8cm 22、5 23、1‎ ‎24、6或 25、22或26 26、120° 27、30m ‎28、BC＝EF或∠A＝∠D或∠C＝∠F 29、21.6m 三、证明题 ‎30、BE＝CF、∠B＝∠C、BD＝DC→△BED≌△CFD→∠1＝∠2‎ ‎31、△BED≌△CFD→BE＝CF ‎32、∠A＝∠DBA→AD＝BD→CD＋BD＝AC＝18、△CDB的周长是28→BC＝10‎ ‎33、AD＝AE→∠ADE＝∠AED→∠ADB＝∠AEC→△ABD≌△AEC→AB＝AC ‎34、‎ 解：如图，根据题意，有AB∥CD，PM⊥CD于N点，‎ 交AB于M点，且AB＝20m，‎ CD＝50m， PM＝25m，‎ AB∥CD→△PAB∽△PCD→‎ ‎ ‎ ‎→ →PN＝62.5→MN＝37.5‎