上海市普陀区2020届高三二模考试数学试题 Word版含解析

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- 1 - 2019 学年第二学期普陀区高三数学质量调研 2020.6 一、填空题（本大共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分） 1.数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______. 【答案】3.6 【解析】 【分析】 把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可． 【详解】解：该组数据按从小到大排列为：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5； 所以这组数据的中位数为 1 (2.9 4.3) 3.62    ． 故答案为：3.6． 【点睛】本题考查了中位数的定义与计算问题，属于基础题． 2.若增广矩阵为 2 3 7 0 1 m      的线性方程组的解为 2 1 x y    ，则实数 m  ______. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据增广矩阵的概念直接求解. 【详解】由增广矩阵为 2 3 7 0 1 m      的线性方程组的解为 2 1 x y    ，则 0 2 1 1 m    ，得 1m  . 故答案为：1. 【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题. 3.已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足  1 5 iz z a    ，则实数 a 的值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】 根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果. 【详解】设 , ,z m ni z m ni m n R    ， ，则可得  2 1 5 im a   ， - 2 - 所以 15, 2  a m . 故答案为：5 【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力， 属于容易题. 4.已知等比数列 na （ n N ）满足  2 6 44 1a a a  ，则 4a  ______. 【答案】2 【解析】 【分析】 利用等比中项求得关于 4a 的方程，解方程即可得到答案； 【详解】  2 6 44 1a a a  ，    4 2 4 2 4 44 1 2 0 2a a a a      ， 故答案为： 2 . 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题. 5.已知实数 x、y 满足条件 0 0 1 x y y x y        .则目标函数 2z x y  的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】 作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点 (1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点 (1,0)A ， 当直线 2y x z   过点 A 时，直线在 y 轴上的截距达到最大， - 3 -  max 2z  ， 故答案为： 2 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用 直线截距的几何意义进行求解. 6.A，B，C，D 四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则 A，B 两位同学在同一组的 概率为______.（结果用最简分数表示） 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果. 【详解】试验发生包含的事件是将 A，B，C，D 四个人平均分成两组， 基本事件的总数：共有 2 2 4 2 2 2 3C C A ，即     , , , , ,AB CD AC BD AD BC 满足条件的基本事件是 A，B 两人恰好在同一组，共有 1 种 ,AB CD 根据古典概型概率公式得到 1 3P  故答案为： 1 3 【点睛】本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基 础题. 7.已知一个半圆柱的高为 4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为 8，则该半圆柱的表面积 为______. 【答案】16 12  【解析】 【分析】 由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为 4，高为 3，由此能求出该几何体的表面积， - 4 - 得到答案. 【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为 8，半圆柱的高 h 为 4， 可得半圆的半径 r 为 2， 由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积， 即 2 21 12 2 2 2 2 4 2 2 4 16 122 2S r rh rh                     . 故答案为：16 12  . 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时 考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题. 8.设        1 1 1 01 1 1 1n n n n nx a x a x a x a          ，若 1 1 0 729n na a a a     ，则 3a  ______. 【答案】160 【解析】 【分析】 先将 ( 1)nx  化为 (2 ( 1))nx  ，然后利用赋值法求出 n 的值，再求出 3a 的值． 【详解】解：原式 [2 ( 1)]nx   ， 令 1 1x   ，即 2x  得： 6 1 1 03 729 3n n na a a a      ， 所以 6n  ． 所以展开式中含 3( 1)x  项为： 3 3 3 3 6 2 ( 1) 160( 1)C x x   ． 故 3 160a  ． 故答案为：160． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题． 9.设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和（ n N ）若 8 6 28 6 S S   ，则 2lim 2 n n S n ______. 【答案】 1 2  【解析】 【分析】 - 5 - 由等差数列前 n 项和公式有 2 1( )2 2n d dS n a n   ，代入已知条件可求得公差 d ，再计算数列 极限． 【详解】∵数列{ }na 是等差数列， 2 1( )2 2n d dS n a n    （其中 d 是公差）， 1( )2 2 nS d dn an    ， ∵ 8 6 28 6 S S   ， (8 6) 22 d    ， 2d   ． 即 2 1( 1)nS n a n    ， 2 1 1 2 2 ( 1) 11 1lim lim lim( )2 2 2 2 2 n n n n S n a n a n n n            ． 故答案为： 1 2  【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和，考查数列的极限．关键是掌握等差数列前 n 项和公 式： 2 1( )2 2n d dS n a n   ，属于中档题． 10.在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 2 2 2   ab c a b c ，则角 C 的大小 为______. 【答案】 4  【解析】 【分析】 由二阶行列式和余弦定理，即可得出结果. 【详解】由二阶行列式的计算可得， 2 2 22   ab c a b 即 2 2 2 2c a b ab   ，由余弦定理可得， 2cos 2C  ， 4C   . 故答案为： 4  . 【点睛】本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识，考查了理解辨析和数学运算能力， - 6 - 属于容易题目. 11.在平面四边形 ABCD 中， 0AB BC AD DC       ， 1AB AD   ， 1 2AB AD    若 点 M 是边 BC 上的任一动点，则 AM DM  的最小值为______. 【答案】 21 16 【解析】 【分析】 连接 BD ，则可证 BCD 是等边三角形，建立平面直角坐标系，设 ( ,0)M x ，用 x 表示出 AM DM    ，则根据配方法得出最小值． 【详解】解：连接 BD ，  0AB BC AD DC       ， 90ABC ADC     ，  1| || | cos cos 2AB AD AB AD BAD BAD          ， 120BAD  ， 2 2 2 cos 3BD AB AD AB AD BAD      ， 30ABD ADB     ， 60DBC BDC     ， BCD 是等边三角形， 以 B 为原点，以 BC 为 x 轴，以 BA 为 y 轴建立平面直角坐标系， 则 (0,1)A ， ( 3C ， 0) ， 3( 2D ， 3)2 ， 设 (M x ， 0)(0 3)x„ „ ，则 ( , 1)AM x  ， 3( 2DM x  ， 3)2- ，  2 23 3 3 21( )2 2 4 16AM DM x x x        ， 当 3 4x  时， AM DM    取得最小值 21 16 ． 故答案为： 21 16 ． - 7 - 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题． 12.设双曲线 r： 2 2 2 1x ya   （ 0a  ）的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 M 在 r 的右支上，向 量  1,d a  是直线 1F M 的一个方向向量，若 1 2 4F MF   ，则 r 的焦距为______. 【答案】 6 【解析】 【分析】 由题意可得直线 1F M 的斜率为 a ，且 0a  ，设 2| |F M t ，由双曲线的定义可得 1| | 2F M t a  ， 在三角形 1 2FMF 中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得 a ，进而得到焦距 2c ． 【详解】解：向量 (1, )d a 是直线 1F M 的一个方向向量，可得直线 1F M 的斜率为 a ，且 0a  ， 设 2| |F M t ，由双曲线的定义可得 1| | 2F M t a  ， 在三角形 1 2FMF 中，由正弦定理可得 1 2 2 sin sin 4 t c MF F  ，即 2 2 2 1 2 1 2 t a a a   ， 解得 2 2t a ， 由余弦定理可得 2 2 2 24 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2c t t a t t a      ， 即为 2 2 2 24(1 ) 8 (2 2 2 ) 4 2 (2 2 2 ) 2a a a a a a a       ， 解得 2 1 2a  ， 2 2 31 2c a   ， 则焦距 32 2 62c   ． 故答案为： 6 ． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用， - 8 - 考查方程思想和运算能力，属于中档题． 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一排得零分） 13.对于抛物线，“方程 2 4y x ”是“焦点到准线的距离等于 2”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线的几何性质，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由抛物线方程 2 4y x ，可得 2p  ，所以抛物线 2 4y x 的焦点到准线的距离为 2， 即充分性是成立的； 反之不成立，焦点到准线的距离为 2，此时抛物线的方程可能是 2 4x y ，即必要性不成立， 综上可得， “方程 2 4y x ”是“焦点到准线的距离等于 2”的充分非必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及抛物线的标准方程及几何性质的 应用，意在考查推理与运算能力，属于基础题. 14.已知集合  3M  ，  2,4N  ，  1,2,5Q  ，从这三个集合中各取一个元素构成空间 直角坐标系O xyz 中向量 a  的坐标，则可确定不同向量 a  的个数为（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合 ,B C 中的相同元素 2，出现了 3 个重复的情况，进而计算可得答案. 【详解】由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为 1 1 3 2 3 3 36C C A  , 但集合 ,B C 中有相同元素 2， - 9 - 由3,2,2 三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36 3 33  个. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合 ,B C 中 有相同元素 2 从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力. 15.已知平面 l   ，B，C l ，A  ，且 A l ，D  ，且 D l ，则下列叙述错误的 是（ ） A. 直线 AD 与 BC 是异面直线 B. 直线 CD 在 上的射影可能与 AB 平行 C. 过 AD 有且只有一个平面与 BC 平行 D. 过 AD 有且只有一个平面与 BC 垂直 【答案】D 【解析】 【分析】 利用反证法判断选项 A 正确；举例说明选项 B 正确；由公理 3 的推论结合过直线外一点有且 只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项 D 错误． 【详解】对于选项 A ，若直线 AD 与 BC 是共面直线，设 AD 与 BC 共面 ， 不共线的三点 B ，C ， D 均在  与 内，  与 重合， 又不共线的三点 A ， B ，C 均在 与 内，  与 重合，则 与  重合，与 l   矛 盾， 故直线 AD 与 BC 是异面直线，所以选项 A 正确； 对于选项 B ，当 AB l ，CD l ，且二面角 l   为锐二面角时，直线 CD 在 上的射 影与 AB 平行，所以选项 B 正确； - 10 - 对于选项C ，在 AD 上任取一点，过该点作 BC 的平行线 l ，则由 AD 与 l确定一个平面， 该平面与 BC 平行， 若过 AD 另外有平面与 BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线 BC 外的一点 A 有 两条直线与 BC 平行， 与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确； 对于选项 D ，只有当 AD 与 BC 异面垂直时，过 AD 有且只有一个平面与 BC ，否则，不存 在过 AD 与 BC 垂直的平面，故选项 D 错误． 故选：D． 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线 的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16.定义域均为 D 的三个函数  f x ，  g x ，  h x 满足条件：对任意 x D ，点   ,x g x 与 点   ,x h x 都关于点   ,x f x 对称，则称  h x 是  g x 关于  f x 的“对称函数”.已知函 数   1g x x  ，   3h x x ，  h x 是  g x 关于  f x 的“对称函数“，记  f x 的定 义域为 D，若对任意 s D ，都存在t D ，使得   2 22 2 1f t ts a a     成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A. .   1,0 1,2  B. .   1 0,2  C. .   2, 1 0,1   D. .   1 2,0  【答案】C 【解析】 【分析】 求得 ( )f x 的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到 ( )f x 的值域；判断 2 2( ) 2 1m t t t a a     在[0 ，1]递增，可得其值域，再由题意可得 ( )f x 的值域包含在 ( )m t 的 值域内，可得 a 的不等式组，解不等式可得所求范围． 【详解】解：由函数   1g x x  ， ( ) 3h x x ， ( )h x 是 ( )g x 关于 ( )f x 的“对称函数”， 可得 1( ) ( 1 3 )2f x x x   ， 0 1x„ „ ， ( ) 0f x  ， 1 1 3 1( ) ( )2 22 1 f x x x       ， - 11 - 可得 ( ) 0f x  的解为 3 4x  ， 由 1(0) 2f  ， f （1） 3 2  ， 3( ) 14f  ， 且 ( )f x 在 3(0, )4 递增， 3(4 ，1) 递减，可得 ( )f x 的最小值为 1 2 ，最大值为 1， 可得 ( )f x 的值域为 1[2 ，1]， 而 2 2( ) 2 1m t t t a a     在[0 ，1]递增，可得 ( )m t 的值域为 2[ 1a a  ， 2 2]a a  ， 由题意可得[1， 22] [ 1a a   ， 2 2]a a  ， 即有 2 21 1 2 2a a a a    „ „ ，即为 2 1 0 1 a a a    或 „ „ … „ ， 解得 0 1a„ „ 或 2 1a „ „ ， 则 a 的范围是   2, 1 0,1   ， 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思 想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题． 三、解答题本大共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应填号的规定区域内写 出必要的步骤. 17.设函数     3 1, 2 0 ,0 x xf x g x x m         是偶函数. （1）求实数 m 的值及  g x （2）设函数  g x 在区间 0,m 上的反函数为  1g x ，当时，  1 22 log 5ag   （ 0a  且 1a  ）时，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） 2m  ，   3 1xg x   ；（2）  20, 1,5      . 【解析】 【分析】 （1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果． - 12 - （2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果． 【详解】解：（1）因为函数  f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且    f x f x  ， 则 2m  ， 当 0 2x  时，    f x g x ，则 2 0x    ，    3 1xf x f x    ， 故   3 1xg x   . （2）函数  g x 在区间 0,2 上的反函数为  1g x ， 则  1 23 1 2g   ，即  1 2 1g   ， 即 2log 15a  ，则 2log 15 0 1 a a      或 2log 15 1 a a     ，即 20 5a  或 1a  则实数 a 的取值范围为  20, 1,5      . 【点睛】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的的 解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18.设函数   22sin 5sin 12 6 3f xx x                . （1）当 0 1  时，若函数  f x 的最大值为 2f      ，求函数  f x 的最小正周期; （2）若函数  f x 在区间 ,2  内不存在零点，求正实数 的取值范围. 【答案】（1）3 ；（2） 5 5 110, ,12 6 12            . 【解析】 【分析】 （1）利用降次公式，辅助角公式化简，再结合函数  f x 的最大值为 2f      ，求出 ，再求 出函数  f x 的最小正周期； （2）由题知 ( ) 2sin 6f x x      在 ,2  内不存在零点，转化为 - 13 -  ,2 ,6 6 k k            ， k Z ， 0 ，求得 的范围. 【详解】（1）   22sin 3sin 12 6 3 xf x x                1 cos 3sin 13 3x x                 2sin 6x      ， 因为函数  f x 的最大值为 2f      ，所以sin 12 6        ， 即 22 6 2k       ， k Z ，即 24 3k   ， 又 0 1  ，则 2 3   ， 则函数  f x 的最小正周期为 2 3   . （2）因为函数  f x 在区间 ,2  内不存在零点， 所以  ,2 ,6 6 k k            ， k Z . 即 6 2 6 k k             ， 则 1 5 6 2 12 kk     ， k Z ， 因为 1 5 6 2 12 kk    ， k Z ，所以 7 6k  ， k Z ，即 0k  ，1， 则所求的 的取值范围为 5 5 110, ,12 6 12            . 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，考查了三角函数降次公式，辅助角，三角函数的性 质，属于中档题. - 14 - 19.某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画 出全部钢架，如图 1 所示，俯视图如图 2 所示），底面 ABCD 是矩形， 10AB  米， 50AD  米，屋脊 EF 到底面 ABCD 的距离即楔体的高为 1.5 米，钢架所在的平面 FGH 与 EF 垂直 且与底面的交线为GH ， 5AG  米， FO 为立柱且 O 是GH 的中点. （1）求斜梁 FB 与底面 ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求此模体 ABCDEF 的体积. 【答案】（1） 3 2arctan 20 ；（2）350（立方米）. 【解析】 【分析】 （1）连接 BO ，由题可知 FO  平面 ABCD ， FBO 是直线 FB 与底面 ABCD 所成角，由 俯视图可知， GH BC ，在 Rt FOB△ 中进行计算即可得解； （2）由题可知，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面 FGH 与 EF 垂直，结合俯视 图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，然后由题中条件结合椎 体和柱体体积公式计算即可. 【详解】（1）如下图，连接 BO ，依题意 FO 为立柱，即 FO  平面 ABCD ， 则 FBO 是直线 FB 与底面 ABCD 所成角， 由俯视图可知，GH BC ，则 2 2 5 2BO OH HB   ， 在 Rt FOB△ 中， 1.5 3 2tan 205 2 FOFOB BO     ， - 15 - 即 3 2arctan 20FBO  ， 则斜梁 FB 与底面 ABCD 所成角的大小为 3 2arctan 20 ； （2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面 FGH 与 EF 垂直，结合俯视图 可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥， 则直三棱柱的体积  1 1 22FGHV S EF GH FO AD AG     △ 1 310 40 3002 2      （立方米）， 两个四棱锥的体积 2 2 22 3 3F GABH GABHV V S FO AG AB FO      2 35 10 503 2      （立方米）， 则所求的楔体 ABCDEF 的体积 1 2 350V V V   （立方米）. 【点睛】本题考查线面角的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力， 属于常考题. 20.已知椭圆C ： 2 2 19 4 x y  的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，上顶点为 M，过点 M 且斜率为 1 的直线与C 交于另一点 N，过原点的直线 l 与C 交于 P，Q 两点 （1）求 2PQF 周长的最小值： （2）是否存在这样的直线，使得与直线 MN 平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该 直线的方程：若不存在，请说明理由. （3）直线 l 与线段 MN 相交，且四边形 MPNQ 的面积 108 36 13,13 13S      ，求直线 l 的斜 率 k 的取值范围. 【答案】（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为 4 9 0x y  ；（3） 80, 5      . 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦 PQ 的长度最小值时， 2PQF 的周长取得最 - 16 - 小值； （2）设与直线 MN 平行的弦所在的直线方程为 y x m   ，将其代入曲线C 的方程，根据 韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数 m 可得结果； （3）设直线 l 的方程为 y kx ，代入曲线C ，解得两个交点坐标，联立直线 2x y  与曲线 C 的方程，解得 ,M N 的坐标，求出点 ,P Q 到直线 2x y  的距离，然后求出四边形 MPNQ 的面积  1 2 1 2 MN d d   ，根据 108 36 13,13 13S      解不等式可得结果. 【详解】（1）连接 1PF ，又直线 l 过原点，由椭圆的对称性得 1 2PF QF ， 则 2PQF 的周长 2 2 2 1 6PQ PF QF PQ PF PF PQ       ， 要使得 2PQF 的周长最小，即过原点的弦 PQ 最短， 由椭圆的性质可知，当弦 PQ 与C 的短轴重合时最短，即弦 PQ 的最小值为 4， 则 2PQF 周长的最小值为 10. （2）依题意，设与直线 MN 平行的弦所在的直线方程为 y x m   ，与C 的交点坐标为  1 1,x y ， 2 2,x y ， 平行弦中点的坐标为 0 0,x y ， 联立 2 2 19 4 x y y x m        ，化简整理得 2 213 18 9 36 0x mx m    ， 当      2 2 218 4 13 9 36 144 13 0m m m           即 13 13m   时，平行弦存在， 则 1 2 0 9 2 13 x xx m  ， 1 2 1 2 0 4 2 2 13 y y x xy m m      ，则 0 04 9 0x y  ， 故存在满足条件的直线，其方程为 4 9 0x y  . （3）设直线 l 的方程为 y kx ，点  1 1,P x y ，  2 2,Q x y .（不妨设 1 2x x ）， - 17 - 由 2 2 19 4 x y y kx      消去 y 并化简得 2 29 4 36k x  ，即 1 2 6 9 4 x k   ， 2 1 2 6 9 4 x x k      ， 依题意，直线 MN 的方程为 2y x   ， 由 2 2 19 4 2 x y x y       ，得 213 36 0x x  ，解得 0x  或 36 13x  ， 所以 36 13Nx  ， 10 13Ny   ，所以 (0,2)M ， 36 10( , )13 13N  ， 则 36 2 13MN  . 又 l 与线段 MN 有交点且 MPNQ 为四边形，所以 10 513 36 18 13 ONk k      ，即 5 ,18k       ， 点 P，Q 到直线 MN 的距离分别为 1 1 1 2 2 x kxd   ， 2 2 2 2 2 x kxd   ， 则   1 1 2 2 1 2 2 21 1 36 2 2 2 13 2 2MPNQ x kx x kxS MN d d                四边形 2 2 1 12 21 36 2 2 13 2 2 x kx x kx         2 2 1 22 11 36 2 18 12 216 1 2(1 )2 13 13 13 9 42 9 4 k x x k kk kk             ， 又 108 36 13,13 13S      ，即 2 2 108 216 1 2 36 13 13 13 9 4 13 k k k     . 化简整理得， 2 2 5 8 0 81 72 16 0 k k k k        ，解得 80 5k  ， - 18 - 又 5 ,18k       ，所以 80 5k  . 则所求的直线 l 的斜率 k 的取值范围为 80, 5      . 【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性，考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线 的距离，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.对于无穷数列 na 的某一项 ka ，若存在 m N  ，有  k k ma ka   N 成立，则称 ka 具有 性质  P m . （1）设  *3na n n N   ，若对任意的 k N ， ka 都具有性质  P m ，求 m 的最小值； （2）设等差数列 na 的首项 1 2a   ，公差为 d ，前 n 项和为  nS n N  ，若对任意的 k N 数列 nS 中的项 kS 都具有性质  7P ，求实数 d 的取值范围； （3）设数列 na 的首项 1 2a  ，当  2n n  N 时，存在  1 1,i i n i    N 满足 2n ia a ，且此数列中恰有一项  2 99,ta t t   N 不具有性质  1P ，求此数列的前100项 和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值. 【答案】（1） 5 ；（2） 1 ,2     ；（3） 99t  时，最大值为 993 2 2  ； 50t  或 51t  时， 最小值为 506 2 6  . 【解析】 【分析】 （1）计算得出 1 6 7a a a  、 2 5 6a a a   、  1 2 3k k ka a a k     ，求得每 种情况下对应 m 的最小值，进而可得出结果； （2）求得 nS ，根据题意得出 7k kS S  对任意的 k N 恒成立，可得出 2 3d k   ，由此可得 出 d 的取值范围； （3）根据题意得出 1 2 1t ta a a a    ，根据存在  1 1,i i n i    N 满足 2n ia a ， 得出 1a 、 2a 、 、 ta 依次为：2 、 22 、 32 、 、 2t ，进一步得知：欲使此数列的前100项 - 19 - 和最大， 1ta  、 2ta  、 、 100a 依次为：2t 、 12t 、 、 992 ，欲使此数列的前100项和最小， 1ta  、 2ta  、 、 100a 依次为： 22 、 32 、 、 1012 t ，分别计算出两种情况下数列 na 的前100 项和，根据表达式可求得前100项和分别取最大值或最小值时对应的 t 值. 【详解】（1）经计算知： 1 6 7a a a  ，此时 5m  ； 2 5 6a a a   ，此时 3m  ； 当 3k  时， 1 2k k ka a a   ，此时 m 1 . 综上可知， 5m  ，即对任意的 k  N ， ka 都具有性质  P m 时， m 的最小值为 5 ； （2）由已知可得，  12 2n n nS n d    ，若对任意的 k  N ，数列 nS 中的 kS 都具有性 质  7P ，则 7k kS S  对任意的 k  N 恒成立， 即       1 7 7 12 2 72 2 k k k kk d k d          ，整理得： 2 3d k   . 因为 1k ³ ，则 2 1 3 2k  ，所以 1 2d  . 因此，实数 d 的取值范围是 1 ,2     ； （3）对于 2 99t  ，t N ， 因为 1a 、 2a 、 、 1ta  都具有性质  1P ，所以 1 2 1t ta a a a    ， 而当  2n n  N 时，存在  1 1,i i n i    N 满足 2n ia a ， 所以 1a 、 2a 、 、 ta 依次为： 2 、 22 、 32 、 、 2t ， 由已知 ta 不具有性质  1P ，故 1ta  的可能值为 22 、 32 、 、 2t ， 又因为 1ta  、 2ta  、 、 100a 都具有性质  1P ，所以 1 2 100t ta a a    ， 欲使此数列的前100项和最大， 1ta  、 2ta  、 、 100a 依次为： 2t 、 12t 、 、 992 ， 欲使此数列的前100项和最小， 1ta  、 2ta  、 、 100a 依次为： 22 、 32 、 、 1012 t ， 下面分别计算前100项和：        2 3 1 99 1 2 1 2 100 2 2 2 2 2 2 2t t t t t ta a a a a a                      - 20 - 1002 2 2t   ， 当 99t  时，此数列的前100项和最大，最大值为 99 100 992 2 2 3 2 2     ；        2 3 2 3 101 1 2 1 2 100 2 2 2 2 2 2 2t t t t ta a a a a a                      101 101 522 22 2 6 4 2 6 2 2 62 2 t t t t            . 当且仅当 10122 2 t t 时，即 101 2t  时等号成立，但 101 2t   N ， 这时取 50t  或 51t  时，此数列的前100项和最小，最小值为  50 51 502 2 2 6 6 2 6     . 【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列求和等知识，考查数列不等式恒成立问题的求解， 考查推理能力与运算求解能力，属于难题. - 21 -