2020高中数学 第2章 数列 等差数列的前n项和

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2020高中数学 第2章 数列 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和 ‎(答题时间:40分钟)‎ ‎*1. 数列{an}是等差数列,a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=________。‎ ‎**2. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使为整数的正整数n有________个。‎ ‎**3. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则=________。‎ ‎*4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9=________。‎ ‎**5. 已知首项为正数的等差数列{an}满足:‎ a2011+a2012>0,<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是________。‎ ‎**6. 在等差数列{an}中,若任意两个不等的正整数k,p,都有ak=2p-1,ap=2k-1,设数列{an}的前n项和为Sn,若k+p=m,则Sm=________(结果用m表示)。‎ ‎**7. 已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*,若a3=16,S20=20,求S10。‎ ‎***8. 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n。‎ ‎(1)求证{an}是等差数列;‎ ‎(2)求使100<an<200成立的所有项的和。‎ ‎**9. 数列{an}是等差数列,a1=50,d=-0.6。‎ ‎(1)从第几项开始有an<0?‎ ‎(2)求此数列前n项和Sn的最大值。‎ 3‎ ‎1. -171 解析:∵an=a1+(n-1)d,Sn=na1+d,‎ ‎∴ ∴‎ ‎2. 5 解析:==7+,‎ ‎∴n=1,2,3,5,11,共有5个。‎ ‎3. 解析:设S3=k,则S6=3k,∴S6-S3=2k,‎ 由等差数列的性质:S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9也成等差数列,‎ ‎∴S9-S6=3k,S12-S9=4k,‎ ‎∴S9=6k,S12=10k,‎ ‎∴。‎ ‎4. 24 解析:由S9==‎9a5=72,∴a5=8,‎ ‎∴a2+a4+a9=(a2+a9)+a4=(a5+a6)+a4=a5+(a6+a4)=‎3a5=24。‎ ‎5. 4 022 解析:∵<0,∴数列{an}的项有正有负,‎ ‎∵a1>0,∴等差数列{an}为递减数列,‎ ‎∴a2011>0,a2012<0.‎ ‎∴S4022=>0,‎ S4023=<0。‎ ‎6. m2-‎2m 解析:∵d==-2,‎ 又ak=a1-2(k-1),‎ ‎∴a1=ak+2(k-1)=2p-1+2k-2=2(k+p)-3=‎2m-3,‎ ‎∴Sm=ma1+d=m(‎2m-3)-m(m-1)‎ ‎=m(m-2)=m2-‎2m。‎ ‎7. S10=110 解析:设首项为a1,公差为d,‎ ‎∴‎ 由②得‎2a1+19d=2.      ③‎ 3‎ ‎③-①×2得15d=-30,∴d=-2,‎ ‎∴a1=16-2d=20,‎ ‎∴S10=‎10a1+×10×9d=200-90=110。‎ ‎8.(1)证明:当n=1时,a1=S1=12+2×1=3;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1,‎ 因为n=1时,适合an=2n+1,‎ 所以此数列的通项公式为an=2n+1(n∈N*),‎ 因为an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2,‎ 所以{an}是以a1=3为首项,d=2为公差的等差数列;‎ ‎(2)解:因为100<an<200,又由(1)得an=2n+1(n∈N*),‎ 所以100<2n+1<200,所以<n<(n∈N*),‎ 即50≤n≤99(n∈N*),‎ 所以它们的和为S=S99-S49=992+2×99-(492+2×49)=7 500,‎ 故满足条件的各项之和为7 500。‎ ‎9. 解:(1)因为a1=50,d=-0.6,所以an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6(n∈N*)。‎ 令-0.6n+50.6≤0,则n≥≈84.3,‎ 由于n∈N*,故当n≥85时,an<0,即从第85项起,以后各项都小于0;‎ ‎(2)因为d=-0.6<0,a1=50>0,‎ 由(1)知a84>0,a85<0,所以S1<S2<…<S84,‎ 且S84>S85>S86>…,所以Sn的最大值为S84=50×84+×(-0.6)=2 108.4。‎ 3‎
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