数学文卷·2018届广东省实验中学高二上学期期末考试（2017-01）

数学文卷·2018届广东省实验中学高二上学期期末考试（2017-01）

广东实验中学2016—2017学年（上）高二级期末考试 文 科 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　)‎ A．－3 B．3 C．－ D． ‎2．圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 ‎ C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ ‎3．抛物线y＝4x2的焦点坐标是(　　)‎ A．(1,0) B． C． D． ‎ ‎4．已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知中，a、b、c分别为A,B,C的对边，，则等于（ ）‎ A． B． 或 C． D． 或 ‎6． 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A． y＝±2x B． y＝±x C． y＝±x D． y＝±x ‎8．设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A．　　 　B．　　　　　 C．　　　 D． ‎ ‎9．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为(　　)‎ A．抛物线 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．椭圆 ‎10．是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数具有性质（ ）．‎ A．图像关于点对称，最大值为 B．图像关于点对称，最大值为1 ‎ C．图像关于直线对称，最大值为 D．图像关于直线对称，最大值为1 ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是 .‎ ‎14．已知圆C：与直线相交于M,N两点，若，‎ 则k的取值范围是 . ‎ ‎15．直线l：4x－y－6＝0交双曲线x2－＝1于A，B两点，则线段AB的长为________．‎ ‎16．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.则数列的前50项和T50=________．‎ A A1‎ B C C1‎ B1‎ D1‎ D F 第17题图 E 三、解答题题（六小题 共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 如图，在长方体中，，‎ ‎，、分别为、的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎18．（本小题满分10分）‎ 一束光线l自A（－3，3）发出，射到x轴上的点M后，被x轴反射到⊙C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上．‎ ‎ （1）求反射线通过圆心C时，光线l的方程；‎ ‎ （2）求满足条件的入射点M的横坐标的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数f(x)=－sin2x+sinx+a，‎ ‎（1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围；‎ ‎（2）若，恒有1≤f(x)≤，求a的取值范围。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ S C A B D 如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，且，。‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求点A到平面SBD的距离h的值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知函数对任意的均有.‎ ‎，求的表达式并证明：.‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合, ‎ 椭圆与抛物线在第一象限的交点为,.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于、两点，求使成立的动点的轨迹方程；‎ ‎（3）若点满足条件（2），点是圆上的动点，求的最大值.‎ 高二上学期期末考试文科数学参考答案 A A1‎ B C C1‎ B1‎ D1‎ D F 第17题图 E 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎　B　D　D　C D A B　B　C　B D A ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 4 14． 15． 16． ‎ 三、解答题题（六小题 共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎（1）证明：侧面，侧面，，……2分 在中，，则有， ‎ ‎，， ………………………………………4分 又平面． ……………………………………5分 ‎（2）证明：连、，连交于，‎ ‎，，四边形是平行四边形，……………7分 ‎ ………………………8分 又平面，平面，………………………9分 平面． ………………………10分 ‎18．（本小题满分10分）‎ 解： ⊙C：(x－2)2＋(y－2)2＝1 ……………1分 ‎（1）C关于x轴的对称点C′(2，－2)，……………2分 过A，C′的方程：x＋y＝0为光线l的方程．……………4分 ‎（2）A关于x轴的对称点A′(－3，－3)，设过A′的直线为y＋3＝k(x＋3)，……………5分 当该直线与⊙C相切时，‎ ‎ 有或 ……………8分 ‎ ∴过A′，⊙C的两条切线为 ……………9分 令y＝0，得∴反射点M在x轴上的活动范围是 ……………10分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）f(x)=0，即a=sin2x－sinx …………1分 ‎=(sinx－)2－ ……………3分 ‎ ∴当sinx=时，amin=……………4分 当sinx=－1时，amax=2， ∴[，2]为所求 …………5分 法2：∵sin2x+sinx+a=0 设t= sinx ，则t∈[-1,1] …………1‎ 那么依题意有方程在区间上有实数根， ‎ ‎∴ …3分 解得： ……………5分 ‎（2）由1≤f(x)≤得 ……7分 ‎∵ ∴≤sinx≤1 ……8分 ‎∴u1=sin2x－sinx++4≥4 …9分 ‎ u2=sin2x－sinx+1=≤1 …11分 ‎ ‎ ∴ 1≤a≤4 …………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）证明：在中，，‎ ‎ 即， 底面是矩形 ……………3分 又平面平面 面 ‎， 平面…………………………...……..6分 S C A B D 平面， 平面平面．……………………….7分 ‎（2）方法1：由（1）可知， 且 ……………………….8分 ‎……………………….9分 ‎……………………….10分 又，故点A到平面SBD的距离……………………….12分 方法2：由（1）平面可得平面平面，……………………….9分 由C引SB的垂线CH，垂足为H，则，……………………….11分 连AC交BD于O，O平分AC，则……………………….12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解析：（1）由已知：对于，总有 ①成立 ，‎ ‎∴ （n ≥ 2）②…………………….1分 ‎①--②得，…………………….2分 ‎∴…………………….3分 ‎∵均为正数，∴（n ≥ 2）…………………….4分 又n=1时，， 解得=1，…………………….5分 ‎∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴.()…………………….6分 ‎（2）令，则，，……….8分 数列是以为公比，为首项的等比数列，.…………………9分 ‎，令，‎ 则，‎ ‎ ，…………………….10分 两式相减：，…………………….11分 ‎…………………….12分 ‎22．（本小题满分14分）‎ 解析: （1)解法1： 抛物线的焦点的坐标为，‎ 设点的坐标为,. ∵, ∴. ① ‎ ‎∵点在抛物线上, ∴. ② 解①②得,.‎ ‎∴点的坐标为. ……………….2分 ‎∵点在椭圆上， ∴. ‎ 又，且， 解得. ∴椭圆的方程为. ……….4分 解法2：定义法更简单.‎ ‎ (2)解法1：设点、、，则.‎ ‎∴.∵ ,‎ ‎∴. ① ……………….5分 ‎∵、在椭圆上， ∴ ‎ 上面两式相减得.② ‎ 把①式代入②式得. ‎ 当时，得. ③ ……………….7分 设的中点为，则的坐标为. ……………….8分 ‎∵、、、四点共线，∴, 即. ④ …….9分 把④式代入③式，得，化简得. …………….10分 当时，可得点的坐标为，经检验，点在曲线上. ‎ ‎∴动点的轨迹方程为. ……………….11分 解法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ ‎ 由消去，得.‎ ‎ 设点、、，则,‎ ‎ .‎ ‎ ∵.∴.‎ ‎∵ ,∴. ‎ ‎∴, ① . ② ‎ ‎①②得， ③ 把③代入②化简得. () ‎ 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为,依题意, 可得点的坐标为，‎ 经检验，点在曲线上. ‎ ‎∴动点的轨迹方程为. ‎ ‎(3) 由(2)知点的坐标满足,‎ 即,由,得,解得. ….12分 ‎ ∵圆的圆心为,半径,‎ ‎ ∴. ‎ ‎∴当时,, 此时,. ……………….14分