高中数学 3_2_2 复数代数形式的乘除运算同步练习 新人教A版选修2-2

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文档介绍

高中数学 3_2_2 复数代数形式的乘除运算同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 ‎3.2.2‎ 复数代数形式的乘除运算 一、选择题 ‎1.(2010·安徽理,1)i是虚数单位,=(  )‎ A.-i       ‎ B.+i C.+i ‎ D.-i ‎[答案] B ‎[解析] = ‎==+i,故选B.‎ ‎2.在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于(  )‎ A.第一象限 ‎ B.第二象限 C.第三象限 ‎ D.第四象限 ‎[答案] B ‎[解析] 考查复数的运算.‎ z=-2+i,对应点位于第二象限,‎ ‎∴选B.‎ ‎3.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于(  )‎ A.2i ‎ B.i C.-i ‎ D.-2i ‎[答案] D ‎[解析] 本小题主要考查复数的运算.‎ 设z=bi(b∈R),则==+i,‎ ‎∴=0,∴b=-2,‎ ‎∴z=-2i,故选D.‎ ‎4.i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则乘积ab的值是(  )‎ A.-15 ‎ B.-3‎ C.3 ‎ D.15‎ ‎[答案] B ‎[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算.‎ ===-1+3i=a+bi,‎ ‎∴a=-1,b=3,∴ab=-3.‎ ‎5.设z是复数,a(z)表示满足zn=1的最小正整数n,则对虚数单位i,a(i)=(  )‎ A.8 ‎ B.6‎ C.4 ‎ D.2‎ ‎[答案] C ‎[解析] 考查阅读理解能力和复数的概念与运算.‎ ‎∵a(z)表示使zn=1的最小正整数n.‎ 又使in=1成立的最小正整数n=4,∴a(i)=4.‎ ‎6.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则=(  )‎ A.2-i ‎ B.2+i C.-2-i ‎ D.-2+i ‎[答案] A ‎[解析] 考查复数的运算.‎ z=-1+2i,则= ‎==2-i.‎ ‎7.设a,b∈R且b≠0,若复数(a+bi)3是实数,则(  )‎ A.b2=‎3a2 ‎ B.a2=3b2‎ C.b2=‎9a2 ‎ D.a2=9b2‎ ‎[答案] A ‎[解析] 本小题主要考查复数的运算.‎ ‎(a+bi)3=a3+‎3a2bi-3ab2-b3i ‎=a3-3ab2+(‎3a2b-b3)i,‎ ‎∴‎3a2b-b3=0,∴‎3a2=b2,故选A.‎ ‎8.设z的共轭复数是,若z+=4,z·=8,则等于(  )‎ A.i ‎ B.-i C.±1 ‎ D.±i ‎[答案] D ‎[解析] 本题主要考查复数的运算.‎ 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,‎ 由z+=4,z =8得∴ ‎∴z=2+2i,=2-2i或z=2-2i,=2+2i,==-i或==i.∴=±i,故选D.‎ ‎9.(2010·新课标全国理,2)已知复数z=,是z的共轭复数,则z·=(  )‎ A.    ‎ B.    ‎ C.1    ‎ D.2‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵z=== ‎== ‎===,∴=,‎ ‎∴z·=|z|2=,故选A.‎ ‎10.定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z为(  )‎ A.3-i ‎ B.1+3i C.3+i ‎ D.1-3i ‎[答案] A ‎[解析] 由定义得=zi+z=z(1+i)=4+2i ‎∴z==3-i.‎ 故应选A.‎ 二、填空题 ‎11.表示为a+bi(a,b∈R),则a+b=________.‎ ‎[答案] 1‎ ‎[解析] 本小题考查复数的除法运算.‎ ‎∵==i,∴a=0,b=1.‎ 因此a+b=1.‎ ‎12.若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位),则z=________.‎ ‎[答案] 1+i ‎[解析] 本题主要考查复数的运算.‎ ‎∵z=i(2-z),∴z==1+i.‎ ‎13.关于x的不等式mx2-nx+p>0(m、n、p∈R)的解集为(-1,2),则复数m+pi所对应的点位于原复平面内的第________象限.‎ ‎[答案] 二 ‎[解析] ∵mx2-nx+p>0(m、n、p∈R)的解集为(-1,2),∴,即m<0,p>0.‎ 故复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限.‎ ‎14.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设=bi(b∈R且b≠0),∴z1=bi(z2),即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.∴⇒a=.‎ 三、解答题 ‎15.计算:‎ ‎(1)+2000+;‎ ‎(2)1+in+i2n+…+i2000n(n∈N).‎ ‎[解析] (1)原式=+(-i)100+ ‎=i+1++i=+i.‎ ‎(2)当n=4k(k∈N)时,原式=1+1+…+1=2001.‎ 当n≠4k(k∈N)时,‎ 原式====1.‎ ‎16.已知复数z=,ω=z+ai(a∈R),当≤时,求a的取值范围.‎ ‎[解析] z= ‎====1-i ‎∵ω=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i ‎∴=== ‎∴=≤ ‎∴a2-‎2a-2≤0,∴1-≤a≤1+ 故a的取值范围是[1-,1+].‎ ‎17.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c∈R).‎ ‎(1)求b,c的值;‎ ‎(2)试证明1-i也是方程的根.‎ ‎[解析] (1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根 ‎∴(1+i)2+b(1+i)+c=0‎ 即b+c+(2+b)i=0‎ ‎∴解得.‎ ‎(2)由(1)知方程为x2-2x+2=0‎ 把1-i代入方程左边得 左边=(1-i)2-2(1-i)+2=0=右边,即方程成立 ‎∴1-i也是方程的根.‎ ‎18.已知ω=z+i(z∈C),是纯虚数,又|ω+1|2+|ω-1|2=16,求ω.‎ ‎[解析] 设z=a+bi(a,b∈R)‎ ‎∴== 由是纯虚数得 ①‎ ‎∴|ω+1|2+|ω-1|2=|z+i+1|2+|z+i-1|2‎ ‎=|a+bi+i+1|2+|a+bi+i-1|2‎ ‎=|(a+1)+(b+1)i|2+|(a-1)2+(b+1)i|2‎ ‎=(a+1)2+(b+1)2+(a-1)2+(b+1)2‎ ‎=2(a2+b2)+4+4b=8+4+4b=12+4b=16,‎ ‎∴b=1,‎ 将b=1代入①得a=±.‎ ‎∴z=±+i,ω=±+2i.‎
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