数学文卷·2018届北京市西城区高二下学期期末考试（2017-07）

数学文卷·2018届北京市西城区高二下学期期末考试（2017-07）

北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷 ‎ 高二数学(文科) 2017.7‎ 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 题号 一 二 三 本卷总分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 分数 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1. 设集合，，则（　　）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2. 下列函数中，既是奇函数又是单调递增函数的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3. 若等比数列满足，，则公比等于（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎5. “成等差数列”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 ‎（B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎6. 关于函数，下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A）值域为 ‎（B）图象关于轴对称 ‎（C）定义域为 ‎（D）在区间上单调递增 ‎7. 已知是函数的一个零点，且，，则（ ）‎ ‎（A），‎ ‎（B），‎ ‎（C），‎ ‎（D），‎ ‎8. 在股票买卖过程中，经常会用各种曲线来描述某一只股票的变化趋势，其中一种曲线是即时价格曲线，一种是平均价格曲线. 例如：表示开始交易后小时的即时价格为元，表示开始交易后小时内所有成交股票的平均价格为元. 下列给出的四个图象中，实线表示，虚线表示. 其中可能正确的是（ ）‎ OO xO yO ‎（A）‎ OO xO yO ‎（B）‎ OO xO yO ‎（C）‎ OO xO yO ‎（D）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.‎ ‎9. 已知命题，则______________. ‎ ‎10. 曲线在处切线的斜率为______. ‎ ‎11. 当时，函数的最小值为______.‎ ‎12. 已知，，则______.‎ ‎13. 若函数 则_______；不等式的解集 为_______. ‎ ‎14. 已知非空集合同时满足以下四个条件：‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④. ‎ 注：其中、分别表示、中元素的个数.‎ 如果集合中只有一个元素，那么_____； ‎ 如果集合中有3个元素，请写出一对满足条件的集合：_______________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 已知等差数列的前项和为，，.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设集合，求集合中的所有元素.‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 求的单调区间；‎ ‎(Ⅱ) 若的定义域为时，值域为，求的最大值.‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 已知函数，.‎ ‎(Ⅰ) 当时，解不等式；‎ ‎(Ⅱ) 若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元. 某月甲、乙两户共交水费元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为吨.‎ ‎(Ⅰ) 若，求该月甲、乙两户的水费；‎ ‎(Ⅱ) 求关于的函数；‎ ‎(Ⅲ) 若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量. ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知函数，.‎ ‎(Ⅰ) 当时，求的极值；‎ ‎(Ⅱ) 若对于任意的，恒成立，求的取值范围.‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知函数和. ‎ ‎(Ⅰ) 若，求证：的图象在图象的上方；‎ ‎(Ⅱ) 若和的图象有公共点，且在点处的切线相同，求的取值范围.‎ 北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷 高二数学（文科）参考答案及评分标准2017.7‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. C； 2.D； 3. A； 4. D； 5. A； 6. D； 7. D； 8. B. ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9. 对任意，都有； 10. ； 11. ； 12. ；13. ；‎ ‎14. ；‎ ‎，，或，，或，．‎ 注：14题第二个空只需填对一组即可；一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 解：(Ⅰ)由题意得 ， ……………4分 解得 ， ……………6分 所以. ……………8分 ‎(Ⅱ)， ……………10分 由，整理得，‎ 解得， ……………12分 所以集合中的所有元素为. ……………13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ 解：(Ⅰ)由，得. …………… 3分 令，得或. ‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎…………… 6分 所以，在区间 、上单调递增；在区间上单调递减. …8分 ‎ (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，函数在区间和上单调递增；在区间上单调递减.‎ 且；；；. ‎ 所以，当时，的值域为；当时，，的值域为. ……………12分 所以，的最大值等于. ……………13分 ‎17.（本小题满分13分）‎ 解：(Ⅰ) 当时，不等式整理得，‎ 即， …………… 3分 解得或，‎ 所以，不等式的解集为. …………… 6分 ‎(Ⅱ)由已知，抛物线的对称轴为. …………… 9分 所以函数在区间上是单调函数.‎ 若在区间上恰有一个零点，则， ……………11分 即，解得.‎ 所以，的取值范围为. ……………13分 ‎18.（本小题满分13分）‎ 解：(Ⅰ) 当时，甲用水量为5吨，需交水费元. …………2分 ‎ 乙用水量为3吨，需交水费元. ……………4分 ‎ (Ⅱ)当，即时，甲、乙两户用水量均不超过4吨.‎ ‎； ……………6分 当，，即时，甲用水量超过4吨，乙用水量不超过4吨.‎ ‎； ……………8分 当，即时，甲、乙用水量均超过4吨.‎ ‎. ……………9分 所以 ……………10分 ‎ (Ⅲ)由(Ⅱ)可知，函数在各分段区间上都是增函数.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，令，解得.‎ ‎，，‎ 所以，甲用水量为吨；乙用水量为吨. ……………13分 ‎19.（本小题满分14分）‎ 解：(Ⅰ) 当时，.‎ 则， ……………2分 所以，在区间上，是减函数；在区间上，是增函数. ……………4分 又，‎ 所以，的极小值为；没有极大值. ……………6分 ‎(Ⅱ) 由，得. ……………7分 当时，，‎ 所以，当时，，当时，，‎ 在区间上是减函数，在区间上是增函数. ……………8分 所以在区间上的最小值为，且，符合题意. …………9分 当时，令，得或，‎ 所以，当时，在区间上，是增函数，‎ 所以在区间上的最小值为，符合题意. ……………11分 当时，，‎ 当时，，在区间上是减函数.‎ 所以，不满足对于任意的，恒成立. …13分 综上，的取值范围为. ……………14分 ‎20.（本小题满分14分）‎ 解：(Ⅰ) 当时，.‎ 设，. ……………1分 则， ……………2分 所以，在区间上，是减函数；在区间上，是增函数. ……………4分 所以，的最小值为，又，所以恒成立.‎ 即的图象在图象的上方. ……………6分 ‎ ‎ ‎(Ⅱ) 设，其中.由已知，.‎ 因为在点处的切线相同，‎ 所以. ……………8分 消去得，依题意，方程有解.……………9分 设，则在上有零点.‎ ‎，‎ 当时，，函数在上单调递增. ‎ ‎ 当时，，，所以有零点.‎ ‎ 当时，，，所以有零点. ‎ ‎……………11分 当时，令，解得.‎ 与在区间上的情况如下：‎ 令，得 .‎ 此时.所以有零点. ……………13分 综上，所求的取值范围为. ……………14分