【数学】2021届一轮复习北师大版(理)21任意角、弧度制及任意角的三角函数作业

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【数学】2021届一轮复习北师大版(理)21任意角、弧度制及任意角的三角函数作业

任意角、弧度制及任意角的三角函数 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.角-870°的终边所在的象限是(  )‎ A.第一象限       B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C [由-870°=-1 080°+210°,知-870°角和210°角的终边相同,在第三象限.]‎ ‎2.已知角α的始边与x轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,角α终边上的一点P到原点的距离为,若α=,则点P的坐标为(  )‎ A.(1,) B.(,1)‎ C.(,) D.(1,1)‎ D [设P(x,y),则sin α==sin ,∴y=1.‎ 又cos α==cos ,∴x=1,∴P(1,1).]‎ ‎3.已知角θ的终边经过点P(4,m),且sin θ=,则m等于(  )‎ A.-3 B.3‎ C. D.±3‎ B [sin θ==,且m>0,解得m=3.]‎ ‎4.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为(  )‎ A.2 B.4‎ C.6 D.8‎ C [设扇形的半径为R,则×4×R2=2,‎ ‎∴R=1,弧度l=4,∴扇形的周长为l+2R=6.]‎ ‎5.sin 2·cos 3·tan 4的值(  )‎ A.小于0 B.大于0‎ C.等于0 D.不存在 A [∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,‎ ‎∴sin 2·cos 3·tan 4<0.]‎ 二、填空题 ‎6.若α=1 560°,角θ与α终边相同,且-360°<θ<360°,则θ=________.‎ ‎120°或-240° [因为α=1 560°=4×360°+120°,‎ 所以与α终边相同的角为360°×k+120°,k∈Z,‎ 令k=-1或k=0可得θ=-240°或θ=120°.]‎ ‎7.已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的弧长等于________.‎  [设扇形半径为r,弧长为l,‎ 则解得]‎ ‎8.函数y=的定义域为________.‎ ,k∈Z [利用三角函数线(如图),‎ 由sin x≥,可知 ‎2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.]‎ 三、解答题 ‎9.若角θ的终边过点P(-‎4a,‎3a)(a≠0).‎ ‎(1)求sin θ+cos θ的值;‎ ‎(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号.‎ ‎[解] (1)因为角θ的终边过点P(-‎4a,‎3a)(a≠0),‎ 所以x=-‎4a,y=‎3a,r=5|a|,‎ 当a>0时,r=‎5a,sin θ+cos θ=-.‎ 当a<0时,r=-‎5a,sin θ+cos θ=.‎ ‎(2)当a>0时,sin θ=∈,‎ cos θ=-∈,‎ 则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos ·sin<0;‎ 当a<0时,sin θ=-∈,‎ cos θ=∈,‎ 则cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos·sin >0.‎ 综上,当a>0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负;当a<0时,cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正.‎ ‎10.已知sin α<0,tan α>0.‎ ‎(1)求角α的集合;‎ ‎(2)求终边所在的象限;‎ ‎(3)试判断tan sin cos 的符号.‎ ‎[解] (1)因为sin α<0且tan α>0,所以α是第三象限角,故角α的集合为.‎ ‎(2)由(1)知2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,‎ 故kπ+<<kπ+,k∈Z,‎ 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+,n∈Z,即是第二象限角.‎ 当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+π,n∈Z,即是第四象限角,‎ 综上,的终边在第二或第四象限.‎ ‎(3)当是第二象限角时,‎ tan <0,sin >0,cos <0,‎ 故tan sin cos >0,‎ 当是第四象限角时,tan <0,sin <0,cos >0,‎ 故tan sin cos >0,‎ 综上,tan sin cos 取正号.‎ ‎1.点P的坐标为(2,0),射线OP顺时针旋转2 010°后与圆x2+y2=4相交于点Q,则点Q的坐标为(  )‎ A.(-,) B.(-,1)‎ C.(-1,) D.(1,-)‎ B [由题意可知Q(2cos(-2 010°),2sin(-2 010°)),‎ 因为-2 010°=-360°×6+150°,‎ 所以cos(-2 010°)=cos 150°=-,‎ sin(-2 010°)=sin 150°=.‎ 所以Q(-,1),故选B.]‎ ‎2.(2019·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径长为4的弧田(如图所示),按照上述公式计算出弧田的面积为________.‎ ‎4+2 [由题意可得∠AOB=,OA=4.在Rt△AOD中,易得∠AOD=,∠DAO=,OD=OA=×4=2,可得矢=4-2=2.由AD=AOsin =4×=2,可得弦=2AD=4.所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2.]‎ ‎3.(亮点题)已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从A点出发,P沿着直线l向右,Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q运动到点A时,点P也停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是________.‎ S1=S2 [设运动速度为m,运动时间为t,圆O的半径为r,则=AP=tm,根据切线的性质知OA⊥AP,‎ ‎∴S1=tm·r-S扇形AOB,‎ S2=tm·r-S扇形AOB,‎ ‎∴S1=S2恒成立.]‎ ‎4.已知=-,且lg(cos α)有意义.‎ ‎(1)试判断角α所在的象限;‎ ‎(2)若角α的终边上一点M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.‎ ‎[解] (1)由=-,得sin α<0,‎ 由lg(cos α)有意义,可知cos α>0,‎ 所以α是第四象限角.‎ ‎(2)因为|OM|=1,所以2+m2=1,解得m=±.‎ 又α为第四象限角,故m<0,‎ ‎∴m=-,sin α===-.‎ ‎1.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是(  )‎ A.若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β B.若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β C.若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β D.若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β D [如图,当α在第四象限时,作出α,β的正弦线M1P1,M2P2和正切线AT1,AT2,‎ 观察知当sin α>sin β时,tan α>tan β.‎ ‎]‎ ‎2.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.‎ ‎(1)若点B的横坐标为-,求tan α的值;‎ ‎(2)若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合;‎ ‎(3)若α∈,请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.‎ ‎[解] (1)由题意可得B,‎ 根据三角函数的定义得tan α==-.‎ ‎(2)若△AOB为等边三角形,‎ 则∠AOB=,‎ 故与角α终边相同的角β的集合为 .‎ ‎(3)若α∈,则S扇形=αr2=α,‎ 而S△AOB=×1×1×sin α=sin α,‎ 故弓形AB的面积 S=S扇形-S△AOB=α-sin α,α∈.‎
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