数学(理)卷·2018届湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东五校高三12月联考(2017

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数学(理)卷·2018届湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东五校高三12月联考(2017

湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东五校2018届高三12月联考 理科数学 总分:150分 时量:120分钟 考试时间:2017年12月8日 由 醴陵市一中 浏阳市一中 攸县一中 株洲市八中 株洲市二中联合命题 姓名___________ 考号__________‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设为虚数单位,若复数的实部与虚部互为相反数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.某几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎5.圆上到直线的距离等于2的点有( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎6.函数的图象的大致形状是( )‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎7.已知实数满足,且的最大值为6,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若表示不超过的最大整数,则右图中的程序框图运行之后输出的结果为( )‎ A. 600 B. 400 C. 15 D. 10 ‎ ‎9.已知,则等于 ( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎10.已知平面区域,现向该区域内任意掷点,则该点落在曲线下方的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.设F是双曲线的焦点,过F作双曲线一条渐近线的垂线,与两条渐近线交于P,Q,若,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知是定义在上的函数,且满足①;②曲线关于点对称;③当时,若在上有5个零点,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若的展开式中的系数为20,则__________.‎ ‎14.平面向量的夹角为,,则_________.‎ ‎15.已知等腰中, , 分别为的中点,沿将折成直二面角(如图),则四棱锥的外接球的表面积为__________.‎ ‎16.已知,其中, 的最小正周期为.‎ ‎(1)函数的单调递增区间是___________‎ ‎(2)锐角三角形中,角A,B,C的对边分别为, 若,则的取值范围是______________.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎17.(12分)已知各项均不相等的等差数列的前四项和成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)前项的和,若,求实数的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示:‎ ‎ ‎ ‎(1)请根据上表数据在格纸中绘制散点图;‎ ‎(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程,并估计当时的值;‎ ‎(3)将表格中的数据看作五个点的坐标,则从这五个点中随机抽取3个点,记落在直线右下方的点的个数为,求的分布列以及期望.‎ 参考公式:, .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. (12分)如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,∠EDA=90°,且ED=AD=2AF=2AB=2.‎ ‎(1)证明:平面ABE⊥平面EBD;‎ ‎(2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成角的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)已知P(2,3)、Q(2,﹣3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,‎ ‎①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值; ‎ ‎②当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21. (12分)已知函数 ‎(1)若函数在点处的切线与函数的图象相切,求的值;‎ ‎(2)的最大值.‎ ‎(参考数据:≈1.61,≈1.7918,=0.8814)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22、(10分)[选修4―4:坐标系与参数方程] ‎ 平面直角坐标系中,倾斜角为的直线过点,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出直线的参数方程(为常数)和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线与交于、两点,且,求倾斜角的值.‎ ‎ ‎ ‎23(10分)[选修4-5:不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若二次函数与函数的图象恒有公共点,求实数的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 理科数学参考答案 ‎ ‎ 一. 选择题:‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D C C B B A B C A C B 二.填空题:‎ ‎13.; 14.; 15. ; ‎ ‎ 16. (1) ;(2) .‎ 三.解答题:‎ ‎17. (1)设公差为d,由已知得:‎ ‎,‎ 联立解得d=1或d=0(舍去)‎ 所以 解得 ……………………………6分 ‎(2)∵ ‎ ‎∴ ………………… 9分 ‎ 又因为恒成立,所以,‎ 而 ,当n=2时等号成立。‎ 所以, 即的最大值为16. ……………………………12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.(1)散点图如图所示:‎ ‎ …………………………………2分 ‎(2)依题意, , ,‎ ‎, ,‎ ‎,∴;‎ ‎∴回归直线方程为,故当时, . ……………………7分 ‎(3)可以判断,落在直线右下方的点满足,‎ 故符合条件的点的坐标为,故的可能取值为1,2,3;‎ ‎, , ,‎ 故的分布列为:‎ ‎ ‎ 故. ………………………………12分 ‎ ‎ ‎19.(1)证明:∵平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,ED⊥AD,ED⊂平面ADEF,‎ ‎∴ED⊥平面ABCD,∵AB⊂平面ABCD,‎ ‎∴ED⊥AD,‎ ‎∵AB=1,AD=2,∠BAD=60°,‎ ‎∴BD==,‎ ‎∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD,‎ 又BD⊂平面BDE,ED⊂平面BDE,BD∩ED=D,‎ ‎∴AB⊥平面BDE,又AB⊂平面ABE,‎ ‎∴平面ABE⊥平面EBD. …………………………………6分 ‎(2)解:以B为原点,以BA,BD为x轴,y轴建立空间直角坐标系B﹣xyz,‎ 则A(1,0,0),B(0,0,0),C(﹣,,0),‎ D(0,,0),E(0,,2),‎ F(1,0,1),则=(,,0),=(0,0,2),‎ ‎=(1,0,0),=(1,﹣,﹣1),‎ 设=λ=(λ,﹣λ,﹣λ)(0≤λ≤1),‎ 则=+=(λ,﹣,2﹣λ),‎ 设平面CDE的法向量为=(x1,y1,z1),平面ABM的法向量为=(x2,y2,z2),‎ 则,,‎ ‎∴,,‎ 令y1=1得=(﹣,1,0)(也可以证明向量是平面CDE的法向量) ‎ 令y2=2﹣λ得=(0,2﹣λ,), ……………………………9分 ‎∴cos<>===,解得λ=,‎ ‎∴当M为EF的中点时,平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为. ………12分 ‎ ‎ ‎20.解:(1)设C方程为,则.‎ 由,得a=4‎ ‎∴椭圆C的方程为. …………………………………4分 ‎(2)①解:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为,‎ 代入,得x2+tx+t2﹣12=0‎ 由△>0,解得﹣4<t<4‎ 由韦达定理得x1+x2=﹣t,x1x2=t2﹣12. …………………………………6分 ‎ ‎ ‎∴==.‎ 由此可得:四边形APBQ的面积 ‎∴当t=0时,. …………………………………8分 ‎②当∠APQ=∠BPQ,则PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k 则PB的斜率为﹣k,直线PA的直线方程为y﹣3=k(x﹣2)‎ 由 ‎(1)代入(2)整理得(3+4k2)x2+8(3﹣2k)kx+4(3﹣2k)2﹣48=0‎ ‎∴‎ 将k换成-k可得: …………………………10分 ‎ ∴‎ ‎∴‎ 所以AB的斜率为定值. ………………………………12分 ‎ ‎ ‎21.(1)∵函数f(x)=5+lnx,∴f(1)=5,且,‎ 从而得到f′(1)=1.‎ ‎∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y﹣5=x﹣1,即y=x+4.…………2分 设直线y=x+4与g(x)=,(k∈R)相切于点P(x0,y0),‎ 从而可得g′(x0)=1,g(x0)=+4,又,‎ ‎∴,解得或.‎ ‎∴k的值为1或9. …………………………………………5分 ‎(2)当x∈(1,+∞)时,5+lnx>恒成立,‎ 等价于当x∈(1,+∞)时,k<恒成立. ……………………6分 设h(x)=,(x>1),则,(x>1)‎ 记p(x)=x﹣4﹣lnx,(x>1),则p′(x)=1﹣=,‎ ‎∴p(x)在x∈(1,+∞)递增.‎ 又p(5)=1﹣ln5<0,p(6)=2﹣ln6>0, ……………………………………8 分 ‎∴p(x)在x∈(1,+∞)存在唯一的实数根m∈(5,6),使得p(m)=m﹣4﹣lnm=0,①‎ ‎∴当x∈(1,m)时,p(x)<0,即h′(x)<0,则h(x)在x∈(1,m)递减;‎ 当x∈(m,+∞)时,p(x)>0,即h′(x)>0,则h(x)在x∈(m,+∞)递增;‎ 所以x∈(1,+∞)时,hmin=h(m)=,‎ 由①可得lnm=m﹣4,∴h(m)=, ………………………10分 而m∈(5,6),m+(),又h(3+2)=8,‎ p(3+2)=2﹣1﹣ln(3+2)>0,∴m∈(5,3+2),∴h(m)∈(,8).‎ 又k∈N,∴k的最大值是7. ………………………………………12分 ‎ ‎ ‎22. (1)直线的参数方程为(为参数),‎ 曲线的直角坐标方程: . ………………………………4分 ‎(2)把直线的参数方程代入,得:‎ ‎, ‎ 由韦达定理有:, ,‎ 根据直线参数的几何意义, ,得或.‎ 又因为,所以. ………………………10分 ‎ ‎ ‎23.(1)当时,, ‎ 由得不等式的解集为. …………………………5分 ‎(2)由二次函数,该函数在取得最小值2,‎ 因为,在处取得最大值, ‎ 所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点,‎ 只需,即. …………………………10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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