数学（理）卷·2018届湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东五校高三12月联考（2017

数学（理）卷·2018届湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东五校高三12月联考（2017

湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东五校2018届高三12月联考 理科数学 总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2017年12月8日 由 醴陵市一中 浏阳市一中 攸县一中 株洲市八中 株洲市二中联合命题 姓名___________ 考号__________‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4．某几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．圆上到直线的距离等于2的点有( )‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．函数的图象的大致形状是( )‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎7．已知实数满足，且的最大值为6，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.若表示不超过的最大整数，则右图中的程序框图运行之后输出的结果为（ ）‎ A. 600 B. 400 C. 15 D. 10 ‎ ‎9．已知，则等于 ( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎10．已知平面区域，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线下方的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．设F是双曲线的焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线交于P，Q，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知是定义在上的函数，且满足①；②曲线关于点对称；③当时，若在上有5个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若的展开式中的系数为20，则__________．‎ ‎14．平面向量的夹角为，，则_________.‎ ‎15．已知等腰中， ， 分别为的中点，沿将折成直二面角（如图），则四棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎16．已知，其中， 的最小正周期为.‎ ‎（1）函数的单调递增区间是___________‎ ‎（2）锐角三角形中，角A,B,C的对边分别为, 若，则的取值范围是______________.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17．（12分）已知各项均不相等的等差数列的前四项和成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）前项的和，若，求实数的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．（12分）已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：‎ ‎ ‎ ‎（1）请根据上表数据在格纸中绘制散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时的值；‎ ‎（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取3个点，记落在直线右下方的点的个数为，求的分布列以及期望.‎ 参考公式：， .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. （12分）如图所示，等腰梯形ABCD的底角∠BAD＝60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA＝90°，且ED＝AD＝2AF＝2AB＝2.‎ ‎(1)证明：平面ABE⊥平面EBD；‎ ‎(2)点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成角的余弦值为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，‎ ‎①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值； ‎ ‎②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21. （12分）已知函数 ‎（1）若函数在点处的切线与函数的图象相切，求的值；‎ ‎（2）的最大值．‎ ‎（参考数据：≈1.61，≈1.7918，=0.8814）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22、（10分）[选修4―4：坐标系与参数方程] ‎ 平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过点，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出直线的参数方程(为常数)和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线与交于、两点，且，求倾斜角的值.‎ ‎ ‎ ‎23（10分）[选修4-5：不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 理科数学参考答案 ‎ ‎ 一． 选择题:‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D C C B B A B C A C B 二．填空题：‎ ‎13．； 14.； 15. ； ‎ ‎ 16. (1) ；(2) .‎ 三．解答题：‎ ‎17． （1）设公差为d,由已知得：‎ ‎，‎ 联立解得d=1或d=0（舍去）‎ 所以 解得 ……………………………6分 ‎（2）∵ ‎ ‎∴ ………………… 9分 ‎ 又因为恒成立，所以，‎ 而 ，当n=2时等号成立。‎ 所以， 即的最大值为16. ……………………………12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.（1）散点图如图所示：‎ ‎ …………………………………2分 ‎（2）依题意， ， ，‎ ‎， ，‎ ‎，∴；‎ ‎∴回归直线方程为，故当时， . ……………………7分 ‎（3）可以判断，落在直线右下方的点满足，‎ 故符合条件的点的坐标为，故的可能取值为1,2,3；‎ ‎， ， ，‎ 故的分布列为：‎ ‎ ‎ 故. ………………………………12分 ‎ ‎ ‎19.（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，‎ ‎∴ED⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴ED⊥AD，‎ ‎∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，‎ ‎∴BD==，‎ ‎∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD，‎ 又BD⊂平面BDE，ED⊂平面BDE，BD∩ED=D，‎ ‎∴AB⊥平面BDE，又AB⊂平面ABE，‎ ‎∴平面ABE⊥平面EBD． …………………………………6分 ‎（2）解：以B为原点，以BA，BD为x轴，y轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，‎ 则A（1，0，0），B（0，0，0），C（﹣，，0），‎ D（0，，0），E（0，，2），‎ F（1，0，1），则=（，，0），=（0，0，2），‎ ‎=（1，0，0），=（1，﹣，﹣1），‎ 设=λ=（λ，﹣λ，﹣λ）（0≤λ≤1），‎ 则=+=（λ，﹣，2﹣λ），‎ 设平面CDE的法向量为=（x1，y1，z1），平面ABM的法向量为=（x2，y2，z2），‎ 则，，‎ ‎∴，，‎ 令y1=1得=（﹣，1，0）（也可以证明向量是平面CDE的法向量） ‎ 令y2=2﹣λ得=（0，2﹣λ，）， ……………………………9分 ‎∴cos＜＞===，解得λ=，‎ ‎∴当M为EF的中点时，平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为． ………12分 ‎ ‎ ‎20.解：（1）设C方程为，则．‎ 由，得a=4‎ ‎∴椭圆C的方程为． …………………………………4分 ‎（2）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，‎ 代入，得x2+tx+t2﹣12=0‎ 由△＞0，解得﹣4＜t＜4‎ 由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12． …………………………………6分 ‎ ‎ ‎∴==．‎ 由此可得：四边形APBQ的面积 ‎∴当t=0时，． …………………………………8分 ‎②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k 则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）‎ 由 ‎（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0‎ ‎∴‎ 将k换成-k可得: …………………………10分 ‎ ∴‎ ‎∴‎ 所以AB的斜率为定值． ………………………………12分 ‎ ‎ ‎21.（1）∵函数f（x）=5+lnx，∴f（1）=5，且，‎ 从而得到f′（1）=1．‎ ‎∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣5=x﹣1，即y=x+4．…………2分 设直线y=x+4与g（x）=，（k∈R）相切于点P（x0，y0），‎ 从而可得g′（x0）=1，g（x0）=+4，又，‎ ‎∴，解得或．‎ ‎∴k的值为1或9． …………………………………………5分 ‎（2）当x∈（1，+∞）时，5+lnx＞恒成立，‎ 等价于当x∈（1，+∞）时，k＜恒成立． ……………………6分 设h（x）=，（x＞1），则，（x＞1）‎ 记p（x）=x﹣4﹣lnx，（x＞1），则p′（x）=1﹣=，‎ ‎∴p（x）在x∈（1，+∞）递增．‎ 又p（5）=1﹣ln5＜0，p（6）=2﹣ln6＞0， ……………………………………8 分 ‎∴p（x）在x∈（1，+∞）存在唯一的实数根m∈（5，6），使得p（m）=m﹣4﹣lnm=0，①‎ ‎∴当x∈（1，m）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在x∈（1，m）递减；‎ 当x∈（m，+∞）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，则h（x）在x∈（m，+∞）递增；‎ 所以x∈（1，+∞）时，hmin=h（m）=，‎ 由①可得lnm=m﹣4，∴h（m）=， ………………………10分 而m∈（5，6），m+（），又h（3+2）=8，‎ p（3+2）=2﹣1﹣ln（3+2）＞0，∴m∈（5，3+2），∴h（m）∈（，8）．‎ 又k∈N，∴k的最大值是7． ………………………………………12分 ‎ ‎ ‎22． (1)直线的参数方程为(为参数)，‎ 曲线的直角坐标方程： . ………………………………4分 ‎(2)把直线的参数方程代入，得：‎ ‎， ‎ 由韦达定理有：， ，‎ 根据直线参数的几何意义， ，得或.‎ 又因为，所以. ………………………10分 ‎ ‎ ‎23.（1）当时，， ‎ 由得不等式的解集为. …………………………5分 ‎（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，‎ 因为，在处取得最大值， ‎ 所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，‎ 只需，即. …………………………10分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎