广东省广州市天河区中考数学一模试卷含解析

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2018 年考数学模拟试卷 　一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．3 的相反数是（　　） A． B． C．3 D．﹣3 2．如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的， 这个几何体的主视图是（　　） A． B． C ． D． 3．下面的运算正确的是（　　） A．a+a2=a3 B．a2•a3=a5 C．6a﹣5a=1 D．a6÷a2=a3 4．下列图形中，不是中心对称有（　　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，二次函数 y=2（x﹣1）2+3 的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 6．若 y=kx﹣4 的函数值 y 随 x 的增大而增大，则 k 的值可能是下列的（　　） A．﹣4 B．﹣ C．0 D．3 7．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=16cm，AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D， 连接 BD，若 cos∠BDC= ，则 BC=（　　） A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm 8．祁中初三 66 班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了 930 份留言．如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． =930 B． =930 C．x（x+1）=930 D．x（x﹣1）=930 9．如图，PA 和 PB 是⊙O 的切线，点 A 和 B 的切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P=50°，则∠ACB 的大小 是（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 10．如图，菱形 ABCD 中，AB=AC，点 E、F 分别为边 AB、BC 上的点，且 AE=BF，连接 CE、AF 交于点 H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AB=AH•AF；其中结论正确 的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 11．分解因式：x2+3x=　 　． 12．在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是　 　． 13．把 103000000 这个数用科学记数法表示为　 　． 14． 若 a、b、c 为 三 角 形 的 三 边 ， 且 a、b 满 足 +（b﹣2） 2=0， 则 第 三 边 c 的 取 值 范 围 是　 　． 15．如图，用一个圆心角为 120°的扇形围成一个无底的圆锥， 如果这个圆锥底面圆的半径为 1cm，则这个扇形的半径是　 　cm． 16.如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使边 DC 落在对角线 AC 上，折痕为 CE， 且 D 点落在对角线 D′处．若 AB=3，AD=4，则 tan∠ECD= 三、解答题（本题有 9 个小题，共 66 分） 17．解方程组 ． 18．已知，如图，E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD 和 BC 上的点，AE=CF，求证：BE=DF． 19．先化简，再求值： ÷（1+ ），其中 x= ﹣1． 20．为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图 表．请结合图表所给出的信息解答下列问题： 成绩 频数 频率 优秀 45 b 良好 a 0.3 合格 105 0.35 不合格 60 c （1）该校初三学生共有多少人？ （2）求表中 a，b，c 的值，并补全条形统计图． （3）初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验 介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 21．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＜BC． （1）利用尺规作图，在 BC 边上确定点 E，使点 E 到边 AB，AD 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若 BC=8，CD=5，则 CE=　 　． 22．白溪镇 2012 年有绿地面积 57.5 公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014 年达到 82.8 公顷． （1）求该镇 2012 至 2014 年绿地面积的年平均增长率； （2）若年增长率保持不变，2015 年该镇绿地面积能否达到 100 公顷？ 23．如图，直线 y=2x 与反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象交于点 A（1，a），B 是反比例函数图象上一 点，直线 OB 与 x 轴的夹角为 α，tanα= ． （1）求 k 的值及点 B 坐标． （2）连接 AB，求三角形 AOB 的面积 S△AOB． 24．如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作⊙O 的切 线 DF，交 AC 于点 F． （1）求证：DF⊥AC； （2）若⊙O 的半径为 4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积． 25．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与 x 轴交于 A（﹣2，0）、C （8，0）两点，与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 D． （1）求该二次函数的解析式； （2）如图 1，连结 BC，在线段 BC 上是否存在点 E，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条 件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，若点 P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中 m＞0，n＜0），连结 PB，PD，BD， 求△BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标． 　 2018 年广东省广州市天河区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．（3 分）3 的相反数是（　　） A． B． C．3 D．﹣3 【解答】解：3 的相反数是：﹣3． 故选：D． 　www.czsx.com.cn 2．（3 分）如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从正面看易得主视图的形状： ． 故选：C． 　 3．（3 分）下面的运算正确的是（　　） A．a+a2=a3 B．a2•a3=a5 C．6a﹣5a=1 D．a6÷a2=a3 【解答】解：A、a+a2 无法计算，故此选项错误； B、a2•a3=a5，故此选项正确； C、6a﹣5a=a，故此选项错误； D、a6÷a2=a4，故此选项错误； 故选：B． 　 4．（3 分）下列图形中，不是中心对称有（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项正确． 故选：D． 　 5．（3 分）在平面直角坐标系中，二次函数 y=2（x﹣1）2+3 的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 【解答】解：∵二次函数 y=2（x﹣1）2+3， ∴该函数的顶点坐标是（1，3）， 故选：A． 　 6．（3 分）若 y=kx﹣4 的函数值 y 随 x 的增大而增大，则 k 的值可能是下列的（　　） A．﹣4 B．﹣ C．0 D．3 【解答】解：∵y=kx﹣4 的函数值 y 随 x 的增大而增大， ∴k＞0， 而四个选项中，只有 D 符合题意， 故选：D． 　 7．（3 分）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=16cm，AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD，若 cos∠BDC= ，则 BC=（　　） A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm 【解答】解：∵MN 为 AB 的中垂线， ∴BD=AD． 设 AD=acm， ∴BD=acm，CD=（16﹣a）cm， ∴cos∠BDC= = ， ∴a=10． ∴在 Rt△BCD 中，CD=6cm，BD=10cm， ∴BC=8cm． 故选：A． 　 8．（3 分）祁中初三 66 班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写 了 930 份留言．如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． =930 B． =930 C．x（x+1）=930 D．x（x﹣1）=930 【解答】解：设全班有 x 名同学，则每人写（x﹣1）份留言， 根据题意得：x（x﹣1）=930， 故选：D． 　 9．（3 分）如图，PA 和 PB 是⊙O 的切线，点 A 和 B 的切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P=50°，则∠ACB 的大小是（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【解答】解：连接 OB，如图， ∵PA、PB 是⊙O 的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC， 而∠AOB=∠OCB+∠OBC， ∴∠OCB= ×130°=65°， 即∠ACB=65°． 故选：A． 　 10．（3 分）如图，菱形 ABCD 中，AB=AC，点 E、F 分别为边 AB、BC 上的点，且 AE=BF，连接 CE、AF 交于点 H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD=AH•AF；其中结 论正确的个数是（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴AB=BC=AC， 即△ABC 是等边三角形， 同理：△ADC 是等边三角形 ∴∠B=∠EAC=60°， 在△ABF 和△CAE 中， ， ∴△ABF≌△CAE（SAS）； 故①正确； ∴∠BAF=∠ACE， ∵∠AEH=∠B+∠BCE， ∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120° 故②正确； ∵∠BAF=∠ACE，∠AEC=∠AEC， ∴△AEH∽△CEA， 故③正确； 在菱形 ABCD 中，AD=AB， ∵△AEH∽△CEA，∴△ABF≌△CAE， ∴△AEH∽△AFB， ∴ = ， ∴ = ， ∴AE•AD=AH•AF， 故④正确， 故选：D． 　 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．（3 分）分解因式：x2+3x=　x（x+3）　． 【解答】解：x2+3x=x（x+3）． 　 12．（3 分）在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是　x≥ 　． 【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0， 解得，x≥ ． 　 13．（3 分）把 103000000 这个数用科学记数法表示为　1.03×108　． 【解答】解：将 103000000 用科学记数法表示为：1.03×108． 故答案为：1.03×108． 　 14．（3 分）若 a、b、c 为三角形的三边，且 a、b 满足 +（b﹣2）2=0，则第三边 c 的取值范围是　1 ＜c＜5　． 【解答】解：由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0， 解得 a=3，b=2， ∵3﹣2=1，3+2=5， ∴1＜c＜5． 故答案为：1＜c＜5． 　 15．（3 分）如图，用一个圆心角为 120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为 1cm， 则这个扇形的半径是　1.5　cm． 【解答】解： 解得 R=1.5cm． 故答案为：1.5． 　 16．（3 分）如图，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1，点 P，Q 分别是边 BC，CD 的 动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四边形 AEPQ 的面积是　 　． 【解答】解：如图 1 所示： 作 E 关于 BC 的对称点 E′，点 A 关于 DC 的对称点 A′，连接 A′E′，四边形 AEPQ 的周长最小， ∵AD=A′D=3，BE=BE′=1， ∴AA′=6，AE′=4． ∵DQ∥AE′，D 是 AA′的中点， ∴DQ 是△AA′E′的中位线， ∴DQ= AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1， ∵BP∥AA′， ∴△BE′P∽△AE′A′， ∴ = ，即 = ，BP= ，CP=BC﹣BP=3﹣ = ， S 四边形 AEPQ=S 正方形 ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP =9﹣ AD•DQ﹣ CQ•CP﹣ BE•BP =9﹣ ×3×2﹣ ×1× ﹣ ×1× = ． 故答案为： ． 　 三、解答题（本题有 9 个小题，共 102 分） 17．（8 分）解方程组 ． 【解答】解： ， ①+②得，4x=12， 解得 x=3， 将 x=3 代入①得，3+2y=1， 解得 y=﹣1， 所以，方程组的解是 ． 　 18．（10 分）已知，如图，E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD 和 BC 上的点，AE=CF，求证：BE=DF． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， 又∵AE=CF， ∴AD﹣AE=BC﹣CF， 即 ED=BF， 而 ED∥BF， ∴四边形 BFDE 为平行四边形， ∴BE=DF（平行四边形对边相等）． 　 19．（10 分）先化简，再求值： ÷（1+ ），其中 x= ﹣1． 【解答】解：原式= ÷ ， = × ， = ． ∵x= ﹣1， ∴原式= = ． 　 20．（12 分）为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如 下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题： 成绩 频数 频率 优秀 45 b 良好 a 0.3 合格 105 0.35 不合格 60 c （1）该校初三学生共有多少人？ （2）求表中 a，b，c 的值，并补全条形统计图． （3）初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验 介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【解答】解：（1）由题意可得：该校初三学生共有：105÷0.35=300（人）， 答：该校初三学生共有 300 人； （2）由（1）得：a=300×0.3=90（人）， b= =0.15， c= =0.2； 如图所示： （3）画树形图得： ∵一共有 12 种情况，抽取到甲和乙的有 2 种， ∴P（抽到甲和乙）= = ． 　 21．（12 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＜BC． （1）利用尺规作图，在 BC 边上确定点 E，使点 E 到边 AB，AD 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若 BC=8，CD=5，则 CE=　3　． 【解答】解：（1）如图所示：E 点即为所求． （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD=5，AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∵AE 是∠A 的平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠BAE=∠BEA， ∴BE=BA=5， ∴CE=BC﹣BE=3． 故答案为：3． 　 22．（12 分）白溪镇 2012 年有绿地面积 57.5 公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014 年达到 82.8 公 顷． （1）求该镇 2012 至 2014 年绿地面积的年平均增长率； （2）若年增长率保持不变，2015 年该镇绿地面积能否达到 100 公顷？ 【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为 x，根据意，得 57.5（1+x）2=82.8　　　　 解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去） 答：增长率为 20%； （2）由题意，得 82.8（1+0.2）=99.36 公顷， 答：2015 年该镇绿地面积不能达到 100 公顷． 　 23．（12 分）如图，直线 y=2x 与反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象交于点 A（1，a），B 是反比例函数 图象上一点，直线 OB 与 x 轴的夹角为 α，tanα= ． （1）求 k 的值及点 B 坐标． （2）连接 AB，求三角形 AOB 的面积 S△AOB． 【解答】解：（1）把点 A（1，a）代入 y=2x， 得 a=2， 则 A（1，2）． 把 A（1，2）代入 y= ，得 k=1×2=2； 过 B 作 BC⊥x 轴于点 C． ∵在 Rt△BOC 中，tanα= ， ∴可设 B（2h，h）． ∵B（2h，h）在反比例函数 y= 的图象上， ∴2h2=2，解得 h=±1， ∵h＞0， ∴h=1， ∴B（2，1）； （2）∵A（1，2），B（2，1）， ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣x+3， 设直线 AB 与 x 轴交于点 D，则 D（3，0）， ∵S△AOB=S△ABD﹣S△OBD= •OD•yA﹣ •OD•yB， = ×3×2﹣ ×3×1， =3﹣ ， = ． 　 24．（12 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过点 D 作⊙O 的切线 DF，交 AC 于点 F． （1）求证：DF⊥AC； （2）若⊙O 的半径为 4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接 OD， ∵OB=OD， ∴∠ABC=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ODB=∠ACB， ∴OD∥AC， ∵DF 是⊙O 的切线， ∴DF⊥OD， ∴DF⊥AC． （2）解：连接 OE， ∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°， ∵OA=OE， ∴∠AOE=90°， ∵⊙O 的半径为 4， ∴S 扇形 AOE=4π，S△AOE=8 ， ∴S 阴影=4π﹣8． 　 25．（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与 x 轴交于 A（﹣2， 0）、C（8，0）两点，与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 D． （1）求该二次函数的解析式； （2）如图 1，连结 BC，在线段 BC 上是否存在点 E，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条 件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，若点 P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中 m＞0，n＜0），连结 PB，PD，BD， 求△BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数 y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与 x 轴交于 A（﹣2，0）、C（8，0）两点， ∴ ，解得 ， ∴该二次函数的解析式为 y= x2﹣ x﹣4； （2）由二次函数 y= x2﹣ x﹣4 可知对称轴 x=3， ∴D（3，0）， ∵C（8，0）， ∴CD=5， 由二次函数 y= x2﹣ x﹣4 可知 B（0，﹣4）， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， ∴ ，解得 ， ∴直线 BC 的解析式为 y= x﹣4， 设 E（m， m﹣4）， 当 DC=CE 时，EC2=（m﹣8）2+（ m﹣4）2=CD2， 即（m﹣8）2+（ m﹣4）2=52，解得 m1=8﹣2 ，m2=8+2 （舍去）， ∴E（8﹣2 ，﹣ ）； 当 DC=DE 时，ED2=（m﹣3）2+（ m﹣4）2=CD2， 即（m﹣3）2+（ m﹣4）2=52，解得 m3=0，m4=8（舍去）， ∴E（0，﹣4）； 当 EC=DE 时，（m﹣8）2+（ m﹣4）2=（m﹣3）2+（ m﹣4）2 解得 m5=5.5， ∴E（ ，﹣ ）． 综上，存在点 E，使得△CDE 为等腰三角形，所有符合条件的点 E 的坐标为（8﹣2 ，﹣ ）、（0， ﹣4）、（ ，﹣ ）． （3）过点 P 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 F， ∵P 点的横坐标为 m， ∴P 点的纵坐标为 m2﹣ m﹣4， ∵△PBD 的面积 S=S 梯形﹣S△BOD﹣S△PFD= m[4﹣（ m2﹣ m﹣4）]﹣ （m﹣3）[﹣（ m2﹣ m﹣4）]﹣ ×3×4 =﹣ m2+ m=﹣ （m﹣ ）2+ ∴当 m= 时，△PBD 的最大面积为 ， ∴点 P 的坐标为（ ，﹣ ）．