2018届二轮复习（理）数学思想领航一、函数与方程思想课件（全国通用）

2018届二轮复习（理）数学思想领航一、函数与方程思想课件（全国通用）

数学思想领航二轮复习 高 考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习，这样可以使理论指导实践， “ 一法一练 ” “ 一练一过 ” ，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果． 方法一　点坐标代入函数 ( 方程 ) 法 方法二　平面向量问题的函数 ( 方程 ) 法 方法三　不等式恰成立问题函数 ( 方程 ) 法 方法四　解析几何问题的函数 ( 方程 ) 法 一、函数与方程思想 函数思想 方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程 ( 组 ) ，通过解方程 ( 组 ) 或对方程 ( 组 ) 进行研究，以求得问题的解决 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的 . 函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系 方法一 点坐标代入函数 ( 方程 ) 法 模型解法 点坐标代入函数 ( 方程 ) 法是指把点 “ 放到 ” 函数图象中去 “ 入套 ” ，通过构造方程求解参数的方法 . 此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题 . 破解此类题的关键点： ① 点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式 . ② 解含参方程，求解关于参数的方程或不等式 . ③ 检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验 . 典例 1 　函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的反函数的图象过点 ( ， a ) ，则 a 的值 为 A.2 B.3 C.2 或 D . 答案 解析 解析　 因为函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的反函数为 y ＝ log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) ， 且 y ＝ log a x 的图象过点 ( ， a ) ， 所以 a ＝ log a ， 所以 a a ＝ ， 所以 a ＝ ， 检验易知当 a ＝ 时 ，函数有意义 . 故选 D. 思维升华　 应用此方法的易错点是忘记检验，在解出方程后，一定要回头望，把所求的解代入原函数中检验是否有意义 . 思维升华 √ 跟踪演练 1 　 函数 y ＝ log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的反函数的图象过点 ( a ， ) ，则 a 的 值为 ____. 答案 解析 解析　 因为函数 y ＝ log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的反函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的图象过点 ( a ， ) ， 所以 ＝ a a ， 即 ＝ a a ，所以 a ＝ . 经检验知 a ＝ 符合 要求 . 方法 二 平面向量问题的函数 ( 方程 ) 法 模型解法 平面向量问题的函数 ( 方程 ) 法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数 ( 方程 ) 问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题 . 破解此类题的关键点： ① 向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数 ( 方程 ). ② 代数函数 ( 方程 ) 化，利用函数 ( 方程 ) 思想，结合相应的函数 ( 方程 ) 的性质求解问题 . ③ 得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论 . 典例 2 　 已知 a ， b ， c 为平面上的三个向量，又 a ， b 是两个相互垂直的单位向量，向量 c 满足 | c | ＝ 3 ， c·a ＝ 2 ， c·b ＝ 1 ，则对于任意实数 x ， y ， | c － x a － y b | 的最小值为 ______. 答案 解析 解析　 由题意可知 | a | ＝ | b | ＝ 1 ， a·b ＝ 0 ，又 | c | ＝ 3 ， c·a ＝ 2 ， c·b ＝ 1 ， 所以 | c － x a － y b | 2 ＝ | c | 2 ＋ x 2 | a | 2 ＋ y 2 | b | 2 － 2 x c·a － 2 y c·b ＋ 2 xy a·b ＝ 9 ＋ x 2 ＋ y 2 － 4 x － 2 y ＝ ( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＋ 4 ， 当且仅当 x ＝ 2 ， y ＝ 1 时， | c － x a － y b | ＝ 4 ， 所以 | c － x a － y b | 的最小值为 2. 2 思维升华 思维升华　 平面向量中含函数 ( 方程 ) 的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式 . 跟踪演练 2 　 已知 e 1 ， e 2 是平面上两相互垂直的单位向量，若平面向量 b 满足 | b | ＝ 2 ， b·e 1 ＝ 1 ， b·e 2 ＝ 1 ，则对于任意 x ， y ∈ R ， | b － ( x e 1 ＋ y e 2 )| 的最小值为 _____. 答案 解析 ＝ 2 2 ＋ x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＝ ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＋ 2 ≥ 2 ， 当且仅当 x ＝ 1 ， y ＝ 1 时， | b － ( x e 1 ＋ y e 2 )| 2 取得最小值，此时 | b － ( x e 1 ＋ y e 2 )| 取得 最小值 . 方法三 不 等式恰成立问题函数 ( 方程 ) 法 模型解法 含参不等式恰成立问题函数 ( 方程 ) 法是指通过构造函数，把恰成立问题转化为函数的值域问题，从而得到关于参数的方程的方法 . 破解此类题的关键点： ① 灵活转化，即 “ 关于 x 的不等式 f ( x )< g ( a ) 在区间 D 上恰成立 ” 转化为 “ 函数 y ＝ f ( x ) 在 D 上的值域是 ( － ∞ ， g ( a )) ” ； “ 不等式 f ( x )> g ( a ) 在区间 D 上恰成立 ” 转化为 “ 函数 y ＝ f ( x ) 在 D 上的值域是 ( g ( a ) ，＋ ∞ ) ”. ② 求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域 . ③ 得出结论，列出参数 a 所满足的方程，通过解方程，求出 a 的值 . 答案 解析 思维升华 思维升华　 求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题 . 则 φ ′ ( x ) ＝ x (e x － 1). 跟踪演练 3 　 关于 x 的不等式 x ＋ － 1 － a 2 ＋ 2 a >0 在 (2 ，＋ ∞ ) 上恰成立，则 a 的 取值集合为 __________. 答案 解析 { － 1,3} 所以 f ( x )> f (2) ＝ 4. 所以 a 2 － 2 a ＋ 1 ＝ 4 ，解得 a ＝－ 1 或 a ＝ 3. 方法四 解析几何问题的函数 ( 方程 ) 法 模型解法 解析几何问题的函数 ( 方程 ) 法是解决解析几何问题中比较常见的一种方法，通过函数 ( 方程 ) 法把解析几何问题代数化，利用函数或方程进行求解，其关键是根据题意，构造恰当的函数或建立相应的方程解决问题 . 破解此类题的关键点： ① 代数化，把直线、圆、圆锥曲线以及直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系等转化为代数问题，构造函数解析式或方程 . ② 函数 ( 方程 ) 应用，利用函数的相关性质或方程思想来求解含有参数的解析几何问题 . ③ 得出结论，结合解析几何中的限制条件和函数 ( 方程 ) 的结论得出最终结论 . 典例 4 　已知直线 l 过定点 S (4,0) ， 与 ( x ≠ ±2) 交于 P ， Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为 P ′ ，连接 P ′ Q 交 x 轴于点 T ，当 △ PQT 的面积最大时 ， 直线 l 的方程为 __________________________ ___ . 答案 解析 思维升华 思维升华　 直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用 . 解析几何问题的方程 ( 函数 ) 法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题 . 消去 x 得 (3 k 2 ＋ 4) y 2 ＋ 24 ky ＋ 36 ＝ 0 ， Δ ＝ 576 k 2 － 4 × 36(3 k 2 ＋ 4) ＝ 144( k 2 － 4)>0 ， 即 k 2 >4. 设 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ，则 P ′ ( x 1 ，－ y 1 ). 解析　 设直线 l 的方程为 x ＝ ky ＋ 4( k ≠ 0) ， 将 ①② 代入上式得 x ＝ 1 ， 即 T (1,0) ，所以 | ST | ＝ 3 ， 所以 S △ PQT ＝ | S △ STQ － S △ STP | 跟踪演练 4 　 椭圆 C 1 ： 和 圆 C 2 ： x 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ r 2 ( r >0) ， 若两条 曲线 没有 公共点，则 r 的取值范围是 ___________________. 答案 解析 解析　 方法一 　联立 C 1 和 C 2 的方程，消去 x ， 由椭圆 C 1 可知，－ 2 ≤ y ≤ 2 ， 因 此，求使圆 C 2 与椭圆 C 1 有公共点的 r 的集合，等价于在定义域为 y ∈ [ － 2 ， 2 ] 的情况下， 方法二 　联立 C 1 和 C 2 的方程消去 x ，