数学卷·2018届湖南省娄底市双峰一中高二上学期第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届湖南省娄底市双峰一中高二上学期第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年湖南省娄底市双峰一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，5x12=60）‎ ‎1．在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是（　　）‎ A．9 B．18 C． D．‎ ‎2．抛物线y=2x2的焦点坐标为（　　）‎ A．（1，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，）‎ ‎3．下列命题为真命题的是（　　）‎ A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b C．若，则a＜b D．若，则a＜b ‎4．在等差数列{an}中，a2+a5=19，S5=40，则a10=（　　）‎ A．24 B．27 C．29 D．48‎ ‎5．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知函数f（x）=xex，则函数在（1，f（1））处切线的斜率为（　　）‎ A．1 B．2 C．e D．2e ‎7．下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”‎ B．命题“∀x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x＜0，x2+x﹣1＜0”‎ C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．‎ ‎8．若实数满足，则目标函数z=2x﹣y的最小值为（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．0‎ ‎9．已知x＞0，y＞0，且4x+y=1，则的最小值是（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S17＞0，S18＜0，则Sn取最大值时n的值为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎11．若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）‎ ‎12．如图，F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 （　　）‎ A． B．2 C．﹣1 D．1+‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，4x5=20）‎ ‎13．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为　　．‎ ‎14．已知：对∀x∈R+，a＜x+恒成立，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．数列{an}中，a1=﹣60，且an+1=an+3，则这个数列前30项的绝对值的和是 　　．‎ ‎16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表．‎ x ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：‎ 下列关于f（x）的命题：‎ ‎①函数f（x）是周期函数；‎ ‎②函数f（x）在[0，2]是减函数；‎ ‎③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；‎ ‎④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；‎ ‎⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．‎ 其中正确命题的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、简答题（简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题q：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．‎ ‎18．已知△ABC的三角为A，B，C对应的边为A，B，C满足2acosC=2b+c，‎ ‎（1）求A ‎（2）若a=2，b+c=4，求S△ABC．‎ ‎19．某木材加工厂为了提高生产效率和产品质量，决定添置一台12.5万元的新木材加工机器．若机器第x天的维护费为x元，则该机器使用多少天能使平均每天的支出最少？‎ ‎20．在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足a1=b1=3，a2=b4，a3=b13．‎ ‎（1）求数列{an}的{bn}通项公式；‎ ‎（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎21．已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线l的斜率为 ‎，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．‎ ‎22．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数y=f（x）的单调减区间；‎ ‎（Ⅱ）时，令．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅲ）若a≤0时，求证：函数f（x）≤x﹣1在x∈[1，+∞）恒成立．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省娄底市双峰一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，5x12=60）‎ ‎1．在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是（　　）‎ A．9 B．18 C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用三角形的内角和公式求得A=30°，可得△ABC为等腰三角形，直接利用△ABC的面积，求得结果．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，∴A=30°．‎ 故△ABC为等腰三角形，故b=6，则△ABC的面积为×6×6×sin120°=9，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．抛物线y=2x2的焦点坐标为（　　）‎ A．（1，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．‎ ‎【解答】解：整理抛物线方程得x2=y ‎∴焦点在y轴，p=‎ ‎∴焦点坐标为（0，）‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题为真命题的是（　　）‎ A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b C．若，则a＜b D．若，则a＜b ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确．‎ ‎【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；‎ 若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；‎ 若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；‎ 若，则，即a＜b，选项D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．在等差数列{an}中，a2+a5=19，S5=40，则a10=（　　）‎ A．24 B．27 C．29 D．48‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+a5=19，S5=40，‎ ‎∴2a1+5d=19， d=40，‎ 解得a1=2，d=3．‎ 则a10=2+9×3=29．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，‎ 例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；‎ 故前者不是后者的充分条件；‎ 当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；‎ 由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数f（x）=xex，则函数在（1，f（1））处切线的斜率为（　　）‎ A．1 B．2 C．e D．2e ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】欲求切线斜率，只须先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：依题意得y′=ex+xex，‎ 因此曲线y=xex在x=1处的切线的斜率等于2e．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”‎ B．命题“∀x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x＜0，x2+x﹣1＜0”‎ C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．‎ ‎【分析】写出原命题的否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；根据充要条件的定义，可判断C；判断原命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断D．‎ ‎【解答】解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；‎ 命题“∀x≥0，x2+x﹣1＜0”的否定是“∃x≥0，x2+x﹣1≥0”，故B错误；‎ ‎“x2﹣5x﹣6=0”⇔“x=﹣1，或x=6”，故“x=﹣1”是“x2‎ ‎﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故C错误；‎ 命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，故其逆否命题为真命题．故D正确；‎ 故选：D ‎　‎ ‎8．若实数满足，则目标函数z=2x﹣y的最小值为（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．0‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．‎ ‎【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），‎ 由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，‎ 平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．‎ 由，得，‎ 即A（﹣2，﹣1），‎ 此时z的最小值为z=﹣2×2+1=﹣3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知x＞0，y＞0，且4x+y=1，则的最小值是（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，且4x+y=1，‎ ‎∴=（4x+y）=5+=9，当且仅当y=2x=取等号．‎ ‎∴的最小值是9．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S17＞0，S18＜0，则Sn取最大值时n的值为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由题意可得a9＞0，a10＜0．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，S17＞0，且S18＜0‎ 即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0 ‎ ‎∴a10+a9＜0，a9＞0，‎ ‎∴a10＜0，‎ ‎∴等差数列{an}为递减数列，‎ 故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；‎ ‎∴Sn取最大值时n的值为9．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（﹣∞，）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．‎ ‎【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．如图，F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 （　　）‎ A． B．2 C．﹣1 D．1+‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】连结AF1，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，证出△F1AF2是含有30°角的直角三角形，由此得到|F1A|=c且|F2A|=c．再利用双曲线的定义，得到2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，即可算出该双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：连结AF1，‎ ‎∵F1F2是圆O的直径，‎ ‎∴∠F1AF2=90°，即F1A⊥AF2，‎ 又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，‎ ‎∴∠AF2F1=∠AF2B=30°，‎ 因此，Rt△F1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|=|F1F2|=c，‎ ‎|F2A|=|F1F2|=c．‎ 根据双曲线的定义，得2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，‎ 解得c=（+1）a，‎ ‎∴双曲线的离心率为e==+1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，4x5=20）‎ ‎13．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为　y=±x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线的渐近线方程为y=±x，运用离心率公式和基本量a，b，c的关系，即可得到所求方程．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 由离心率为，即为=，‎ 即c=a，‎ 则b===a，‎ 即有=，‎ 可得渐近线方程为y=±x．‎ 故答案为：y=±x．‎ ‎　‎ ‎14．已知：对∀x∈R+，a＜x+恒成立，则实数a的取值范围是　a＜2　．‎ ‎【考点】全称命题．‎ ‎【分析】根据基本不等式的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵∀x∈R+，x+≥，当且仅当x=，即x=1时取得号，‎ ‎∴要使a＜x+恒成立，则a＜2，‎ 故答案为：a＜2‎ ‎　‎ ‎15．数列{an}中，a1=﹣60，且an+1=an+3，则这个数列前30项的绝对值的和是 　765　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据已知条件得到此数列是首项为﹣60，公差d为3的等差数列，写出等差数列的通项公式，令通项公式大于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围为n大于等于21，即可得到前30项中，前20项的值都为负数，21项以后的项都为正数，根据负数的绝对值等于其相反数，正数的绝对值等于其本身把所求的式子进行化简，然后前20项提取﹣1，得到关于前30项的和与前20项和的式子，分别利用等差数列的前n项和的公式求出前20项的和和前30项的和，代入化简得到的式子中即可求出值．‎ ‎【解答】解：{an}是等差数列，an=﹣60+3（n﹣1）=3n﹣63，an≥0，解得n≥21．‎ ‎∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|‎ ‎=﹣（a1+a2+…+a20）+（a21+…+a30）=S30﹣2S20‎ ‎=﹣（﹣60+60﹣63）•20=765．‎ 故答案为：765‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表．‎ x ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：‎ 下列关于f（x）的命题：‎ ‎①函数f（x）是周期函数；‎ ‎②函数f（x）在[0，2]是减函数；‎ ‎③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；‎ ‎④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；‎ ‎⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．‎ 其中正确命题的序号是　②⑤　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：‎ 由图得：①为假命题．函数f（x）不能断定为是周期函数．‎ ‎②为真命题，因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；‎ ‎③为假命题，当t=5时，也满足x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2；‎ ‎④为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）﹣a有2个零点，也可以是3个零点．‎ ‎⑤为真命题，动直线y=a与y=f（x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．‎ 综上得：真命题只有②⑤．‎ 故答案为：②⑤‎ ‎　‎ 三、简答题（简答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题q：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．若p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：p为真时，△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，即a＞或a＜﹣1．‎ q为真时，2a2﹣a＞1，即a＞1或a＜﹣．‎ 若p∨q为真，p∧q为假，‎ 则p、q中有且只有一个是真命题，有两种情况：‎ p真q假时，＜a≤1，‎ p假q真时，﹣1≤a＜﹣，‎ ‎∴p、q中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|＜a≤1或﹣1≤a＜﹣}．‎ ‎　‎ ‎18．已知△ABC的三角为A，B，C对应的边为A，B，C满足2acosC=2b+c，‎ ‎（1）求A ‎（2）若a=2，b+c=4，求S△ABC．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式得到关系式，联立后根据sinC不为0求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，由sinA与bc的值，利用三角形的面积公式求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵2acosC=2b+c，由正弦定理可知2sinAcosC=2sinB+sinC，①‎ 三角形中有：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，②‎ 联立①②可化简得：2cosAsinC+sinC=0，‎ 在三角形中sinC≠0，得cosA=﹣，‎ 又0＜A＜π，‎ ‎∴A=；‎ ‎（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos，即12=16﹣2bc+bc，‎ 解得：bc=4，‎ 则S△ABC=bcsinA=×4×=．‎ ‎　‎ ‎19．某木材加工厂为了提高生产效率和产品质量，决定添置一台12.5万元的新木材加工机器．若机器第x天的维护费为x元，则该机器使用多少天能使平均每天的支出最少？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】确定每天的维护费数量，可得总维护费，进而可得总支出费、平均每天的支出，利用基本不等式，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：设机器使用x天最经济，则机器每天的维护费数量为1，2，3，…，x（元）‎ 这是一个等差数列，总维护费为（元）总支出费为125000+（元）‎ 平均每天的支出为当且仅当，即x=500时等号成立．‎ 答：该机器使用500天能使平均每天的支出最少．‎ ‎　‎ ‎20．在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足a1=b1=3，a2=b4，a3=b13．‎ ‎（1）求数列{an}的{bn}通项公式；‎ ‎（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）cn=（2n+1）•3n，利用“错位相减法”与等比数列求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得：，即，‎ 解得（ 舍），∴d=2，．‎ ‎（2）cn=（2n+1）•3n，‎ Sn=3×3+5×32+…+（2n+1）•3n，‎ ‎3Sn=3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n+（2n+1）•3n+1，‎ ‎∴﹣2Sn=3×3+2×（32+33+…+3n）﹣（2n+1）•3n+1=2×+3﹣（2n+1）•3n+1，‎ 化为：Sn=n•3n+1．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数2a=，得，离心率，于是，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为，把其与椭圆的方程联立，求出弦长，即为 ‎△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB的高，然后用基本不等式求最值．‎ ‎【解答】解：（1）由条件得：，解得，‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）设l的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由消去y得x2+2mx+2m2﹣4=0．‎ 令△=4m2﹣8m2+16＞0，解得|m|＜2，由韦达定理得．‎ 则由弦长公式得|AB|=•=•．‎ 又点P到直线l的距离，‎ ‎∴，‎ 当且仅当m2=2，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数y=f（x）的单调减区间；‎ ‎（Ⅱ）时，令．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅲ）若a≤0时，求证：函数f（x）≤x﹣1在x∈[1，+∞）恒成立．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求导函数，再根据f′（x）＜‎ ‎0，即可求出函数y=f（x）的单调减区间，‎ ‎（Ⅱ）先求导函数，再根据导数和函数的最值的关系即可求出，‎ ‎（Ⅲ）构造函数，求导函数，求出函数的最大值即可判断．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当时，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，x＞0，‎ ‎∴f′（x）=﹣（x﹣1）+，‎ 令f′（x）=﹣（x﹣1）+＜0，‎ 解得x＞2，‎ ‎∴f（x）在（2，+∞）单调递减；‎ ‎（Ⅱ）当a=时，h（x）=（x﹣1）2+lnx﹣3lnx+x﹣=（x﹣1）2﹣2lnx+x﹣，‎ ‎∴h′（x）=x﹣，令h′（x）=0得x=，‎ 当x∈[1，]时，h′（x）＜0，‎ 当x∈[，e]时，h'（x）＞0，‎ 故是函数h（x）在[1，e]上唯一的极小值点，‎ 故，‎ 又，，‎ ‎∴h（x）max==，‎ ‎（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣x+1=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x≥1‎ ‎∴g′（x）=2ax﹣2a++1==，‎ ‎∵a≤0，x≥1，‎ ‎∴g′（x）≤0在[1，+∞）山恒成立，‎ ‎∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴g（x）max=g（1）=﹣1+1=0，‎ ‎∴函数f（x）≤x﹣1在x∈[1，+∞）恒成立 ‎　‎ ‎2017年1月17日