数学文卷·2018届山西省晋城市高三上学期第一次模拟考试（2018

数学文卷·2018届山西省晋城市高三上学期第一次模拟考试（2018

‎2018届山西省晋城市高三上学期第一次模拟考试 数学（文）试题（解析版）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解方程组，得．故．选D．‎ ‎2. 已知复数，（ ）‎ A. -3 B. -1 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．选B．‎ ‎3. 函数的值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴，即函数的值域．‎ 设“在区间上随机取一个数，则”为事件A，‎ 由几何概型概率公式可得．选C．‎ ‎4. 已知在公比不为1的等比数列中，，且为和的等差中项，设数列的前项积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得．‎ 设等比数列的公比为，由为和的等差中项可得，即，整理得，由公比不为1，解得．‎ 所以．‎ 选D．‎ ‎5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图画可知该几何体（如图所示）是以直角为底面，以直角梯形ACDE为侧面，且侧面底面的几何体．‎ 过点B作于，则可得，故．所以 该几何体的体积 ．选A．‎ ‎6. 已知函数，若，则此函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得函数的定义域为．由，可得．所以若求函数的单调递增区间，只需求二次函数在区间上的单调递减区间即可，结合二次函数的图象可得在区间上单调递减，故函数的单调递增区间是．选C．‎ ‎7. 抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的面积为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图．设，过M作于，则．由条件知，所以，故，所以，‎ 故．又点在抛物线上，所以．‎ 由，解得．从而得．‎ ‎∴．选C．‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，则程序输出的结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】依次运行如图给出的程序，可得；‎ ‎，所以输出的的值构成周期为4的数列．因此当时，．故程序输出的结果为．选C．‎ ‎9. 已知函数的图像的一个对称中心为，其中为常数，且，若对任意的实数，总有，则的最小值是（ ） ‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数的图像的一个对称中心为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由，得．‎ 由题意得的最小值为函数的半个周期，即．选B．‎ ‎10. 在中，角的对边分别为，且，，，则的内切圆的半径为（ ）‎ A. B. 1 C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由及正弦定理得，‎ 整理得．‎ ‎∵，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，故．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 由余弦定理得，‎ 即，‎ 解得．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．选D．‎ 点睛：‎ ‎（1）解三角形中，余弦定理和三角形的面积公式经常综合在一起应用，解题时要注意余弦定理中的变形，如，这样借助于和三角形的面积公式联系在一起 ‎（2）求三角形内切圆的半径时，可利用分割的方法，将三角形分为三个小三角形，且每个小三角形的高均为内切圆的半径，然后利用公式可得半径．‎ ‎11. 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，过作的平行线交的延长线于，连．则即为异面直线与所成的角（或其补角）．‎ 设，则．‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为．选A．‎ 点睛：求异面直线所成角的方法 ‎①作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；‎ ‎②证：证明作出的角为所求角；‎ ‎③求：把这个平面角置于一个三角形中，往往通过解三角形求空间角．‎ 注意：异面直线所成角的范围为，因此若解三角形求得余弦值为正，则即为所求的异面直线所成角的余弦值；若为负，则要转化为正值．‎ ‎12. 已知函数，的图像在点处的切线与轴交于点，过点与轴垂直的直线与轴交于点，则线段中点的纵坐标的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设点，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴切线的方程为，‎ 令，得，故，‎ 又点，‎ ‎∴线段中点的纵坐标，‎ 设，‎ 则，‎ 故当时，单调递增；当时，单调递减．‎ ‎∴．选D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 由1，7，9三个数字组合成一个四位数（其中数字9是重复的），这个四位数有如下信息：（1）与四位数1799有且只有两个位置的数字是相同的；（2）与四位数7991有且只有一个位置的数字是相同的，则满足信息的四位数是__________．‎ ‎【答案】1979‎ ‎【解析】由信息（1）列举出满足条件的所有可能的四位数，共有五种，分别是：1997,1979,‎ ‎9791,9719,7199．‎ 若这个数是1997，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾；‎ 若这个数是1979，则满足信息（2）；‎ 若这个数是9791，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾；‎ 若这个数是9719，则与7991四个个位置的数字均不同，与信息（2）矛盾；‎ 若这个数是7199，则与7991有两个位置的数字相同，与信息（2）矛盾．‎ 综上可得这个四位数只能是1979．‎ 答案：1979‎ ‎14. 已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，故．‎ ‎．‎ 答案：‎ ‎15. 若满足约束条件，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．‎ 表示可行域内的点与点连线的斜率．‎ 由，解得，故得；‎ 由，解得，故得.‎ 因此可得，‎ 结合图形可得的取值范围为．‎ 答案：‎ ‎16. 已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，如果，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的定义及题意可得，解得．‎ 又，所以，‎ 整理得，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴，故．‎ ‎∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是．‎ 答案：‎ 点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 ‎(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；‎ ‎(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：‎ ‎①先判断函数的单调性，然后利用函数的单调性求解；‎ ‎②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎③利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列满足，.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前10项和.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）2041‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据等比数列的定义进行判断，即结合所给的递推关系可证得，从而得到结论．（2）由（1）可得，然后利用分组求和、并项求和法可得．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴ ，‎ 又，‎ ‎∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎18. 已知是的三个内角的对边，且满足.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）结合及正弦定理整理可得，所以，从而．（2）在三角形中先由余弦定理、再结合基本不等式可得 ，从而可得到，由此可得，可得周长的最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理得 ，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由余弦定理得，‎ ‎∴ ，‎ 当且仅当时等号成立．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 即周长的最大值为.‎ ‎19. 环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数浓度，制定了空气质量标准：‎ 空气污染指数 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号），王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值（写出推理过程，直接写出答案不得分）；‎ ‎（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；‎ ‎（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：‎ 根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写以下列联表，并回答是否有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.‎ 参考数据：‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】（1）0.003；（2）；（3）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意可得空气重度污染和严重污染的概率应为，然后根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可求得．（2）由题意得空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为，故根据分层抽样抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4天，空气中度污染天气被抽取2天，然后列举出所有的可能结果，根据古典概型概率公式求解．（3）由条件得到列联表，由此求得，然后结合所给的参考数据得到结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05，‎ 所以空气重度污染和严重污染的概率应为，‎ 由频率分布直方图可知：‎ ‎，‎ 解得.‎ ‎（2）因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为，‎ 按分层抽样从中抽取6天，则空气质量良好天气被抽取4天，记做，‎ 空气中度污染天气被抽取2天，记做，‎ 从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有： ，共15个．‎ 记事件为“至少有一天空气质量中度污染”，则事件所包含的基本事件有： ，共9个，‎ 故.‎ 即至少有一天空气质量中度污染的概率为．‎ ‎（3）列联表如下：‎ 由表中数据可得 ，‎ 所以至少有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.‎ 点睛：独立性检验的方法的解题步骤及注意事项 ‎（1）解题步骤：①构造2×2列联表；②计算K2；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．‎ ‎（2）注意事项：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．‎ ‎20. 在如图所示的五面体中，四边形为菱形，且，平面，，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，求到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）取中点，连接，由线面平行的判定定理可得平面；再由平面可得；由题意可证得四边形为平行四边形，故得，从而得到平面，由面面平行的判定可得平面平面，由此可得结论成立．（2）由（1）得平面，故到平面的距离等于到平面的距离．取的中点，连接，可证得，，从而可得平面，在此基础上可得，．然后设到平面的距离为，由可得所求．‎ 试题解析：‎ ‎（1）取中点，连接，‎ 因为分别为中点，所以，‎ 又平面，且平面，所以平面，‎ 因为平面，平面，平面平面，‎ 所以．‎ 又，，‎ 所以，.‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以.‎ 又平面且平面，所以平面，‎ 又，所以平面平面.‎ 又平面，所以平面.‎ ‎（2）由（1）得平面，所以到平面的距离等于到平面的距离．‎ 取的中点，连接，‎ 因为四边形为菱形，且，，‎ 所以，，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面，，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 设到平面的距离为，又因为，‎ 所以由，得，‎ 解得.‎ 即到平面的距离为．‎ 点睛：‎ ‎（1）求空间中点到面的距离时，一般是选择一个合适的三棱锥，将所求的距离看作是该棱锥的高，然后根据等体积法求解．‎ ‎（2）空间距离的求法一般都化归为点与点、点与线、点到面的距离来求．‎ ‎21. 已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，分别为椭圆的左，右两个顶点.若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，且线段的斜率之积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与相交于点，证明：三点共线.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据点在椭圆上和的斜率之积为可得到关于的方程组，解方程组后可得椭圆的方程．（2）由（1）可得轴，要证三点共线，只需证轴，即证，即证直线与交点的横坐标为1．根据题意可得直线，，故只需证当x=1时，成立即可，结合由直线的方程和椭圆方程联立消元后得到的二次方程可得显然成立，故得所证结论成立．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵点在椭圆，‎ ‎∴①．‎ 设，由线段的斜率之积为得，‎ ‎ ，‎ ‎∴②，‎ 由①②解得，，.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）可得轴，要证三点共线，只需证轴，即证.‎ 由消去y整理得，‎ ‎∵直线与椭圆交于两点，‎ ‎∴ ‎ 设，，‎ 则，（*），‎ 因为直线，，‎ 即证：，‎ 即证 .‎ 即证.‎ 将（*）代入上式可得，‎ 整理得.‎ 此式明显成立，故原命题得证.‎ 所以三点共线.‎ ‎22. 已知函数 .‎ ‎（1）若是函数的极值点，求的值及函数的极值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）见解析 ‎【解析】（1）∵ ，‎ ‎∴，‎ 由已知 ，‎ 解得，‎ 此时， ，‎ 当和时，，是增函数，‎ 当时，，是减函数，‎ 所以函数在和处分别取得极大值和极小值.‎ 故函数的极大值为，极小值为.‎ ‎（2）由题意得 ，‎ ‎①当，即时，‎ 则当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ ‎②当，即时，‎ 则当和时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ ‎③当，即时，‎ 则当和时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ ‎④当，即时，‎ ‎，所以在定义域上单调递增．‎ 综上：①当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；‎ ‎②当时，在定义域上单调递增；‎ ‎③当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；‎ ‎④当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ 点睛：‎ ‎（1）由于是为函数极值点的必要不充分条件，因此在由所给的极值点（或极值）求得参数的值后，需要进行验证．‎ ‎（2）利用导数讨论函数单调性的步骤 ‎①确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎②求导数，令，求出在定义域内的一切实根；‎ ‎③把上面的实数根按由小到大的顺序排列，用这些点把函数的定义域分成若干个区间；‎ ‎④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．‎ 要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数 在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．‎