2019-2020学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．顶点在原点，焦点是的抛物线的方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，由抛物线的焦点分析可得抛物线开口向上且3，解可得p的值，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，要求抛物线的顶点在原点，焦点是（0，3），‎ 则抛物线开口向上且3，解可得p＝6，‎ 则要求抛物线的方程为x2＝12y；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的几何性质以及标准方程，属于基础题．‎ ‎2．下列叙述不正确的是（　　　　）‎ A．平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的范围是0°≤α＜180°‎ C．若一条直线的倾斜角为α（α≠90°），则此直线的斜率为tanα D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据斜率的定义知当直线与轴垂直时，斜率不存在，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据斜率的定义知：当直线与轴垂直时，斜率不存在，故错误，其他选项正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的倾斜角和斜率的定义，属于简单题.‎ ‎3．已知命题p：“m＝﹣2”，命题q：“直线4x﹣y＝0与直线x+m2y＝0互相垂直”．则命题p是命题q的（　　　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】根据垂直计算得到，根据范围的大小关系得到答案.‎ ‎【详解】‎ 直线4x﹣y＝0与直线x+m2y＝0互相垂直，即；‎ 故命题p是命题q的充分不必要条件 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分不必要条件，根据垂直得到是解题的关键.‎ ‎4．若曲线C：x2+y2﹣2ax+6ay+10a2﹣1＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（　　　　）‎ A．（﹣1，0） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（0，1）‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简得到，根据所有的点均在第二象限内得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 曲线C：x2+y2﹣2ax+6ay+10a2﹣1＝0即 ‎ 所有的点均在第二象限内，即解得 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆C上不存在点P使，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意得到恒成立，得到计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 椭圆C上不存在点P使，即恒成立 当在短轴顶点时最大，即，即 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的离心率，确定角度最大的点是解题的关键.‎ ‎6．“”的否定是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为全称命题的否定是存在性命题，所以“”的否定是“”，故选D.‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎7．已知双曲线的一条渐近线方程为，且它的一个焦点在抛物线y2＝12x的准线上，则双曲线的方程为（　　　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据渐近线得到，再计算抛物线的准线为得到，解得答案.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的一条渐近线方程为 抛物线的准线为，故双曲线的一个焦点为 ‎ 故 双曲线方程为：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线方程，抛物线的准线，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎8．半径为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线y=0和均相切，则该圆的标准方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意设出圆心（a，﹣1），再由点到直线的距离公式求出，结合圆的标准方程以及选项即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 由题意可设圆心坐标为（a，﹣1），r=1．‎ 则，即，‎ 解得a或．‎ 结合选项可得，所求圆的方程为．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点到直线的距离公式、圆的标准方程以及直线与圆的位置关系，需熟记点到直线的距离公式，圆的标准方程形式.属于基础题.‎ ‎9．设双曲线的左、右两焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且，则双曲线离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，根据直角三角形的性质，可得，得到，即即，再根据离心率的定义，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，不妨设点在双曲线的右支上，则，‎ 因为，所以， ‎ 因为点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，‎ 根据直角三角形的性质，可得，所以，‎ 即，得．所以双曲线的离心率，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．‎ ‎10．已知（﹣2，1）是直线l被椭圆所截得线段的中点，则直线l的方程是（　　　　）‎ A．x﹣2y＝0 B．x﹣2y+4＝0 C．2x+y+3＝0 D．2x﹣3y﹣1＝0‎ ‎【答案】B ‎【解析】设直线l与椭圆相交于，设 ‎ ，代入作差得到 解得直线方程.‎ ‎【详解】‎ 设直线l与椭圆相交于，设 ‎ 则，两式相减得到 即，故直线方程为 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用点差法求直线方程，意在考查学生对于点差法的掌握情况和计算能力.‎ ‎11．已知点P（x，y）是直线上一动点，直线PA，PB是圆C：x2+y2﹣4y＝0的两条切线，A，B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（　　　　）‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】化简得到得到半径和圆心，计算，计算最小值代入得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，圆心，半径 ‎ ‎ 即当最小时面积最小 最小值为圆心到直线的距离：故 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了与圆相关的面积的最小值问题，计算得到是解题的关键.‎ ‎12．已知P为椭圆上的点，点M为圆上的动点，点 N为圆上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为（　　　　）‎ A．28 B．30 C．32 D．36‎ ‎【答案】A ‎【解析】先计算，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 椭圆焦点坐标为， ‎ ‎，当共线和共线时等号成立 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆距离的最值问题，将距离转化为到圆心的距离是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是线段PF1的中点，|OM|＝2（O为坐标原点），则|PF1|＝_____．‎ ‎【答案】6．‎ ‎【解析】根据椭圆定义得到，根据中位线得到得到答案.‎ ‎【详解】‎ 椭圆，则， ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了焦点三角形的长度问题，利用中位线得到是解题的关键.‎ ‎14．已知变量满足约束条件 ，则的取值范围是______________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，易知两点是最优解，当过时， 为最大值，当过时， 为最小值，因此的范围是．‎ ‎15．已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的倍，点在线段上，则的周长为________.‎ ‎【答案】44‎ ‎【解析】【详解】‎ 由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5，0)，‎ 所以P，Q都在双曲线的右支上，‎ 则有，‎ 两式相加，利用双曲线的定义得，‎ 所以△PQF的周长为=28＋16＝44.‎ 故答案为44.‎ ‎16．F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别为曲线C1，C2的离心率，P为曲线C1，C2的一个公共点，若，且，则e1∈_____．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】不妨设点P在第一象限，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△PF1F2中，由余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mncos．4c2＝a2+3a12得到，根据范围得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，设双曲线C2的标准方程为：1（a1，b1＞0），半焦距为c．‎ 椭圆C1：（a＞b＞0），半焦距为c．‎ 不妨设点P在第一象限，设|PF1|＝m，|PF2|＝n．‎ ‎∴m+n＝2a，m﹣n＝2a1．⇒m＝a+a1．n＝a﹣a1．‎ 在△PF1F2中，由余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mncos．4c2＝a2+3a12．‎ 两边同除以c2，得，∵，∴‎ ‎∴．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆和双曲线的离心率，计算得到是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知点A（a，3），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．‎ ‎（1）设a＝4，求过点A且与圆C相切的直线方程；‎ ‎（2）设a＝3，直线l过点A且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．‎ ‎【答案】(1) y（x﹣4）+3；(2) y＝x﹣6或yx+2．‎ ‎【解析】（1）设过A的直线为y＝k（x﹣4）+3，利用d2计算得到答案.‎ ‎（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣3）+3，利用圆心到l的距离d解得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）a＝4时，设过A的直线为y＝k（x﹣4）+3，则圆C的圆心（1，2）到直线的距离d2，解得k，‎ 所以过点A且与圆相切的直线方程为：y（x﹣4）+3；‎ ‎（2）a＝3时，设直线l的方程为y＝k（x﹣3）+3，则圆心到l的距离d，解得k＝1或，‎ 所以直线l的方程为y＝x﹣6，或yx+2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB+sinC）（b﹣c）＝（sinA+sinC）a．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）已知b＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【答案】(1) B．(2) 24．‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理得到a2+c2﹣b2＝﹣ac，再利用余弦定理得到，解得答案.‎ ‎（2）根据面积公式计算得到ac＝4，再利用余弦定理得到a+c＝2，得到周长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵（sinB+sinC）（b﹣c）＝（sinA+sinC）a，‎ ‎∴由正弦定理可得：（b+c）（b﹣c）＝（a+c）a，∴a2+c2﹣b2＝﹣ac，‎ ‎∴cosB，∵B∈（0，π），∴B．‎ ‎（2）∵b＝4，B，△ABC的面积为acsinBac，∴解得ac＝4，‎ 由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得16＝a2+c2+ac＝（a+c）2﹣ac＝（a+c）2﹣4‎ 解得a+c＝2， ∴△ABC的周长a+c+b＝24．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.‎ ‎19．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：对任意的n∈N，都有an+1+Sn+1＝1，又a1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn＝log2an，求（n∈N）‎ ‎【答案】(1) an；(2)．‎ ‎【解析】（1）利用公式化简得到，计算，得到答案.‎ ‎（2）计算得到，，利用裂项求和计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，由an+1+Sn+1＝1，①，则有an+Sn＝1，②，（n≥2）‎ ‎①﹣②得：2an+1＝an，即an+1an，又由a1，‎ 当n＝1时，有a2+S2＝1，即a2+（a1+a2）＝1，解可得a2，‎ 则所以数列{an}是首项和公比都为的等比数列，故an；‎ ‎（2）由（1）的结论，an，则bn＝log2an＝﹣n，则＝（1）+（）+……+（）＝1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前项和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，过右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）斜率为1的直线l与椭圆相交于B，D两点，若以线段BD为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．‎ ‎【答案】(1)．(2) y＝x或y＝x．‎ ‎【解析】（1）根据离心率得到a2＝2 c2，根据得到，计算得到答案.‎ ‎（2）设 l 的方程为：y＝x+m，B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，利用韦达定理得到x1+x2，x1 x2，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵椭圆的离心率为，∴e，即a2＝2c2①，‎ ‎∵过右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，．‎ ‎∴M（c，）再代入椭圆方程得，②，又a2＝b2+c2③，‎ 联立①②③得，b2＝c2＝1，a2＝2，∴椭圆方程：．‎ ‎（2）设 l 的方程为：y＝x+m，B（x1，y1），D（x2，y2），‎ 联立，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，‎ x1+x2，x1 x2，y1+y2，y1 y2，‎ ‎∵以线段BD为直径的圆恰好过坐标原点，‎ ‎∴0，‎ ‎∴m．‎ ‎∴直线l方程为 y＝x或y＝x．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程，直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎21．在如图所示的五面体中，，，，四边形是正方形，二面角的大小为．‎ ‎（1）在线段上找出一点，使得平面，并说明理由；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）当点为线段的中点时，平面，利用线面平行的判定定理证明；（2）利用空间向量法求线面角。‎ 试题解析：‎ ‎（1）当点为线段的中点时，平面；‎ 取的中点，连接；‎ 因为，，‎ ‎，所以，又四边形是正方形，所以，，‎ 故四边形为平行四边形，故，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为四边形是正方形，二面角的大小为，‎ 所以平面，‎ 在中，由余弦定理得，所以．‎ 如图，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 所以，，，‎ 设平面的法向量为，由 所以取，则，，得，‎ 故所求正弦值为．‎ 点睛：立体几何求线面角、二面角可以借助空间坐标系求解。首先正确建立空间坐标系，求解点坐标，然后求出对应的面的法向量、目标线向量，利用求角公式，求得线面角、二面角即可。‎ ‎22．在如图所示的五面体ABCDEF中，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠ADC＝∠BCD＝120°，四边形EDCF是正方形，二面角E﹣DC﹣A的大小为90°．‎ ‎（1）求证：直线AD⊥平面BDE ‎（2）求点D到平面ABE的距离．‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)．‎ ‎【解析】（1）先证明ED⊥AD，再由余弦定理得BD，根据勾股定理证明AD⊥BD得到证明.‎ ‎（2）利用等体积法VE﹣ABD＝VD﹣ABE，得到计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为四边形EDCF为正方形，所以ED⊥CD 因为二面角E﹣DC﹣A的大小为90°，所以平面EDCF⊥平面ABCD，‎ 由面面垂直的性质定理得ED⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，‎ 所以ED⊥AD，又因为∠ADC＝120°，AB∥CD，‎ 所以∠DAB＝60°，又AB＝2AD＝2，‎ 所以由余弦定理得BD，所以AD2+BD2＝AB2，即AD⊥BD，‎ 又DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BDE，所以AD⊥平面BDE；‎ ‎（2）设点D到平面ABE的距离为h，则VE﹣ABD＝VD﹣ABE，‎ 所以所以h，‎ 所以点D到平面ABE的距离为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面垂直，点到平面的距离，利用等体积法可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎23．已知动点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数．‎ ‎（1）求动点M的轨迹方程；‎ ‎（2）令（1）中方程表示曲线C，点S（2，0），过点B（1，0）的直线l与曲线C相交于P，Q两点，求△PQS的面积的取值范围．‎ ‎【答案】(1)，(2) 0＜S．‎ ‎【解析】（1）设M（x，y），直接根据距离比计算得到答案.‎ ‎（2）设直线l：x＝ky+1，联立方程，利用韦达定理得到y1+y2，y1y2，令t，则|AB|＝4，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设M（x，y），由题意得，得，‎ ‎（2）设直线l：x＝ky+1，由，消去x得（4+k2）y2+2ky﹣3＝0，‎ y1+y2，y1y2，‎ ‎|PQ ||y1﹣y2|4，‎ 令t∈（0，]，‎ 上式化简为：|PQ |＝4|＝4，‎ 函数在定义域内单调递减，故当t，有最大值，‎ 所以0＜S．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程，面积的取值范围，意在考查学生的计算能力.‎