中考数学重难点专题讲座动态几何

中考数学重难点专题讲座动态几何

中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题 ‎【前言】‎ 从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法， ‎ 第一部分 真题精讲 ‎【例1】（2010，密云，一模）‎ 如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．‎ ‎【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。‎ ‎【解析】‎ 解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图①，过作交于点，则四边形是平行四边形．‎ ‎∵，．‎ ‎∴． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）‎ ‎∴． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）‎ ‎∴ ．解得． ‎ ‎【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 ‎【解析】‎ ‎（2）分三种情况讨论：‎ ‎① 当时，如图②作交于，则有即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ 解得．‎ ‎② 当时，如图③，过作于H．‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎③ 当时， ‎ 则．‎ ‎． ‎ 综上所述，当、或时，为等腰三角形．‎ ‎【例2】（2010，崇文，一模）‎ 在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．‎ ‎（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？‎ ‎（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，，CD=，求线段CP的长．（用含的式子表示）‎ ‎ ‎ ‎【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。‎ ‎【解析】：‎ ‎（1）结论：CF与BD位置关系是垂直； ‎ 证明如下：AB=AC ，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º．‎ 由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º， ‎ ‎∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD．‎ ‎∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD．‎ ‎【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。‎ ‎（2）CF⊥BD．(1)中结论成立．‎ ‎ 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ‎ ‎∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD ‎【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.‎ ‎（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ‎ ‎①点D在线段BC上运动时，‎ ‎∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x，‎ 易证△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，‎ ‎． ‎ ‎②点D在线段BC延长线上运动时，‎ ‎∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x． ‎ 过A作交CB延长线于点G，‎ 则． CF⊥BD，‎ ‎△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，‎ ‎．‎ ‎【例3】（2010，怀柔，一模）‎ 已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．‎ ‎（1）求证：梯形是等腰梯形；‎ ‎（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；‎ ‎（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．‎ A D C B P M Q ‎60°‎ ‎【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：∵是等边三角形 ‎∴‎ ‎∵是中点 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴梯形是等腰梯形．‎ ‎（2）解：在等边中，‎ ‎∴ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵ ∴‎ ‎∴ ∴ (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)‎ ‎【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。‎ ‎（3）解： 为直角三角形 ‎∵‎ ‎∴当取最小值时，‎ ‎∴是的中点，而 ‎∴‎ ‎∴‎ 以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.‎ ‎【例4】2010，门头沟，一模 已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．‎ ‎（1）直接写出线段与的数量关系；‎ ‎（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，．‎ 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． ‎ ‎（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）‎ ‎【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。‎ ‎（1） ‎ ‎（2）（1）中结论没有发生变化，即．‎ 证明：连接，过点作于，与的延长线交于点．‎ 在与中，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴． ‎ 在与中，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴ ‎ ‎ 在矩形中， ‎ 在与中，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴． ‎ ‎∴ ‎ ‎【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。‎ ‎（3）（1）中的结论仍然成立． ‎ ‎【例5】（2010，朝阳，一模）‎ 已知正方形ABCD的边长为‎6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．‎ ‎（1）当=1 时，CF=______cm，‎ ‎（2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值；‎ ‎（3）当= x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．‎ C A D B ‎ ‎ ‎【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。‎ 图1‎ ‎【解析】‎ ‎（1）CF= ‎6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY） ‎ ‎（2）① 如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，‎ ‎∵ AB∥CF，∴ △ABE∽△FCE，∴ ．‎ ‎∵ =2， ∴ CF=3．‎ ‎∵ AB∥CF，∴∠BAE=∠F．‎ 又∠BAE=∠B′ AE， ∴ ∠B′ AE=∠F．∴ MA=MF．‎ 设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k．‎ 在Rt△ADM中，由勾股定理得：‎ k2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=． ∴ DM=．（设元求解是这类题型中比较重要的方法）‎ 图2‎ ‎∴ sin∠DAB′=； ‎ ‎②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′ E于点N，‎ 同①可得NA=NE．‎ 设NA=NE=m，则B′ N=12-m．‎ 在Rt△AB′ N中，由勾股定理，得 m2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=． ‎ ‎∴ B′ N=． ∴ sin∠DAB′=． ‎ ‎（3）①当点E在BC上时，y=； ‎ ‎ （所求△A B′ E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长）‎ ‎②当点E在BC延长线上时，y=． ‎ ‎【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：‎ 第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。‎ 第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。‎ 第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。‎ 第二部分 发散思考 ‎【思考1】2009，石景山，一模 已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且．‎ ‎（1）求证：∽；‎ ‎（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；‎ ‎（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。‎ ‎【思考2】2009，西城，二模 ‎ ‎△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若＜∠PBC＜180°，‎ 且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，‎ ‎（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；‎ ‎（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；‎ ‎（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢？留给大家思考一下~‎ ‎【思考3】2009，怀柔，二模 如图：已知，四边形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．‎ 点O为BC边上的一个动点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．‎ ‎（1）当BO=AD时，求BP的长；‎ ‎（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。‎ A B C D O P M N A B C D ‎（备用图）‎ ‎【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。‎ ‎【思考4】2009，北京 在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)‎ ‎（1）在图1中画图探究：‎ ‎①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；‎ ‎②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C‎1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.‎ ‎（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.‎ ‎【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。‎ 第三部分 思考题解析 ‎【思考1解析】‎ ‎（1）证明：∵ ，∴ ．∴ ．‎ ‎ 又∵ ，∴ ．‎ ‎ ∴ ．∴ ∽． ‎ 第25题 ‎ （2）证明：如图，过点作，交于点，‎ ‎ ∵ 是的中点，容易证明．‎ ‎ 在中，∵ ，∴ ．‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ ∴ ． ‎ ‎ （3）解：的周长，．‎ ‎ 设，则．‎ ‎ ∵ ，∴ ．即．‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ 由（1）知∽，‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ ∴ 的周长的周长．‎ ‎ ∴ 的周长与值无关． ‎ ‎【思考2答案】‎ 图8‎ 解：（1）∠BPD= 30 °； ‎ ‎（2）如图8，连结CD． ‎ ‎ 解一：∵ 点D在∠PBC的平分线上，‎ ‎ ∴ ∠1=∠2．‎ ‎ ∵ △ABC是等边三角形，‎ ‎ ∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°．‎ ‎ ∵ BP=BA，‎ ‎ ∴ BP=BC．‎ ‎ ∵ BD= BD，‎ ‎ ∴ △PBD≌△CBD．‎ ‎ ∴ ∠BPD=∠3．- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 ‎ ∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD，‎ ‎ ∴ △BCD≌△ACD．‎ ‎ ∴ ． ‎ ‎ ∴ ∠BPD =30°． ‎ ‎ 解二：∵ △ABC是等边三角形，‎ ‎ ∴ BA =BC=AC．‎ ‎ ∵ DB=DA，‎ ‎ ∴ CD垂直平分AB． ‎ ‎ ∴ ． ‎ ‎ ∵ BP=BA，‎ ‎ ∴ BP=BC．‎ ‎ ∵ 点D在∠PBC的平分线上， ‎ ‎ ∴ △PBD与△CBD关于BD所在直线对称．‎ ‎ ∴ ∠BPD=∠3． ‎ ‎ ∴ ∠BPD =30°． ‎ ‎ （3）∠BPD= 30°或 150° ． ‎ ‎ 图形见图9、图10． ‎ 图9‎ 图10‎ ‎ ‎ ‎【思考3解析】‎ 解：（1）过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=得BE=3． ‎ ‎ ∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，‎ ‎∴AD=EC=BC－BE=3．‎ ‎ 当BO=AD=3时， 在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP ‎ ∵,∴BH=．‎ ‎ ∴BP=． ‎ ‎（2）不存在BP=MN的情况- ‎ 假设BP=MN成立，‎ ‎∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC.‎ ‎ 过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB,‎ ‎∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC- ‎ ‎ 设BO=x，则PO=x,由，得BH=, ‎ ‎∴BP=2BH=. ‎ ‎∴BQ=BP×cosB=，PQ=．‎ ‎∴OQ=．‎ ‎∵△PQO∽△DOC，∴即，得． ‎ 当时，BP==＞5=AB，与点P应在边AB上不符，‎ ‎∴不存在BP=MN的情况. ‎ ‎（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------7分 ‎ 情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤.-------8分 A B C D O P M N Q H ‎【思考4解析】‎ 解：（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．‎ 证明：如图1，设直线与直线的交点为．‎ ‎∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，‎ ‎∴．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ F D C B A E 图1‎ G2‎ G1‎ P1‎ H P2‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．‎ ‎（2）∵四边形是平行四边形，‎ ‎∴．‎ D G1‎ P1‎ H C B A E F 图2‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 可得．‎ 由（1）可得四边形为正方形．‎ ‎∴．‎ ‎①如图2，当点在线段的延长线上时，‎ F G1‎ P1‎ C A B E D H 图3‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎③当点与点重合时，即时，不存在．‎ 综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或．‎