2014届高三理科数学一轮复习试题选编19:空间角与空间距离(学生版)

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2014届高三理科数学一轮复习试题选编19:空间角与空间距离(学生版)

‎2014届高三理科数学一轮复习试题选编19:空间角与空间距离 一、选择题 .(2009高考(北京理))若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60°角,则到底面的距离为 (  )‎ A. B.1 ‎ C. D.‎ .(2013届北京西城区一模理科)如图,正方体中,为底面上的动点,于,且,则点的轨迹是 (  )‎ A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 二、解答题 .(北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题)A B C D E N M 如图,在菱形中,,是的中点, ⊥平面,且在矩形中,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:⊥;‎ ‎(Ⅱ)求证: // 平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小.‎ .(2013届北京丰台区一模理科)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,MD⊥平面ABCD,NB∥MD,且NB=1,MD=2;‎ ‎(Ⅰ)求证:AM∥平面BCN;‎ ‎(Ⅱ)求AN与平面MNC所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)E为直线MN上一点,且平面ADE⊥平面MNC,求 的值.‎ ‎.‎ .(北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题)如图,在三棱锥中,侧面与底面垂直, 分别是的中点,,,.‎ ‎(1)求证://平面;‎ ‎(2)若点在线段上,问:无论在的何处,是否都有?请证明你的结论;‎ ‎(3)求二面角的平面角的余弦值.‎ .(北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 )如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,,°,平面PAB平面ABC,D、E分别为AB、AC中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:DE‖平面PBC;‎ ‎(Ⅱ)求证:ABPE;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大小. ‎ .(2013北京房山二模数学理科试题及答案)如图, 是正方形, 平面,‎ ‎,.‎ ‎(Ⅰ) 求证:;‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,证明你的结论.‎ .(2013届北京大兴区一模理科)如图,直三棱柱ABC—A1B‎1C1中,是等边三角形,D是BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:A1B//平面ADC1;‎ ‎(Ⅱ)若AB=BB1=2,求A1D与平面AC1D所成角的正弦值.‎ .(2013届北京市延庆县一模数学理)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 如图,四棱锥的底面为菱形,,侧面是边长为2的正三角形,侧面底面.‎ ‎(Ⅰ)设的中点为,求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求斜线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)在侧棱上存在一点,使得二面角 的大小为,求的值.‎ .(北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题)如图,四棱锥中,底面为正方形,,平面,‎ 为棱的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:// 平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面平面; ‎ ‎(Ⅲ)求二面角的余弦值.‎ .(2013北京朝阳二模数学理科试题)如图,四边形是正方形,平面,,,,, 分别为,,的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的大小;‎ ‎(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使直线与直线所成的角为?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.‎ A D B C P E F G H .(北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 )如图,在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,,CC1=4,M是棱CC1上一点.‎ ‎(Ⅰ)求证:BC⊥AM;‎ ‎(Ⅱ)若N是AB上一点,且,求证:‎ CN //平面AB‎1M;‎ ‎(Ⅲ)若,求二面角A-MB1-C的大小.‎ .(北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )(本小题满分14分)在长方体中,,,为中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使得∥平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ .(2013北京顺义二模数学理科试题及答案)如图,在长方体中,,为的中点,为的中点.‎ ‎(I)求证:平面;‎ ‎(II)求证:平面;‎ ‎(III)若二面角的大小为,求的长.‎ .(2013届北京西城区一模理科)在如图所示的几何体中,面为正方形,面为等腰梯形,//,,‎ ‎,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面平面?证明你的结论.‎ .(北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )在长方体中,,点在棱上,且.‎ A1‎ B1‎ E C B D1‎ C1‎ A D ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)在棱上是否存在点,使∥平面? ‎ 若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由; ‎ ‎(Ⅲ)若二面角的余弦值为,求棱的 长.‎ .(2013北京海淀二模数学理科试题及答案)如图1,在直角梯形中,,,,‎ ‎. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上,连接,点分别为线段的中点. ‎ ‎(I) 求证:平面平面;‎ ‎(II)求直线与平面所成角的正弦值;‎ ‎(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等?请说明理由.‎ 若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是.‎ ‎12.图2是一个有....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................层的六边形点阵.它的中心是一个点,算作 ‎ 第一层.第2层每边有2个点.第3层每边有3个点,…,第层 ‎ 每边有个点,则这个点阵的点数共有个.‎ ‎13.已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56:3,‎ ‎ 则该展开式中的系数为.‎ ‎(二) 选做题 (14~15题.考生只能从中选做一题)‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线的参数方程为 (参数),‎ ‎ 圆的参数方程为 (参数),‎ 则直线被圆所截得的弦长为.‎ ‎15.(几何证明选讲选做题) 如图3,半径为5的圆的两条弦 和相交于点,,为的中点, ,则弦的长度为.‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知,.‎ ‎ (1) 求值;‎ ‎(2) 求的值.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图4,在直角梯形中,°.°,,把沿对角线折起后如图5所示 (点记为点).点在平面上的正投影落在线段上,连接.‎ ‎ (1) 求直线与平面所成的角的大小;‎ ‎(2) 求二面角的大小的余弦值.‎ .(北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学)(本小题满分分)‎ 已知:如图,在四棱锥中,四边形为正方形,,且,为中点.‎ ‎(Ⅰ)证明://平面;‎ ‎(Ⅱ)证明:平面平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的正弦值 .(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )如图,在直三棱柱中,,‎ 是中点.‎ ‎(I)求证:平面;‎ ‎(II)若棱上存在一点,满足,求的长;‎ ‎(Ⅲ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ .(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理))已知正三角形与平行四边形所在的平面互相垂直.‎ 又,且,点分别为的中点.‎ ‎(I) 求证:‎ ‎(Ⅱ) 求二面角值.‎ .(2013北京丰台二模数学理科试题及答案)如图(1),等腰直角三角形ABC的底边AB=4,点D在线段AC上,于E,现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如图(2)). ‎ ‎(Ⅰ)求证:PBDE;‎ ‎(Ⅱ)若PEBE,直线PD与平面PBC所成的角为30°,求PE长.‎ ‎ 图(1) 图(2)‎ .(2013北京东城高三二模数学理科)如图,△是等边三角形, ,,将△沿折叠到△的位置,使得.‎ ‎(Ⅰ)求证:; ‎ ‎(Ⅱ)若,分别是,的中点,求二面角的余弦值.‎ ‎ ‎ .(2011年高考(北京理))如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,‎ A B C D P ‎(Ⅰ)求证:‎ ‎(Ⅱ)若,求与所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.‎ .(2013届北京市高考压轴卷理科数学)如图所示,在棱锥中, 平面,底面为直角梯形,且//,,‎ ‎(Ⅰ)求证:‎ ‎(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值.‎ .(2013北京昌平二模数学理科试题及答案)如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证: //平面;‎ ‎(Ⅱ) 求证:面平面; ‎ ‎(Ⅲ) 在线段上是否存在点使得二面角的余弦值为?说明理由.‎ .(北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 )如图1,在Rt中,,.D、E分别是上的点,且,将沿折起到的位置,使,如图2.‎ ‎(Ⅰ)求证: 平面;‎ ‎(Ⅱ)若,求与平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ) 当点在何处时,的长度最小,并求出最小值. ‎ A B C D E 图1‎ 图2‎ A1‎ B C D E .(北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学)如图所示,正方形与矩形所在平面互相垂直,,点E为的中点。‎ ‎(Ⅰ)求证: ‎ ‎(Ⅱ) 求证:‎ ‎(Ⅲ)在线段AB上是否存在点,使二面角的大小为?若存在,求出 的长;若不存在,请说明理由。‎ .(北京市石景山区2013届高三一模数学理试题)‎ 如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90o,PD⊥平面ABCD,AD =1,AB=,BC =4.‎ ‎(I)求证:BD⊥PC;‎ ‎(II)求直线AB与平面PDC所成的角;‎ ‎(Ⅲ)设点E在棱PC上,,若DE∥平面PAB,求的值.‎ 北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编19:空间角与空间距离参考答案 一、选择题 【答案】D ‎【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、‎ 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. (第4题解答图)‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 依题意,,如图,‎ ‎,故选D.‎ A 二、解答题 解:(Ⅰ)连结,则.‎ 由已知平面,‎ 因为F A B C D E N M y x z ,‎ 所以平面.……………………2分 又因为平面,‎ 所以.……………………4分 ‎(Ⅱ)与交于,连结.‎ 由已知可得四边形是平行四边形,‎ 所以是的中点.‎ 因为是的中点,‎ 所以.…………………………7分 又平面,‎ 平面,‎ 所以平面. ……………………………………………………………9分 ‎(Ⅲ)由于四边形是菱形,是的中点,可得.‎ 如图建立空间直角坐标系,则,, ,‎ ‎.‎ ‎,.…………………………………………10分 设平面的法向量为.‎ 则 ‎ 所以 ‎ 令.‎ 所以.……………………………………………………………12分 又平面的法向量,‎ 所以.‎ 所以二面角的大小是60°. ………………………………………14分 解:(Ⅰ)∵ABCD是正方形,‎ ‎∴BC∥AD.‎ ‎∵BCË平面AMD,AD平面AMD,‎ ‎∴BC∥平面AMD.‎ ‎∵NB∥MD,‎ ‎∵NBË平面AMD,MD平面AMD,‎ ‎∴NB∥平面AMD.‎ ‎∵NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN,‎ ‎∴平面AMD∥平面BCN…………………………………………………………………………………3分 ‎∵AM平面AMD,‎ ‎∴AM∥平面BCN…………………………………………………………………………………………4分 ‎(也可建立直角坐标系,证明AM垂直平面BCN的法向量,酌情给分)‎ ‎(Ⅱ)平面ABCD,ABCD是正方形,所以,可选点D为原点,DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如图)…………………………………………………………………5分 则,,,.‎ ‎, ………………………………………6分 ‎,,‎ 设平面MNC的法向量,‎ 则,令,则 … 7分 设AN与平面MNC所成角为,‎ ‎. ……9分 ‎(Ⅲ)设,,,‎ 又,‎ E点的坐标为, …………………………………………………………………11分 面MDC,,‎ 欲使平面ADE⊥平面MNC,只要,‎ ‎,,‎ ‎ . ………………………………………………………………………………14分 解:(1)分别是的中点 ‎ ‎ // ‎ 又平面 ‎ ‎//平面 ‎ ‎ ‎ ‎(2) 在中,//, ‎ 平面平面, ‎ 平面,平面 ‎ ‎ ‎ 平面 ‎ 平面 ‎ ‎ ‎ 所以无论在的何处,都有 ‎ ‎(3) 由(2)平面 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 平面 ‎ ‎ ‎ 是二面角的平面角 ‎ 在中 ‎ 所以二面角的平面角的余弦值为 ‎ 法二: ‎ ‎(2) 是的中点, ‎ 又平面平面 ‎ 平面 ‎ 同理可得平面 ‎ 在平面内,过作 以为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,, ‎ ‎,, ‎ ‎ ‎ ‎,设,则, ‎ 恒成立,所以无论在的何处,都有 ‎ ‎(3)由(2)知平面的法向量为= ‎ 设平面的法向量为 ‎ 则, ‎ 即 令,则, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以二面角的平面角的余弦值为 ‎ 解:(Ⅰ) D、E分别为AB、AC中点,‎ ‎_‎ E ‎_‎ D ‎_‎ B ‎_‎ C ‎_‎ A ‎_‎ P ‎ DE//BC .‎ DEË平面PBC,BCÌ平面PBC,‎ DE//平面PBC .…………………………4分 ‎(Ⅱ)连结PD,‎ PA=PB,‎ ‎ PD AB. …………………………….5分 ‎,BC AB,‎ ‎ DE AB. .... .......................................................................................................6分 又 ,‎ AB平面PDE.......................................................................................................8分 PEÌ平面PDE,‎ ABPE . ..........................................................................................................9分 ‎(Ⅲ)平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PD AB,‎ ‎ PD平面ABC.................................................................................................10分 如图,以D为原点建立空间直角坐标系 ‎_‎ E ‎_‎ D ‎_‎ B ‎_‎ C ‎_‎ A ‎_‎ P z y x ‎ B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0) ,‎ ‎=(1,0, ),=(0, , ). ‎ 设平面PBE的法向量,‎ 令 得. ............................11分 DE平面PAB,‎ 平面PAB的法向量为.………………….......................................12分 设二面角的大小为,‎ 由图知,,‎ 所以即二面角的大小为. ..........................................14分[‎ (Ⅰ)证明: 因为平面, ‎ 所以 ‎ 因为是正方形, ‎ 所以, ‎ 所以平面, ‎ 从而 ‎ ‎(Ⅱ)解:因为两两垂直, ‎ 所以建立空间直角坐标系如图所示 ‎ ‎ ‎ 设,可知 ‎ 则 ,,,,,, ‎ 所以,, ‎ 设平面的法向量为,则,即, ‎ 令,则 ‎ 因为平面,所以为平面的法向量, , ‎ 所以 ‎ 因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为 ‎ ‎(Ⅲ)解:点是线段上一个动点,设. ‎ 则,因为平面,所以, ‎ 即,解得 ‎ 此时,点坐标为,,符合题意 ‎ 证明:(I)因为三棱柱是直三棱柱,所以四边形是矩形。‎ 连结交于O,则O是的中点,又D是BC的中点,所以在中,。‎ 因为平面,平面,所以平面。‎ ‎(II)因为是等边三角形,D是BC的中点,所以。以D为原点,建立如图所示空间坐标系。由已知,得:‎ ‎,,,.‎ 则,,设平面的法向量为。‎ 由,得到,令,则,,所以.‎ 又,得。‎ 所以 设与平面所成角为,则。‎ 所以与平面所成角的正弦值为。‎ (Ⅰ)证明:因为侧面是正三角形,的中点为,所以,‎ 因为侧面底面,侧面底面,侧面,‎ 所以平面. ………3分(Ⅱ)连结,设,建立空间直角坐标系, ‎ 则,,,,,………5分 ‎,平面的法向量,‎ 设斜线与平面所成角的为,‎ 则. ………8分 ‎(Ⅲ)设,则,‎ ‎,, ………10分 设平面的法向量为,则,‎ ‎,‎ 取,得,又平面的法向量………12分 所以,所以,‎ 解得(舍去)或.所以,此时. ………14分 (Ⅰ)证明:连接与相交于点,连结.‎ 因为四边形为正方形,所以为中点.‎ 因为 为棱中点. ‎ 所以 . ………………3分 因为 平面,平面, ‎ 所以直线//平面. ………………4分 ‎ ‎(Ⅱ)证明:因为平面,所以. ………………5分 因为四边形为正方形,所以, ‎ 所以平面. ………………7分 ‎ 所以平面平面. ………………8分 ‎ ‎(Ⅲ)解法一:在平面内过作直线.‎ 因为平面平面,所以平面.‎ 由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. …………9分 设,则. ‎ 所以 ,. ‎ 设平面的法向量为,则有 所以 取,得. ………………11分 ‎ 易知平面的法向量为. ………………12分 ‎ 所以 . ………………13分 由图可知二面角的平面角是钝角, ‎ 所以二面角的余弦值为. ………………14分 解法二:取中点,中点,连结,.‎ 因为为正方形,所以.‎ 由(Ⅱ)可得平面.‎ 因为,所以.‎ 由两两垂直,建立如图所示 的空间直角坐标系. ………………9分 设,则. ‎ 所以 ,. ‎ 设平面的法向量为,则有 所以 取,得. ………………11分 ‎ 易知平面的法向量为. ………………12分 ‎ 所以. ………………13分 由图可知二面角的平面角是钝角, ‎ 所以二面角的余弦值为. ………………14分 (Ⅰ)证明:因为,分别为,的中点,所以. ‎ 又平面,平面, 所以平面 ‎ ‎(Ⅱ)因为平面,, ‎ 所以平面, 所以,. ‎ 又因为四边形是正方形, 所以. ‎ 如图,建立空间直角坐标系, 因为, ‎ A D B C P E F G H z y x ‎ ‎ 所以,,, ‎ ‎,,. ‎ 因为,, 分别为,,的中点, ‎ 所以,,. 所以,. ‎ 设为平面的一个法向量,则,即, ‎ 再令,得.,. ‎ 设为平面的一个法向量,则, ‎ 即,令,得.所以==. ‎ 所以平面与平面所成锐二面角的大小为 ‎ ‎(Ⅲ)假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为. ‎ 依题意可设,其中.由,则. ‎ 又因为,,所以. ‎ 因为直线与直线所成角为,, ‎ 所以=,即,解得. ‎ 所以,. ‎ 所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为,此时 ‎ 证明:‎ ‎(Ⅰ)因为 三棱柱ABC-A1B‎1C1中CC1⊥平面ABC,‎ 所以  CC1⊥BC. ……………………1分 因为 AC=BC=2,, ‎ 所以 由勾股定理的逆定理知BC⊥AC. ……………………2分 又因为AC∩CC1=C,‎ 所以 BC⊥平面ACC‎1A1. ……………………3分 因为 AM平面ACC‎1A1,‎ 所以 BC⊥AM. ……………………4分 ‎ (Ⅱ)过N作NP∥BB1交AB1于P,连结MP ,则 NP∥CC1,且∽. ……………5分 于是有. ‎ 由已知,有.‎ 因为 BB1=CC1.‎ 所以 NP=CM.‎ 所以 四边形MCNP是平行四边形. ……………………6分 所以 CN//MP. ……………………7分 因为 CN平面AB‎1M,MP平面AB‎1M,   ……………………8分 所以 CN //平面AB‎1 M.     ……………………9分 ‎(Ⅲ)因为 BC⊥AC,且CC1⊥平面ABC,‎ 所以 以C为原点,CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系C-xyz.…………………10分 因为 ,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),,,.             ……………………11分 设平面的法向量,则,.‎ 即 ‎ 令,则,即. ……………………12分 又平面MB‎1C的一个法向量是, ‎ 所以 . ……………………13分 由图可知二面角A-MB1-C为锐角,‎ 所以 二面角A-MB1-C的大小为. ……………………14分 (Ⅰ)证明:连接 ‎∵是长方体,‎ ‎∴平面, ‎ 又平面 ‎∴ ………………1分 在长方形中,‎ ‎∴ ………………2分 又 ‎∴平面, ………………3分 而平面 ‎∴ ………………4分 ‎(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则 ‎,‎ 设平面的法向量为,则 ‎ 令,则 ………………7分 ‎ ………………9分 所以 与平面所成角的正弦值为 ………………10分 ‎(Ⅲ)假设在棱上存在一点,使得∥平面.‎ 设的坐标为,则 因为 ∥平面 所以 , 即, ,解得, ………………13分 所以 在棱上存在一点,使得∥平面,此时的长.……14分 (I)证明:在长方体中, ‎ 因为平面,所以. ‎ 因为,所以四边形为正方形, ‎ 因此,又,所以平面. ‎ 又,且,所以四边形为平行四边形. ‎ 又在上,所以平面 ‎ ‎(II)取的中点为,连接. ‎ 因为为的中点,所以且, ‎ 因为为的中点,所以,而,且, ‎ 所以,且,因此四边形为平行四边形, ‎ 所以,而平面,所以平面 ‎ ‎(III)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设, ‎ x y z ‎ ‎ 则, ‎ 故. ‎ 由(I)可知平面, ‎ 所以是平面的一个法向量. ‎ 设平面的一个法向量为, ‎ 则, ‎ 所以 ‎ 令,则, ‎ 所以. ‎ 设与所成的角为,则. ‎ 因为二面角的大小为,所以,即, ‎ 解得,即的长为1 ‎ (Ⅰ)证明:因为,,‎ 在△中,由余弦定理可得 ,‎ 所以 . ………………2分 又因为 , ‎ 所以平面. ………………4分 ‎(Ⅱ)解:因为平面,所以.‎ 因为,所以平面. ………………5分 所以两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系. ………………6分在等腰梯形中,可得 . ‎ 设,所以.‎ 所以 ,,.‎ 设平面的法向量为,则有 所以 取,得. ………………8分 设与平面所成的角为,则 ,‎ 所以 与平面所成角的正弦值为. ………………9分 ‎(Ⅲ)解:线段上不存在点,使平面平面.证明如下: ………………10分 假设线段上存在点,设 ,所以. ‎ 设平面的法向量为,则有 ‎ 所以 取 ,得. ………………12分 要使平面平面,只需, ………………13分 即 , 此方程无解.‎ 所以线段上不存在点,使平面平面. ………………14分 A1‎ B1‎ E C B D1‎ C1‎ A D 证明:(Ⅰ)在长方体中,‎ 因为面, ‎ 所以. ……………………2分 在矩形中,因为,‎ 所以. ‎ 所以面. ………………………4分 ‎(Ⅱ)A1‎ B1‎ C B D1‎ C1‎ A D x y E z 如图,在长方体 中,以为原点建立空间直角坐标系.‎ 依题意可知,, ‎ ‎,‎ 设的长为,则,‎ ‎.‎ 假设在棱上存在点,使得∥平面.‎ 设点,则,‎ ‎.‎ 易知.‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则,即.………………………………………………7分 令得,,所以.‎ 因为∥平面,等价于且平面.‎ 得,所以.‎ 所以,,所以的长为.………………………………9分 ‎(Ⅲ)因为∥,且点,‎ 所以平面、平面与面是同一个平面.‎ 由(Ⅰ)可知,面,‎ 所以是平面的一个法向量. ………………………………11分 由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为.‎ 因为二面角的余弦值为,‎ 所以,解得.‎ 故的长为. …………………………………………………………14分 解:(I)因为点在平面上的正投影恰好落在线段上 ‎ 所以平面,所以 ‎ 因为在直角梯形中,,, ‎ ‎, ‎ 所以,,所以是等边三角形, ‎ 所以是中点, ‎ 所以 ‎ 同理可证 ‎ 又 ‎ 所以平面 ‎ ‎(II)在平面内过作的垂线 ‎ 如图建立空间直角坐标系, ‎ ‎ ‎ 则,, ‎ 因为, ‎ 设平面的法向量为 ‎ 因为, ‎ 所以有,即, ‎ 令则 所以 ‎ ‎ ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为 ‎ ‎(III)存在,事实上记点为即可 ‎ 因为在直角三角形中,, ‎ 在直角三角形中,点 ‎ 所以点到四个点的距离相等 ‎ (本小题满分分) ‎ 解: (Ⅰ) ‎ 证明:连结BD交AC于点O,连结EO ‎ O为BD中点,E为PD中点, ‎ ‎∴EO//P B ‎ EO平面AEC,PB平面AEC, ‎ ‎∴ PB//平面AE C. ‎ ‎(Ⅱ)证明: ‎ PA⊥平面ABC D. ‎ 平面ABCD, ‎ ‎∴ ‎ 又在正方形ABCD中且, ‎ ‎∴CD平面PA D ‎ 又平面PCD, ‎ ‎∴平面平面 ‎ ‎(Ⅲ)如图,以A为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空 ‎ 间直角坐标系 ‎ ‎ ‎ 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为 ‎ A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), ‎ D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ‎ PA平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0, 0, 2). ‎ 设平面AEC的法向量为, , ‎ 则 即 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 令,则 ‎ ‎∴, ‎ 二面角的正弦值为 ‎ (I) 连接交于点,连接 因为为正方形,所以为中点,‎ 又为中点,所以为的中位线,‎ 所以 ………………2分 又平面,平面 所以平面 ………………4分 ‎(Ⅱ)以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系 所以 设,所以,‎ 因为,所以 ,解得,所以 ………………8分 ‎(Ⅲ)因为,‎ 设平面的法向量为,‎ 则有,得,‎ 令则,所以可以取, ………………10分 因为平面,取平面的法向量为 ………………11分 所以 ………………13分 平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ………………14分 (I)因为在正三角形中,为中点, ‎ 所以 ‎ 又平面平面,且平面平面, ‎ 所以平面,所以 ‎ 在中, ‎ 所以,所以, ‎ 即,又 ‎ 所以平面,所以 ‎ ‎(Ⅱ)以为坐标原点,所在直线为坐标轴建立坐标系, ‎ 则, ‎ 由(I)得平面的法向量为 ‎ 设平面的法向量为 ‎ 因为 ‎ 所以解得,取 ‎ 所以, ‎ 所以二面角的值为. ‎ x y z 解: (Ⅰ),,DEPE, ‎ ‎, DE平面PEB, , BP DE; ‎ ‎(Ⅱ)PEBE, PEDE,,所以,可由DE,BE,PE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图), ‎ 设PE=,则B(0,4- ,0),D(,0,0),C(2,2-,0),P(0,0, ), ‎ ‎,, ‎ 设面PBC的法向量, ‎ 令, , ‎ ‎, ‎ BC与平面PCD所成角为30°, ‎ ‎ ‎ ‎ , 解得:=,或=4(舍),所以,PE的长为 ‎ (共14分) ‎ ‎(Ⅰ)证明:因为 ‎ 所以, ‎ 又因为,且, ‎ 所以 平面, ‎ 因为平面, ‎ 所以 . ‎ ‎(Ⅱ)因为△是等边三角形, ‎ ‎,, ‎ 不防设,则 , ‎ 又因为,分别为,的中点, ‎ 由此以为原点,,,所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系. ‎ ‎ ‎ 则有,,,,,. ‎ 所以,. ‎ 设平面的法向量为. ‎ 则即令,则.所以. ‎ 又平面的一个法向量为. ‎ 所以 . ‎ 所以二面角的余弦值为 ‎ 【命题立意】本题考查了空间的点、线、面的位置关系,线线垂直、线面垂直的转化,会利用空间直角坐标计算空间角和空间距离. ‎ ‎【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以, ‎ 又因为PA平面ABCD,所以, ‎ 所以平面 ‎ ‎(Ⅱ)设.因为, PA=AB=2,所以BO=1,AO=CO=. ‎ 如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系, ‎ 则,所以. ‎ 设与所成的角为,则 ‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知.设,则. ‎ 设平面的法向量,则, ‎ 所以 ‎ 令,则,,所以 ‎ 同理,平面PDC的法向量, ‎ 因为平面平面,所以,即,解得. ‎ 所以 ‎ (Ⅰ)在直角梯形ABCD中,AC=, ‎ 取AB中点E,连接CE, ‎ 则四边形AECD为正方形, ‎ AE=CE=2,又BE=, ‎ 则为等腰直角三角形, ‎ ‎, ‎ 又平面ABCD,平面, ‎ ‎,由得平面PAC, ‎ 平面PAC,所以 ‎ ‎(Ⅱ)以A为坐标原点,AD,AB,AP分别为轴, ‎ 建立如图所示的坐标系.则,B(0,4,0), ‎ C(2,2,0), ‎ ‎ ‎ 由(Ⅰ)知即为平面PAC的一个法向量, ‎ ‎, ‎ 即PB与平面PAC所成角的正弦值为 ‎ (Ⅰ)证明:连结,为正方形,为中点, ‎ 为中点.∴在中,// ‎ 且平面,平面 ∴ ‎ ‎(Ⅱ)证明:因为平面平面, 平面面 ‎ 为正方形,,平面 ‎ 所以平面. ‎ ‎∴ ‎ 又,所以是等腰直角三角形, ‎ 且 即 ‎ ‎,且、面 ‎ 面 ‎ 又面, ‎ ‎∴面面 ‎ ‎(Ⅲ) 如图,取的中点, 连结,. ‎ ‎∵, ∴. ‎ ‎∵侧面底面, ‎ ‎, ∴, ‎ 而分别为的中点,∴,又是正方形,故. ‎ ‎∵,∴,. ‎ 以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系, ‎ ‎ ‎ 则有,,,. ‎ 若在上存在点使得二面角的余弦值为 ,连结 ‎ 设. ‎ 由(Ⅱ)知平面的法向量为. ‎ 设平面的法向量为.∵, ‎ ‎∴由可得,令,则, ‎ 故∴,解得,. ‎ 所以,在线段上存在点,使得二面角的余弦值为 ‎ (Ⅰ)证明: 在△中,‎ ‎.又.‎ 由 ‎. …………………………4分 A1‎ B C D E x z y ‎(Ⅱ)如图,以为原点,建立空间直角坐标系. ……………………5分 ‎. ‎ 设为平面的一个法向量,‎ 因为 所以, 令,得. ‎ 所以为平面的一个法向量. ……………………7分 设与平面所成角为.‎ 则.‎ 所以与平面所成角的正弦值为. …………………9分 ‎(Ⅲ)设,则 ‎ …………………12分 当时, 的最小值是. ‎ 即为中点时, 的长度最小,最小值为. …………………14分 (Ⅰ) , 点E为的中点,连接。‎ 的中位线 // ……2分 又 ‎ ……4分 ‎(II) 正方形中, ‎ 由已知可得:, …….6分 ‎, …….7分 ‎ …….8分 ‎(Ⅲ)由题意可得:,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,‎ ‎………9分 ‎ 设 ‎ ……10分 设平面的法向量为 则 ‎ 得 ……11分 取是平面的一个法向量,而平面的一个法向量为 ……12分 要使二面角的大小为 ‎ 而 ‎ 解得:‎ 当=时,二面角的大小为 13分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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