2019年高考数学高分突破复习练习专题七 第1讲

2019年高考数学高分突破复习练习专题七 第1讲

第1讲　坐标系与参数方程 高考定位　高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.‎ 解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.‎ 当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，‎ 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，‎ 整理得关于t的方程 ‎(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，‎ 所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.‎ 又由①得t1＋t2＝－，‎ 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.‎ ‎2.(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x ‎|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.‎ 解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，‎ 即(x＋1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆.‎ 由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.‎ 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，‎ 所以＝2，故k＝－或k＝0.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时，‎ A到l2所在直线的距离为2，‎ 所以＝2，故k＝0或k＝.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝时，l2与C2没有公共点.‎ 综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.‎ 考 点 整 合 ‎1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎2.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝α；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎3.圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.‎ ‎4.直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).‎ 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.‎ ‎5.圆、椭圆的参数方程 ‎(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).‎ ‎(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数).‎ 热点一　曲线的极坐标方程 ‎【例1】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P 的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.‎ 解　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ 探究提高　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.‎ ‎2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.‎ ‎【训练1】 (2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长.‎ 解　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，‎ 所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.‎ 因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，‎ 则直线l过A(4，0)，倾斜角为，‎ 所以A为直线l与圆C的一个交点.‎ 设另一个交点为B，则∠OAB＝.‎ 连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，‎ 所以AB＝OA·cos∠OAB＝4cos ＝2.‎ 因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.‎ 热点二　参数方程及其应用 ‎【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ 解　(1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 曲线C的标准方程是＋y2＝1，‎ 联立方程解得或 则C与l交点坐标是(3，0)和.‎ ‎(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.‎ 设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).‎ 则P到l距离d＝＝，‎ 其中tan φ＝.‎ 又点C到直线l距离的最大值为.‎ ‎∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.‎ 若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.‎ 若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.‎ 综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.‎ 探究提高　‎ ‎1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.‎ ‎2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.‎ ‎【训练2】 (2018·石家庄调研)已知在极坐标系中，点A，B，C是线段AB的中点.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是(θ为参数).‎ ‎(1)求点C的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；‎ ‎(2)设直线l过点C交曲线Ω于P，Q两点，求·的值.‎ 解　(1)将点A，B的极坐标化为直角坐标，得A(，1)和B(－，3).‎ 所以点C的直角坐标为(0，2).‎ 将消去参数θ，得x2＋(y＋2)2＝4，‎ ‎∴曲线Ω的普通方程为x2＋(y＋2)2＝4.‎ ‎(2)直线l的参数方程为(t为参数，α为直线l的倾斜角)，‎ 代入x2＋(y＋2)2＝4，整理得：t2＋8tsin α＋12＝0.‎ 设点P，Q对应的参数值分别为t1，t2，则t1t2＝12，‎ ·＝||||＝|t1t2|＝12.‎ 热点三　极坐标与参数方程的综合应用 ‎【例3】 (2018·菏泽模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤φ<π)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sin θ.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值.‎ 解　(1)由消去t得 xsin φ－ycos φ＋2cos φ＝0，‎ 所以直线l的普通方程为xsin φ－ycos φ＋2cos φ＝0.‎ 由ρcos2θ＝8sin θ，得(ρcos θ)2＝8ρsin θ，‎ 把x＝ρcos φ，y＝ρsin φ代入上式，得x2＝8y，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＝8y.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入x2＝8y，‎ 得t2cos2φ－8tsin φ－16＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝－，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ‎＝＝.‎ 当φ＝0时，|AB|的最小值为8.‎ 探究提高　1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.‎ ‎【训练3】 已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝4.‎ ‎(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积.‎ 解　(1)由(θ为参数)，消去θ.‎ 得普通方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，‎ 因为直线l的极坐标方程为ρsin＝4，‎ 即ρsin θ＋ρcos θ＝4，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y－8＝0.‎ ‎(2)依题意，联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，‎ 得A，B两点的极坐标分别为，，‎ 联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，‎ 得P点极坐标为，∴|AB|＝2，‎ ‎∴S△PAB＝×2×2sin＝2.‎ ‎1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.‎ ‎2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.‎ ‎3.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).‎ ‎1.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.‎ 解　由消去t.‎ 得l的普通方程为x－2y＋8＝0，‎ 因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s).‎ 则点P到直线l的距离d＝＝，‎ 所以当s＝时，d有最小值＝.‎ 因此当P的坐标为(4，4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取最小值.‎ ‎2.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ 解　(1)由l1：(t为参数)消去t，‎ 得l1的普通方程y＝k(x－2)，①‎ 同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②‎ 联立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0).‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).‎ ‎(2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝，‎ 联立得 ‎∴ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，‎ ‎∴l3与C的交点M的极径为.‎ ‎3.(2018·安徽联合质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin－2＝0，曲线C2的极坐标方程为θ＝，C1与C2相交于A，B两点.‎ ‎(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；‎ ‎(2)若P为C1上的动点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围.‎ 解　(1)由题意知，曲线C1与曲线C2的直角坐标方程分别为C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：x－y＝0.‎ 联立得或 即A(－1，－1)，B(1，1)或A(1，1)，B(－1，－1).‎ ‎(2)设P(－1＋2cos α，1＋2sin α)，不妨设A(－1，－1)，B(1，1)，则|PA|2＋|PB|2‎ ‎＝(2cos α)2＋(2sin α＋2)2＋(2cos α－2)2＋(2sin α)2‎ ‎＝16＋8sin α－8cos α＝16＋8sin，‎ 所以|PA|2＋|PB|2的取值范围为[16－8，16＋8].‎ ‎4.(2018·湖南六校联考)已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.‎ ‎(1)求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|·|OB|.‎ 解　(1)由消去t，‎ 得y－＝(x－1)，即y＝x.‎ ‎∴直线l的普通方程为y＝x.‎ 曲线C：ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.‎ ‎∴其直角坐标方程x2＋y2＝4x＋2y－4，‎ 即(x－2)2＋(y－)2＝3.‎ ‎(2)易由y＝x，得直线l的极坐标方程为θ＝.‎ 代入曲线C的极坐标方程为ρ2－5ρ＋4＝0，‎ 所以|OA|·|OB|＝|ρA·ρB|＝4.‎ ‎5.(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解　(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，‎ 得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.‎ a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.‎ 所以a＝1.‎ ‎6.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ 解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点.‎ 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.‎ l与⊙O交于两点当且仅当<1，‎ 解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为(t为参数，<α<).‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，‎ 则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数，<α<).‎ ‎7.(2018·武汉调研)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，直线l与曲线C交于A，B两点.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点P的极坐标为，求|PA|·|PB|的值.‎ 解　(1)l的普通方程为x＋y－1＝0；‎ 又∵ρ2＋ρ2sin2θ＝2，∴x2＋y2＋y2＝2，‎ 即曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)点P的直角坐标为.‎ 法一　P在直线l上，直线l的参数方程为 (t′为参数)，‎ 代入曲线C的直角坐标方程得 ＋2－2＝0，‎ 即t′2＋t′－＝0，‎ ‎|PA|·|PB|＝|t1′|·|t2′|＝|t1′t2′|＝.‎ 法二　3x2－4x＝0x1＝0，x2＝，‎ ‎∴A(0，1)，B，‎ ‎∴|PA|＝＝，‎ ‎|PB|＝＝，‎ ‎|PA|·|PB|＝·＝.‎ ‎8.(2018·郑州质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)已知直线l上一点M(3，2)，若直线l与圆C交于不同两点A，B，求＋的取值范围.‎ 解　(1)直线l的参数方程为 得普通方程为xsin α－ycos α＋2cos α－3sin α＝0，‎ 将ρ＝，cos θ＝代入圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ中，‎ 得圆的普通方程为x2＋y2－2x＝0.‎ ‎(2)直线l的参数方程为代入圆的方程为x2＋y2－2x＝0，得t2＋(4cos α＋4sin α)t＋7＝0(*)，‎ 设点A，B对应的参数值分别为t1，t2，‎ 由题意t1＋t2＝－4(cos α＋sin α)，t1·t2＝7.‎ ＋＝＝ ‎＝|sin α＋cos α|.‎ 因为方程(*)有两个不同的实根，‎ 所以Δ＝16(cos α＋sin α)2－28>0，‎ 则|sin α＋cos α|>.‎ 又sin α＋cos α＝sin∈[－，]，‎ 所以|sin α＋cos α|∈.‎ 所以|sin α＋cos α|∈.‎ 所以<＋≤.‎