2020高中数学 课时分层作业23 基本不等式 新人教A版必修5

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2020高中数学 课时分层作业23 基本不等式 新人教A版必修5

课时分层作业(二十三) 基本不等式:≤ ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1.下列结论正确的是(  )‎ ‎【导学号:91432353】‎ A.当x>0且x≠1时,lg x+≥2‎ B.当x>0时,+≥2‎ C.当x≥2时,x+的最小值为2‎ D.当02x C.≤1 D.x+≥2‎ C [对于A,当x≤0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不成立;对于D,当x<0时,不成立.对于C,x2+1≥1,∴≤1成立,故选C.]‎ ‎3.设a,b为正数,且a+b≤4,则下列各式中正确的一个是(  ) ‎ ‎【导学号:91432354】‎ A.+<1 B.+≥1‎ C.+<2 D.+≥2‎ B [因为ab≤2≤2=4,所以+≥2≥2=1.]‎ ‎4.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则(  )‎ - 5 -‎ A.> B.< C.= D.≤ A [因为a,b,c,d成等差数列,则a+d=b+c,又因为a,b,c,d 均大于0且不相等,所以b+c>2,故>.]‎ ‎5.若x>0,y>0,且+=1,则xy有(  )‎ ‎【导学号:91432355】‎ A.最大值64 B.最小值 C.最小值 D.最小值64‎ D [由题意xy=xy=2y+8x≥2=8,∴≥8,即xy 有最小值64,等号成立的条件是x=4,y=16.]‎ 二、填空题 ‎6.若a>0,b>0,且+=,则a3+b3的最小值为________.‎ ‎4 [∵a>0,b>0,∴=+≥2,即ab≥2,当且仅当a=b ‎=时取等号,∴a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时 取等 号,则a3+b3的最小值为4.]‎ ‎7.已知00,≤a恒成立,则a的取值范围是________.‎  [因为x>0,所以x+≥2.当且仅当x=1时取等号,‎ 所以有=≤=,即的最大值为,故 - 5 -‎ a≥.]‎ 三、解答题 ‎9.(1)已知x<3 ,求f(x)=+x的最大值;‎ ‎(2)已知x,y是正实数,且x+y=4,求+的最小值.‎ ‎【导学号:91432357】‎ ‎[解] (1)∵x<3,‎ ‎∴x-3<0,‎ ‎∴f(x)=+x=+(x-3)+3‎ ‎=-+3≤-2+3=-1,‎ 当且仅当=3-x,‎ 即x=1时取等号,‎ ‎∴f(x)的最大值为-1.‎ ‎(2)∵x,y是正实数,‎ ‎∴(x+y)=4+≥4+2.当且仅当=,即x=2(-1),y=2(3-)时取“=”号.‎ 又x+y=4,‎ ‎∴+≥1+,‎ 故+的最小值为1+.‎ ‎10.某种汽车,购车费用是10万元,每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?‎ ‎[解] 设使用x年平均费用最少.由条件知,汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列.‎ 因此,汽车使用x年总的维修费用为x万元.‎ 设汽车的年平均费用为y万元,则有 y===1++≥1+2=3.‎ - 5 -‎ 当且仅当=,即x=10时,y取最小值.‎ 即这种汽车使用10年时,年平均费用最少.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1.若-40.‎ 故f(x)=-≤-1.当且仅当x-1=,即x=0时 等号成立.]‎ ‎2.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(  )‎ A.16 B.25‎ C.9 D.36‎ B [(1+x)(1+y)≤2=2=2=25,因此当 且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25,故选B.]‎ ‎3.已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则+的最小值为________. ‎ ‎【导学号:91432359】‎ ‎4 [由lg 2x+lg 8y=lg 2,得2x·8y=2,‎ 即2x+3y=21,‎ ‎∴x+3y=1,‎ ‎∴+=(x+3y)‎ ‎=+ ‎=1+++1≥2+2=2+2=4.当且仅当=,即x=,y ‎=时等号成立.]‎ ‎4.若实数x、y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是________.‎ - 5 -‎  [∵x2+y2+xy=1,‎ ‎∴(x+y)2=1+xy.‎ ‎∵xy≤,‎ ‎∴(x+y)2-1≤,‎ 整理求得-≤x+y≤,‎ ‎∴x+y的最大值是.]‎ ‎5.某厂家拟在2017年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=3-(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).‎ ‎(1)将2017年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;‎ ‎(2)该厂家2017年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?‎ ‎ [解] (1)由题意,可知当m=0时,x=1,∴1=3-k,‎ 解得k=2,∴x=3-,‎ 又每件产品的销售价格为1.5×元,‎ ‎∴y=x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m ‎=-+29(m≥0).‎ ‎(2)∵m≥0,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3‎ 时等号成立,‎ ‎∴y≤-8+29=21,∴ymax=21.‎ 故该厂家2017年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为 ‎21万元.‎ - 5 -‎
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