2020年高中数学第三章数系的扩充和复数的概念

2020年高中数学第三章数系的扩充和复数的概念

1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 [课时作业] [A 组　基础巩固] 1．下面四个命题 (1)0 比－i 大； (2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数； (3)x＋yi＝1＋i 的充要条件为 x＝y＝1； (4)如果让实数 a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是 (　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：(1)0 比－i 大，实数与虚数不能比较大小； (2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数； (3)x＋yi＝1＋i 的充要条件为 x＝y＝1 是错误的，因为没有表明 x，y 是否是实数； (4)当 a＝0 时，没有纯虚数和它对应． 答案：A 2．复数 z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　) A．|a|＝|b| B．a＜0 且 a＝－b C．a＞0 且 a≠b D．a≤0 解析：复数 z 为实数的充要条件是 a＋|a|＝0，故 a≤0. 答案：D 3．a＝0 是复数 z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：a＝0 且 b≠0，则 z＝a＋bi 是纯虚数，若 z＝a＋bi 是纯虚数，则 a＝0. ∴a＝0 是 z＝a＋bi 为纯虚数的必要但不充分条件． 答案：B 4．(i－i－1)3 的虚部为(　　) A．8i B．－8i C．8 D．－8 解析： (i－i－1)3＝(i－ 1 i)3＝( i2－1 i )3＝( －2 i )3＝(2i)3＝－8i，虚部为－8. 2 答案：D 5．若 1＋ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2＋bx＋c＝0 的一个复数根，则(　　) A．b＝2，c＝2 B．b＝－2，c＝3 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1 解析：由题意知 1＋ 2i 是实系数方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根， ∴(1＋ 2i)2＋b(1＋ 2i)＋c＝0，即(2 2＋ 2b)i＋b＋c－1＝0， ∴2 2＋ 2b＝0，b＋c－1＝0， 解得 b＝－2，c＝3. 答案：B 6．若复数 z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数 m 的值等于________． 解析：∵z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，∴z 为实数， ∴m2－9＝0，得 m＝±3， ∴m＝－3. 答案：－3 7．关于 x 的方程 3x2－ a 2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，则实数 a 的值为________． 解析：设方程的实数根为 x＝m，则原方程可变为 3m2－ a 2m－1＝(10－m－2m2)i， ∴Error!解得 a＝11 或 a＝－ 71 5 . 答案：11 或－ 71 5 8．若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数 x，y 的值分别为________． 解析：依题意得Error! 所以Error! 答案：－ 1 2，－ 7 4 9．已知 m∈R，复数 z＝ mm＋2 m－1 ＋(m2＋2m－3)i，当 m 为何值时， (1)z∈R； (2)z 是虚数； (3)z 是纯虚数； (4)z＝ 1 2＋4i. 解析：(1)若 z∈R， 则 m 须满足Error! 解之得 m＝－3. 3 (2)若 z 是虚数，则 m 须满足Error! 解之得 m≠1 且 m≠－3. (3)若 z 是纯虚数， 则 m 须满足Error! 解之得 m＝0 或 m＝－2. (4)若 z＝ 1 2＋4i， 则 m 须满足Error!方程组无解． 所以 m∈∅. 10．已知 M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若 M∪P＝P，求实数 m 的 值． 解析：∵M∪P＝P，∴MP. ∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1 或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1， 得Error!解得 m＝1. 由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i， 得Error!解得 m＝2. 综上可知，实数 m 的值为 1 或 2. [B 组　能力提升] 1．已知集合 M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实 数 m 的值为(　　) A．4 B．－1 C．－1 或 4 D．－1 或 6 解析：由 M∩N＝{3}得 3∈M， 故(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3， 因此得Error!. 解得Error!， 所以 m 的值为－1. 答案：B 2．若复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i 是纯虚数，则点( x，y)的轨迹是(　　) A．以原点为圆心，以 2 为半径的圆 B．两个点，其坐标为(2,2)，(－2，－2) C．以原点为圆心，以 2 为半径的圆和过原点的一条直线 D．以原点为圆心，以 2 为半径的圆，并且除去两点( 2， 2)，(－ 2，－ 2) 4 解析：因为复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i 是纯虚数， 则Error! 即 x2＋y2＝4 且 x≠y. 由Error!可解得Error!或 Error! 故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，以 2 为半径的圆，并且除去两点( 2， 2)，(－ 2，－ 2)． 答案：D 3．若 x 是实数，y 是纯虚数，且满足 3x＋1＋4i＝－ y，则 x＝________， y＝ ________. 解析：设 y＝bi(b∈R，b≠0)， 则有 3x＋1＋4i＝－bi， 所以有Error!，解得Error! 故 y＝－4i. 答案：－ 1 3　－4i 4．已知 z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中 a∈R，z1＞z2，则 a 的值 为________． 解析：由 z1＞z2，得Error!即Error!解得 a＝0. 答案：0 5．已知复数 z＝ a2－7a＋6 a2－1 ＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数 a 分别取什么值时，z 分 别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解析：(1)当 z 为实数时， 则Error!∴Error! ∴当 a＝6 时，z 为实数． (2)当 z 为虚数时，则有Error! ∴Error! 即 a≠±1 且 a≠6. ∴当 a≠±1 且 a≠6 时，z 为虚数． (3)当 z 为纯虚数时， 则有Error! ∴Error! ∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数． 5 6．已知关于 x 的方程 x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0 有实根，求这个实根以及实数 k 的值． 解析：设 x＝x0 是方程的实根，代入方程并整理得(x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0. 由复数相等的条件得Error! 解得Error!或Error! ∴方程的实根为 x＝ 2或 x＝－ 2， ∴相应的 k 的值为 k＝－2 2或 k＝2 2.