中考数学压轴题剖析

中考数学压轴题剖析

‎ 云南省初中学业水平考试压轴题汇集 ‎1．（9分）（2015•云南）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．‎ ‎（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 二次函数综合题．.‎ 专题： 综合题．‎ 分析： （1）由C的坐标确定出OC的长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，确定出直线BC解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值，确定出抛物线解析式即可；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上不存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分两种情况考虑：当PC⊥CB时，△PBC为直角三角形；当P′B⊥BC时，△BCP′为直角三角形，分别求出P的坐标即可．‎ 解答： 解：（1）∵C（0，3），即OC=3，BC=5，‎ ‎∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB==4，即B（4，0），‎ 把B与C坐标代入y=kx+n中，得：，‎ 解得：k=﹣，n=3，‎ ‎∴直线BC解析式为y=﹣x+3；‎ 由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax2﹣5ax+4a，‎ 把C（0，3）代入得：a=，‎ 则抛物线解析式为y=x2﹣x+3；‎ ‎（2）存在．‎ 如图所示，分两种情况考虑：‎ ‎∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，‎ ‎∴其对称轴x=﹣=﹣=．‎ 当PC⊥CB时，△PBC为直角三角形，‎ ‎∵直线BC的斜率为﹣，‎ ‎∴直线PC斜率为，‎ ‎∴直线PC解析式为y﹣3=x，即y=x+3，‎ 与抛物线对称轴方程联立得，‎ 解得：，‎ 此时P（，）；‎ 当P′B⊥BC时，△BCP′为直角三角形，‎ 同理得到直线P′B的斜率为，‎ ‎∴直线P′B方程为y=（x﹣4）=x﹣，‎ 与抛物线对称轴方程联立得：，‎ 解得：，‎ 此时P′（，﹣2）．‎ 综上所示，P（，）或P′（，﹣2）．‎ ‎2.如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， ‎ 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动， ‎ 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， ‎ 设运动的时间为t秒．‎ ‎(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；‎ ‎(2)求正方形边长及顶点C的坐标；‎ ‎(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；‎ ‎(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．‎ 解：（1）（1，0） 1分 ‎ 点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分 ‎（2） 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 在Rt△AFB中， 3分 ‎ 过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．‎ ‎∵ ∴△ABF≌△BCH． ‎ ‎ ∴． ‎ ‎∴．‎ ‎∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分 ‎（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，‎ 则△APM∽△ABF．‎ ‎ ∴． ． ‎ ‎ ∴． ∴．‎ 设△OPQ的面积为（平方单位）‎ ‎∴（0≤≤10） 5分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分．‎ ‎ ∵<0 ∴当时， △OPQ的面积最大． 6分 ‎ 此时P的坐标为（，） ． 7分 ‎（4） 当 或时， OP与PQ相等．‎ ‎3、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．‎ ‎（1）直接写出两点的坐标；‎ ‎（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；‎ x A O Q P B y ‎（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．‎ 解（1）A（8，0）B（0，6） 1分 ‎（2）‎ 点由到的时间是（秒）‎ 点的速度是（单位/秒） 1分 当在线段上运动（或0）时，‎ ‎ 1分 当在线段上运动（或）时，,‎ 如图，作于点，由，得， 1分 ‎ 1分 ‎（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）‎ ‎（3） 1分 ‎ 3分 ‎4如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.‎ ‎（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）⊙P与x轴相切.‎ ‎ ∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），‎ 与y轴交于B（0，－8），‎ ‎∴OA=4，OB=8.‎ 由题意，OP=－k，‎ ‎∴PB=PA=8+k.‎ 在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，‎ ‎∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，‎ ‎∴⊙P与x轴相切.‎ ‎（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P 在线段OB上时,作PE⊥CD于E.‎ ‎∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，‎ ‎ ∴PE=.‎ ‎∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE，‎ ‎∴△AOB∽△PEB，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，‎ ‎∴k=－－8，‎ ‎∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.‎ ‎5.如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.‎ ‎（1）求点到的距离；‎ ‎（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.‎ ‎①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；‎ ‎②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.‎ A D E B F C 图4（备用）‎ A D E B F C 图5（备用）‎ A D E B F C 图1‎ 图2‎ A D E B F C P N M 图3‎ A D E B F C P N M ‎（第25题）‎ 解（1）如图1，过点作于点 1分 图1‎ A D E B F C G ‎∵为的中点，‎ ‎∴‎ 在中，∴ 2分 ‎∴‎ 即点到的距离为 3分 ‎（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．‎ ‎∵∴‎ ‎∵∴，‎ 同理 4分 如图2，过点作于，∵‎ 图2‎ A D E B F C P N M G H ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 则 在中，‎ ‎∴的周长= 6分 ‎②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．‎ 当时，如图3，作于，则 类似①，‎ ‎∴ 7分 ‎∵是等边三角形，∴‎ 此时， 8分 图3‎ A D E B F C P N M 图4‎ A D E B F C P M N 图5‎ A D E B F（P）‎ C M N G G R G ‎ 当时，如图4，这时 此时，‎ 当时，如图5，‎ 则又 ‎∴‎ 因此点与重合，为直角三角形．‎ ‎∴‎ 此时，‎ 综上所述，当或4或时，为等腰三角形． 10分 ‎6．（9分）（2014年云南省）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．‎ ‎（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；‎ ‎（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点： 圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．‎ 专题： 综合题；存在型；分类讨论．‎ 分析： （1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．‎ ‎（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．‎ ‎（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．‎ 解答： 解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．‎ ‎∵PH∥OA，‎ ‎∴△CHP∽△COA．‎ ‎∴==．‎ ‎∵点P是AC中点，‎ ‎∴CP=CA．‎ ‎∴HP=OA，CH=CO．‎ ‎∵A（3，0）、C（0，4），‎ ‎∴OA=3，OC=4．‎ ‎∴HP=，CH=2．‎ ‎∴OH=2．‎ ‎∵PH∥OA，∠COA=90°，‎ ‎∴∠CHP=∠COA=90°．‎ ‎∴点P的坐标为（，2）．‎ 设直线DP的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线DP的解析式为y=x﹣5．‎ ‎（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，‎ ‎∵△DOM∽△ABC，‎ ‎∴=．‎ ‎∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），‎ ‎∴BC=3，AB=4，OD=5．‎ ‎∴=．‎ ‎∴OM=．‎ ‎∵点M在x轴的正半轴上，‎ ‎∴点M的坐标为（，0）‎ ‎②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，‎ ‎∵△DOM∽△CBA，‎ ‎∴=．‎ ‎∵BC=3，AB=4，OD=5，‎ ‎∴=．‎ ‎∴OM=．‎ ‎∵点M在x轴的正半轴上，‎ ‎∴点M的坐标为（，0）．‎ 综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．‎ ‎（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，‎ ‎∴AC=5．‎ ‎∴PE=PF=AC=．‎ ‎∵DE、DF都与⊙P相切，‎ ‎∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．‎ ‎∴S△PED=S△PFD．‎ ‎∴S四边形DEPF=2S△PED ‎=2×PE•DE ‎=PE•DE ‎=DE．‎ ‎∵∠DEP=90°，‎ ‎∴DE2=DP2﹣PE2．‎ ‎=DP2﹣．‎ 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：‎ 当DP⊥AC时，DP最短，‎ 此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．‎ ‎∵DP⊥AC，‎ ‎∴∠DPC=90°．‎ ‎∴∠AOC=∠DPC．‎ ‎∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，‎ ‎∴△AOC∽△DPC．‎ ‎∴=．‎ ‎∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，‎ ‎∴=．‎ ‎∴DP=．‎ ‎∴DE2=DP2﹣‎ ‎=（）2﹣‎ ‎=．‎ ‎∴DE=，‎ ‎∴S四边形DEPF=DE ‎=．‎ ‎∴四边形DEPF面积的最小值为．‎ 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．‎ ‎　‎