专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

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文档介绍

专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 立体几何是高考的重点内容之一,每年高考大题必有立体几何题,尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行,面面垂直等问题,解决这类问题的方法主要有:几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 几何法 使用情景:转化的直线或平面比较容易找到 解题模板:第一步 按照线线垂直得到线面垂直,进而得出面面垂直的思路分析解答;‎ 第二步 找到关键的直线或平面;‎ 第三步 得出结论.‎ 例1、【2018广西桂林市第十八中模拟】如图,在三棱锥中, , 分别为线段的中点, .‎ ‎(1)求证: 平面;‎ ‎(2)若为上的点,且,求点平面的距离.‎ 又∵,∴面,‎ ‎∵面 ∴‎ 在中是的中点, ,∴‎ ‎∵, 面,∴平面 ‎(2)由(1)知到面的距离为 由等体积知: ‎ ‎∵,∴‎ ‎∴,‎ ‎∵, ,‎ ‎∴.‎ 例2、如图所示,在四棱锥中,底面四边形为等腰梯形,为中点,平面,.‎ 证明:平面平面;‎ ‎【答案】详见解析 线线垂直. ‎ 试题解析:因为平面平面,所以,又因为,‎ 所以平面,而平面,所以平面平面. ‎ 考点:面面垂直判定定理 ‎【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”. ‎ ‎【变式演练1】如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且. 设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面?若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由。‎ ‎【答案】存在点,为中点.‎ ‎ 平面 所以平面 ‎ 考点:1.线面垂直的判定与性质;2.空间向量的应用. ‎ ‎【变式演练2】【2018广西贺州桂梧高中第四次联考】如图,在四棱锥中, , , , 是以为斜边的等腰直角三角形,且.‎ ‎(1)证明:平面平面.‎ 方法二 空间向量法 使用情景:转化的直线或平面不容易找到,而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出 解题模板:第一步 建立适当的空间直角坐标系;‎ 第二步 分别写出各点的坐标,求出直线方向向量;‎ 第三步 利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.‎ 例3、在如图所示的几何体中,平面,平面, ,,‎ 是的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求与平面所成的角.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ 考点:空间向量证明直线与直线的垂直;空间向量求直线与平面所成的角. ‎ ‎【变式演练3】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;‎ ‎(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎ (Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知,分别是,的法向量,而PB与 所成的角和PB与所成的角相等,所以 又梯形ABCD的面积为,所以四棱锥的体积为 .‎ 考点:运用空间向量证明直线与平面垂直;空间几何体的体积的求法.‎ ‎【变式演练4】已知四棱锥中,底面为矩形,底面,,,为上一点,且平面.求的长度;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:利用空间向量求线段长度,首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系,设立各点坐标,利用向量的模求线段长度. ‎ 试题解析:如图所示建立空间直角坐标系,‎ 由已知,,,,.‎ 令,因为,所以,‎ 则. 因为且.‎ 所以,则. 即的长为.‎ 考点:利用空间向量求线段长度及线面角 ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2017课标3,文10】在正方体中,E为棱CD的中点,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎ 2. 【2017课表1,文18】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.‎ ‎(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;‎ ‎(2)若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析; (2).‎ ‎【考点】空间位置关系证明,空间几何体体积、侧(表)面积计算 ‎【名师点睛】‎ 证明面面垂直,先由线线垂直证明线面垂直,再由线面垂直证明面面垂直;先利用线面平行说明点面距为定值,计算点面距时,如直接求不方便,应首先想到转化,如平行转化、对称转化、比例转化等,找到方便求值时再计算,可以减少运算量,提高准确度,求点到平面的距离有时能直接作出就直接求出,不方便直接求出的看成三棱锥的高,利用等体积法求出.‎ ‎3. 【2017课标3,文19】如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.‎ ‎(1)证明:AC⊥BD;‎ ‎(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)1‎ ‎ ‎ ‎ 4. 【2017山东,文18】(本小题满分12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,‎ ‎(Ⅰ)证明:∥平面B1CD1;‎ ‎(Ⅱ)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1. ‎ ‎【答案】①证明见解析.②证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)取中点,证明,(Ⅱ)证明面.‎ 试题解析:‎ ‎(I)取中点,连接,由于为四棱柱,‎ 所以,‎ ‎ ‎ ‎【考点】空间中的线面位置关系 ‎【名师点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过 已知直线作辅助平面来确定交线.在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行.‎ ‎5. 【2017天津,文17】如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.‎ ‎(I)求异面直线与所成角的余弦值;‎ ‎(II)求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) .‎ ‎ ‎ ‎ 6. 【2017北京,文18】如图,在三棱锥P–ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.‎ ‎(Ⅰ)求证:PA⊥BD;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅲ)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E–BCD的体积.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【考点】1.线面垂直的判断和性质;2,。面面垂直的判断和性质;3.几何体的体积.‎ ‎【名师点睛】线线,线面的位置关系以及证明是高考的重点内容,而其中证明线面垂直又是重点和热点,要证明线面垂直,根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直,而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直,或是根据面面垂直,平面内的线垂直于交线,则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直. ‎ ‎7. 【2017课标1,理18】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.‎ ‎(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;‎ ‎【解析】(1)由已知,得AB⊥AP,CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD ,故AB⊥PD ,从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. ‎ ‎8. 【2017课标3,理19】如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.‎ ‎(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;‎ ‎ ‎ ‎9. 【2017山东,理17】如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形(及其内部)以边所在直线为旋转轴旋转得到的,是的中点.‎ ‎(Ⅰ)设是上的一点,且,求的大小;‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1. 【2018河北邢台育才中学模拟】如图,正方体的棱长为分别是棱上的点,且,如果平面,则的长度为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】取的中点为G,连接BG,FG因为G,从而 为BC的中点,从而有 ‎ 故选C ‎2. 【2018湖南五市十校教研教改共同体联考】如图,四边形与均为菱形, ,且.‎ ‎(1)求证: 平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ 设平面的法向量为,则,‎ 取,得. ‎ 设直线与平面所成角为,‎ 则.‎ ‎3.【2018湖北八校联考】如图,直三棱柱中, , , , 分别为和上的点,且.‎ ‎(1)当为中点时,求证: ;‎ ‎(2)当在上运动时,求三棱锥体积的最小值.‎ ‎ ‎ ‎∴当,即为的中点时, 有最小值18.‎ ‎4.【2018河北衡水第一中学模拟】如图,在四棱锥中, 平面, 平面, .‎ ‎(1)求证: ;‎ ‎(2)若, ,求三棱锥的高.‎ 所以的面积为 .‎ 设三棱锥的高为,则,即,即三棱锥的高为2.‎ ‎5. 【2018湖北八校联考】四棱锥中, ∥, , ‎ ‎, 为的中点.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎ 6. 【2018宁夏育才中模拟】如图,在三棱锥中,平面平面, ,点在线段上,且, ,点在线段上,且.‎ ‎(1)证明: 平面;‎ ‎(2)若四棱锥的体积为7,求线段的长.‎ ‎(2)解:设,则在中,‎ ‎.‎ 所以.‎ 由, ,得,‎ 故,即,‎ 由, .‎ 从而四边形的面积为 .‎ 由(1)知平面,所以为四棱锥的高.‎ 在中, .‎ 所以 ‎.‎ 所以.‎ 解得或.‎ 由于,因此或.‎ 所以或.‎ ‎7. 【2018江苏无锡普通高中检测】如图,在四棱柱中,底面为等腰梯形, 为边的中点, 底面.‎ ‎ (1)求证: 平面;‎ ‎ (2)平面平面. ‎ 又底面 ,所以,‎ 因为 ,所以平面 ,‎ 又平面 ,所以平面 平面 .‎ ‎8. 【2018河南郑州第一中学模拟】如图,在四棱柱为长方体,点是上的一点.‎ ‎(1)若为的中点,当为何值时,平面平面;‎ ‎ ‎ ‎9. 【2018黑龙江牡丹江第一高级中学模拟】三棱柱,侧棱与底面垂直, , 分别是的中点.‎ ‎(1)求证: 平面;‎ ‎(2)求证:平面平面.‎ ‎ ‎ ‎10. 【2018辽宁鞍山第一中学模拟】如图,在三棱柱中,侧棱底面, 为棱的中点, , ,求证:‎ ‎(1)平面;‎ ‎(2)平面.‎ ‎【解析】(1)证明:如图,连接交于,‎ 则为中点,连接,‎ ‎ 11. 【2018华大新高考联盟】如图,多面体中,四边形为菱形,且, .‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】(1)如图,取的中点,连接.‎ ‎ ‎ ‎12.【2018山西榆社中学模拟】如图,在三棱锥中, , 底面, ,且.‎ ‎(1)若为上一点,且,证明:平面平面.‎ ‎(2)若为棱上一点,且平面,求三棱锥的体积.‎ ‎∵平面, 平面,平面平面,‎ ‎∴,‎ ‎∴. ‎ 过作,交于,则为三棱锥的高,则.‎ ‎∵,‎ ‎∴ .‎ 即三棱锥的体积为。‎ ‎ ‎
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