2014届高三理科数学一轮复习试题选编28：导数（学生版）

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2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 28：导数 一、选择题 1. ．（北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数 是由 轴 和曲线 及该曲线在点 处的切线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值为 （　　） A． B． C． D． 2.．（北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线 在 处的切线方程为 （　　） A． B． C． D． 3.．（北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数 是定义域为 的可导函数,且对 任意实数 都有 成立.若当 时,不等式 成立,设 , , ,则 , , 的大小关系是 （　　） A． B． C． D． 4. ．（2013 北京东城高三二模数学理科）已知函数 是定义在 上的奇函数,且当 时, ( 其 中 是 的 导 函 数 ), 若 , , ,则 , , 的大小关系是 （　　） A． B． C． D． 5. ．（北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学（理））已知函数 ,则 , , 的大小关系为 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 6.．（北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学）已知函数 在区间 内任 取 两 个 实 数 , 且 , 不 等 式 恒 成 立 , 则 实 数 的 取 值 范 围 为 b a c> > cba >> abc >> bca >> ( ) sinf x x x= π( )11f ( 1)f − π 3f −（ ） π π( ) ( 1) ( )3 11f f f− > − > π π( 1) ( ) ( )3 11f f f− > − > π π( ) ( 1) ( )11 3f f f> − > − π π( ) ( ) ( 1)3 11f f f− > > − 2)1ln()( xxaxf −+= )1,0( qp, qp ≠ 1)1()1( >− +−+ qp qfpf a ln , 0,( ) 1, 0, x xf x x x >= − − ≤ D x ( )y f x= (1,0) 3z x y= − D 4 3 1− e( ) 1 x f x x = − 0x = 1 0x y− − = 1 0x y+ + = 2 1 0x y− − = 2 1 0x y+ + = ( )f x R x ( ) (2 )f x f x= − 1x ≠ ( 1) ( ) 0x f x′− ⋅ < (0.5)a f= 4( )3b f= (3)c f= a b c ( )y f x= R ( ,0)x∈ −∞ ( ) ( ) 0f x xf x′+ < ( )f x′ ( )f x 0.3 0.3(3 ) (3 )a f= ⋅ (log 3) (log 3)b fπ π= ⋅ 3 3 1 1(log ) (log )9 9c f= ⋅ a b c a b c> > c b a> > c a b> > a c b> > _____________ 7. ．（北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学）若曲线 的某一切线与直线 平行,则切点坐标为_____________,切线方程为_____________. 8. ．（2013 北京顺义二模数学理科试题及答案）设定义在 上的函数 是最小正周期为 的偶函数, 是 的导函数.当 时, ;当 且 时, . 则函数 在 上的零点个数为___________. 9. ．（北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学）已知函数 既存在极大 值又存在极小值,则实数 的取值范围是_______________ 10.．（2013 北京丰台二模数学理科试题及答案）曲线 在 处的切线方程是______,在 x=x0 处的切线与直线 和 y 轴围成三角形的面积为________. 11.．（2009 高考(北京理)）设 是偶函数,若曲线 在点 处的切线的斜率为 1,则该曲 线在 处的切线的斜率为_________. 三、解答题 12.．（北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分 13 分) 设 （1）若 在 上存在单调递增区间，求 的取值范围； （2）当 时， 在 上的最小值为 ，求 在该区 间上的最大值. 13. ．（ 北 京 市 顺 义 区 2013 届 高 三 第 一 次 统 练 数 学 理 科 试 卷 （ 解 析 ）） 设 函 数 . (I)若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线,求 的值; (II)当 时,若函数 在区间 内恰有两个零点,求 的取值范围; 2 1 2 3 2 −+= xxy 34 += xy 3 2( ) ( 6) 1f x x mx m x= + + + + m axxxxf 22 1 3 1)( 23 ++−= )(xf ),3 2( +∞ a 20 << a )(xf ]4,1[ 3 16− )(xf R ( )xf π2 ( )xf ′ ( )xf [ ]π,0∈x ( ) 10 << xf ( )π,0∈x 2 π≠x ( ) 02 <′     − xfx π ( ) xxfy cos−= [ ]ππ 3,3− 1( )f x x x = + 1 2x = y x= ( )f x ( )y f x= (1, (1))f ( 1, ( 1))f− − ( ) ( ) ( ) 12,03 1 23 −+=>−= bbxxgaaxxxf ( )xfy = ( )xgy = ( )c,1 ba, ba 21−= ( ) ( )xgxf + ( )0,2− a (III)当 时,求函数 在区间 上的最大值. 14.．（北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学）已知:函数 ,其中 . (Ⅰ)若 是 的极值点,求 的值; (Ⅱ)求 的单调区间; (Ⅲ)若 在 上的最大值是 ,求 的取值范围. 15.．（2013 届北京大兴区一模理科）已知函数 ， ． (Ⅰ)求函数 的单调区间； (Ⅱ)函数 在区间 上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 16.．（2013 北京房山二模数学理科试题及答案）已知函数 ( ). (Ⅰ)当 时,求函数 的单调区间; (Ⅱ)当 时, 取得极值. ① 若 ,求函数 在 上的最小值; ② 求证:对任意 ,都有 . 17.．（北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学（理））设函数 ,其图象 在点 处的切线的斜率分别为 . (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)若函数 的递增区间为 ,求 的取值范围. 18.．（2013 届北京市延庆县一模数学理）已知函数 . (Ⅰ) 讨论函数 的单调性； )1ln(2 1)( 2 xaxxxf +−−= Ra ∈ 2x = )(xf a )(xf )(xf [0, )+ ∞ 0 a 3 21( ) ( )3f x ax bx cx a b c= + + < < (1, (1)), ( , ( ))A f B m f m 0, a− 0 1b a <≤ ( )f x [ , ]s t | |s t− axxxaxf ++−= 22 2 1ln2)( )( Ra∈ )(xf 121 =−= ba ( ) ( )xgxf + [ ]3, +tt 2( )= ( 1) x af x x - - (1, )x Î +¥ ( )f x ( )f x [2, )+¥ 2( ) ( ) x af x x x a e= + − 0a > 1=a ( )f x 5x = − ( )f x 5m ≥ − ( )f x [ ], 1m m + 1 2, [ 2,1]x x ∈ − 1 2| ( ) ( ) | 2f x f x− ≤ （Ⅱ）当 时，求函数 在区间 的最小值. 19.．（北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学（理））已知函数 ,其中 . (Ⅰ)求 的单调递减区间; (Ⅱ)若存在 , ,使得 ,求 的取值范围. 20.．（北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知函数 的导 函数 的两个零点为-3 和 0. （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）若 f(x)的极小值为 ，求 f(x)在区间 上的最大值. 21. ．（北 京 市 昌 平 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 试 题 ）（本 小 题 满 分 13 分 ） 已 知 函 数 （ ）. （Ⅰ）若函数 的图象在点 P（1， ）处的切线的倾斜角为 ，求 在 上的最 小值； （Ⅱ）若存在 ，使 ，求 a 的取值范围． 22.．（2013 届北京丰台区一模理科）已知函数 ， . (Ⅰ)若曲线 在点（1，0）处的切线斜率为 0，求 a,b 的值； 0 2 0x < 1 2( ) ( )f x f x< a 2 ( ) ( 0)x ax bx cf x ae + += > '( )y f x= ( )f x 3e− [ 5, )− +∞ 3 2( ) 4f x x ax= − + − a∈R )(xfy = )1(f 4 π ( )f x [ ]1,1− ),0(0 +∞∈x 0)( 0 >xf 1( )f x x a = + 2( ) 3g x bx x= + ( ) ( ) ( )h x f x g x= − (Ⅱ)当 ，且 ab=8 时，求函数 的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小 值。 23.．（北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学（理）试题）已知函数 . (Ⅰ)若 在 处取得极大值,求实数 的值; (Ⅱ)若 ,直线 都不是曲线 的切线,求 的取值范围; (Ⅲ)若 ,求 在区间 上的最大值. 24.．（2013 北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分 13 分) 已知函数 (Ⅰ)若 求 在 处的切线方程; (Ⅱ)求 在区间 上的最小值; (III)若 在区间 上恰有两个零点,求 的取值范围. 25.．（北京市石景山区 2013 届高三一模数学理试题）已知函数 f(x)=ax-1-1n x,a R. (I)讨论函数 f(x)的单调区间: (II)若函数 f(x)在 x=l 处取得极值,对 x∈(0,+ ),f(x)≥bx-2 恒成立,求实数 b 的取值范围. 26.．（2013 北京东城高三二模数学理科）已知函数 . (Ⅰ)求 的单调区间; (Ⅱ)如果 是曲线 上的任意一点,若以 为切点的切线的斜率 恒成立, 求实数 的最小值; (Ⅲ)讨论关于 的方程 的实根情况. ∈ ∀ ∞ [3, )a∈ +∞ ( )( ) ( ) g xx f x ϕ = 3 2 21 1( ) (2 1) ( )3 2f x x a x a a x= − + + + ( )f x 1x = a m∀ ∈R y kx m= + ( )y f x= k 1a > − ( )f x [0,1] 21( ) ln ( 0).2f x x a x a= − > 2,a = ( )f x (1, (1))f ( )f x [1,e] ( )f x (1,e) a ( ) ln af x x x = + ( 0)a > ( )f x 0 0( , )P x y ( )y f x= 0 0( , )P x y 1 2k ≤ a x 3 2( ) 1( ) 2 2 x bx af x x + += − 27.．（2013 北京西城高三二模数学理科）已知函数 ,其中 . (Ⅰ)若 ,求曲线 在点 处的切线方程; (Ⅱ)求 在区间 上的最大值和最小值. 28.．（2013 届北京海滨一模理科）已知函数 (其中 为常数且 )在 处取得 极值. (I) 当 时，求 的单调区间； (II) 若 在 上的最大值为 ，求 的值. 29.．（2011 年高考（北京理））已知函数 (Ⅰ)求 的单调区间; (Ⅱ)若对任意的 ,都有 ,求 的取值范围. 30.．（北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）(本小题满分 13 分)已知函数 . （Ⅰ）若函数 在 处取得极值 ，求 的值； （Ⅱ）当 时，讨论函数 的单调性. 31.．（2013 北京朝阳二模数学理科试题）已知函数 ( ), . (Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)当 时,若对任意 , 恒成立,求 的取值范围. 32.．（北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学（理））已知函数 在 处有 极值. (Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)若直线 与函数 有交点,求实数 的取值范围. ( )f x 21( ) 6ln( 2) 2f x ax x= − + + 2x = ( )f x y kx= '( )f x k 3 22( ) 2 (2 ) 13f x x x a x= − + − + a∈R 2a = ( )y f x= (1, (1))f [2,3] 2( ) lnf x x ax bx= + + ,a b 0a ≠ 1x = 1a = ( )f x ( )f x ( ]0,e 1 a 2( ) ( ) x kf x x k e= − ( )f x (0, )x∈ +∞ 1( )f x e ≤ k 1)( 2 + −= x axbxf ( )f x 1x = 2 ,a b 22 1b a= − ( )f x ( ) mxf x x = ++2 11 m ≠ 0 2( ) e ( )axg x x a= ∈R ( )f x m > 0 1 2, [0,2]x x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ a 33.．（2013 届北京市高考压轴卷理科数学）已知函数 在点 处的切线方程为 . (I)求 , 的值; (II)对函数 定义域内的任一个实数 , 恒成立,求实数 的取值范围. 34.．（2012 北京理）18.已知函数 , . (1)若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线,求 , 的值; (2)当 时,求函数 的单调区间,并求其在区间 上的最大值. 35.．（北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学（理）试题 ）已知函数 (Ⅰ)若 ，求函数 在（1， ）处的切线方程； (Ⅱ)讨论函数 的单调区间 36.．（2013 北京丰台二模数学理科试题及答案）已知函数 . (Ⅰ)当 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; (Ⅱ)若 >0,讨论 的单调性. 37.．（2010 年高考（北京理））已知函数 ( )=In(1+ )- + ( ≥0). (Ⅰ)当 =2 时,求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程; (Ⅱ)求 ( )的单调区间. 38.．（2013 北京顺义二模数学理科试题及答案）已知函数 ,其中 为正实数, . (I)若 是 的一个极值点,求 的值; 1 ln)( + += x xbaxf ))1(,1( f 2=+ yx a b )(xf x x mxf <)( m ( )2( ) 1 0f x ax a= + > 3( )g x x bx= + ( )y f x= ( )y g x= ( )1,c a b 2 4a b= ( ) ( )f x g x+ ( ], 1−∞ − xaaxxxf ln)1(2 1)( 2 −+−= 2=a )(xf )1(f )(xf ( )21( ) 2ln (2 1)2f x x ax a x a R= + − + ∈ 1 2a = − a ( )f x f x x x 2 2 k x k k y f x f f x ( ) 21 ax exf x += a 718.2=e 2 1=x ( )xfy = a (II)求 的单调区间. 39.．（北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数 （I） 当 时,求曲线 在 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 的单调区间. 40.．（北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数 ． （Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 的单调区间； （Ⅲ）设函数 ．若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范 围． 41.．（北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学）已知函数 ,其中 . (Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)若直线 是曲线 的切线,求实数 的值; (Ⅲ)设 ,求 在区间 上的最大值.(其中 为自然对数的底数) 42.．（北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题）已知函数 ( ). (1)若 ,试确定函数 的单调区间; (2)若函数 在其图象上任意一点 处切线的斜率都小于 ,求实数 的取值范围. (3)若 ,求 的取值范围. 43.．（北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学）已知函数 , 其中 . e( ) .1 ax f x x = − 1a = ( )f x (0, (0))f ( )f x 1( ) ( ) 2ln ( )f x a x x ax = − − ∈R 2a = ( )y f x= (1, (1))f ( )f x ( ) ag x x = − 0 [1,e]x ∈ 0 0( ) ( )f x g x> a 2 ( 1)( ) a xf x x −= 0a > ( )f x 1 0x y− − = ( )y f x= a 2( ) ln ( )g x x x x f x= − ( )g x [1,e] e 2( ) ( 2) ln 2 2f x x a x a x a= − + + + + 2a ≤ ( )xf (Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)若函数 在 上有且只有一个零点,求实数 的取值范围. 44. ．（ 北 京 市 通 州 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 试 题 ） 已 知 函 数 （Ⅰ）若函数 在 处有极值为 10，求 b 的值； （Ⅱ）若对于任意的 ， 在 上单调递增，求 b 的最小值． 45.．（2013 北京海淀二模数学理科试题及答案）已知函数 ,点 为一定点,直线 分 别与函数 的图象和 轴交于点 , ,记 的面积为 . (I)当 时,求函数 的单调区间; (II)当 时, 若 ,使得 , 求实数 的取值范围. 46.．（2009 高考(北京理)）设函数 (Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 的单调区间; (Ⅲ)若函数 在区间 内单调递增,求 的取值范围. 47.．（北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题）已知函数 ( 为自然对数的底数) (1)求 的最小值; (2)设不等式 的解集为 ,若 ,且 ,求实数 的取值范围 (3)已知 ,且 ,是否存在等差数列 和首项为 公比大于 0 的等比 数列 ,使得 ?若存在,请求出数列 的通项公式.若不存在,请说明理由. 48.．（北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学）已知函数 ( )f x ( )f x ( ]0,2 a ( ) ( )3 2 2 , .f x x ax bx a a b R= + + + ∈ ( )f x 1x = [ )4,a ∈ − +∞ ( )f x [ ]0,2x ∈ 32ln)( +−= axxaxf ( ) exf x = ( ,0)A a ( )x t t a= ≠ ( )f x x M N AMN∆ ( )S t 0a = ( )S t 2a > 0 [0,2]t∃ ∈ 0( ) eS t ≥ a ( ) ( 0)kxf x xe k= ≠ ( )y f x= (0, (0))f ( )f x ( )f x ( 1,1)− k （ ）. （Ⅰ）求函数 的单调区间; (Ⅱ）函数 的图像在 处的切线的斜率为 若函数 ，在区 间（1，3）上不是单调函数，求 的取值范围。 49. ．（北 京 市 东 城 区 普 通 高 中 示 范 校 2013 届 高 三 12 月 综 合 练 习 ( 一 ) 数 学 理 试 题 ） 已 知 函 数 ( ). (1)求函数 的单调区间; (2)对 ,不等式 恒成立,求 的取值范围. 50.．（北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数 是常 数． （Ⅰ）求函数 的图象在点 处的切线 的方程； （Ⅱ）证明函数 的图象在直线 的下方； （Ⅲ）讨论函数 零点的个数． 51.．（北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数 ，其中 ． （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）设 ．若 ，使 ，求 的取值范围． 0≠a )(xf )(xfy = 2=x ,2 3 ])([3 1)( '23 mxfxxxg ++= m 2 2( ) (2 4 )lnf x x ax x x= − + 0a > ( )f x [1, )x∀ ∈ +∞ (2 4 )lnx a x x− > − a ( )=ln +1,f x x ax a R− ∈ = ( )y f x (1, (1))P f l = ( )( 1)y f x x ≠ l = ( )y f x 2( ) xf x x b = + b∈R )(xf 0b > 1 3[ , ]4 4x∃ ∈ ( ) 1f x ≥ b 北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 28：导数参考答案 一、选择题 1. B 2. D 3. A 4. C 5. A 二、填空题 6. 【 解 析 】 , 表 示 点 与 点 连线的斜率,因为 ,所以 , ,即函数图象在区间 内任意两点连线的斜率大于 1,即 在 内恒成立.由定义域可知 ,所以 , 即 , 所 以 成 立 . 设 , 则 ,当 时,函数 的最大值为 15,所以 , 即 的取值范围为 . 7. , 【解析】函数的导数为 ,已知直线 的斜率 ,由 , 解得切点的横坐标 ,所以 ,即切点坐标为 ,切线方程为 ,即 . 8. 6 9. 或 【解析】函数的导数为 ,要使函数 既存在极大值又 存在极小值,则 有两个不同的根,所以判别式 ,即 ,所以 ,解得 或 . 10. 3x+y-4=0, 2; 11. 【答案】 【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查. 取 ,如图,采用数形结合法, 易得该曲线在 处的切线的斜率为 . 故应填 . 三、解答题 12. 解 答 （ 1 ） … ………… ………………2 分 ),15[ +∞ a ),15[ +∞ axaxxxf 24 1)2 1(2)( 22' ++−−=++−= ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) f p f q f p f q p q p q + − + + − +=− + − + ( 1, ( 1))p f p+ + ( 1, ( 1))q f q+ + 0 , 1p q< < 1 1 2p< + < 1 1 2q< + < (1,2) '( ) 1f x > (1,2) 1x > − '( ) 2 11 af x xx = − >+ 1 21 a xx > ++ 1 2 )( 1)a x x> + +（ 1 2 )( 1)y x x= + +（ 2 23 72 3 1 2( )4 8y x x x= + + = + + 1 2x≤ ≤ 23 72( )4 8y x= + + 15a ≥ (1,2) 4 2y x= − ' 3 1y x= + 4 3y x= + 4k = 3 1 4x + = 1x = 2y = (1,2) 2 4( 1)y x− = − 4 2y x= − 6m > 3m < − 2'( ) 3 2 ( 6)f x x mx m= + + + ( )f x '( ) 0f x = 0∆ > 24 12( 6) 0m m∆ = − + > 2 3 18 0m m− − > 6m > 3m < − 1− ( ) 2f x x= ( 1, ( 1))f− − 1− 1− 在 上存在单调递增区间 存在 的子区间 ，使得 时 在 上单调递减 ，即 解得 当 时， 在 上存在单调递增区间 ………………………………6 分 （2）令 ； 在 上单调递减，在 上单调递增 在 上单调递增，在 上单调递减 …………………………………8 分 所以 的最大值为 ， ………………………10 分 解得 ……………………13 分 13.解:(I) . 因 为 曲 线 与 曲 线 在 它 们 的 交 点 处 具 有 公 共 切 线 , 所 以 , 且 , 即 ,且 , 解得 (II)记 ,当 时, , , 令 ,得 . 当 变化时, 的变化情况如下表: )(xf ),( +∞ 3 2 ∴ ),3 2( +∞ ),( nm ),( nmx ∈ 0>)(' xf )(' xf ),( +∞ 3 2 03 2 >∴ )('f 029 2)3 2(' >+= af 9 1−>a ∴ 9 1−>a )(xf ),( +∞ 3 2 0=)(' xf 20 << a ∴ 2 811 1 ax +−= 2 811 2 ax ++= ∴ )(xf ),(),,( +∞−∞ 21 xx ),( 21 xx 20 << a 41 21 <<<∴ xx ∴ )(xf ),( 21 x ),( 42x )(xf )( 2xf 062 2714 <+−=− aff )()( 3 16 3 4084 −=−=∴ af )( 21 2 == xa , 3 10)2()()( 2 ==∴ fxfxf 的最大值为 ( ) ( ) bxxgaxxf 2,2 =′−=′ ( )xfy = ( )xgy = ( )c,1 ( ) ( )11 gf = ( ) ( )11 gf ′=′ 123 1 −+=− bba ba 21 =− 3 1,3 1 == ba ( ) ( ) ( )xgxfxh += ba 21−= ( ) aaxxaxxh −−−+= 23 2 1 3 1 ( ) ( ) ( )( )axxaxaxxh −+=−−+=′ 112 ( ) 0=′ xh 0,1 21 >=−= axx x ( ) ( )xhxh ,′ 0 — 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数 的单调递增区间为 ;单调递减区间为 , 故 在区间 内单调递增,在区间 内单调递减, 从而函数 在区间 内恰有两个零点,当且仅当 解得 , 所以 的取值范围是 (III)记 ,当 时, . 由(II)可知,函数 的单调递增区间为 ;单调递减区间为 . ①当 时,即 时, 在区间 上单调递增,所以 在区间 上的最大 值为 ; ②当 且 ,即 时, 在区间 上单调递增,在区间 上 单调递减,所以 在区间 上的最大值为 ; 当 且 ,即 时,t+3<2 且 h(2)=h(-1),所以 在区间 上的最大值 为 ; ③当 时, , 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,而最大值为 与 中的较大者. 由 知,当 时, , 所以 在区间 上的最大值为 ; x ( )1,−∞− 1− ( )a,1− a ( )+∞,a ( )xh′ + + ( )xh ( )xh ( ) ( )+∞−∞− ,,1, a ( )a,1− ( )xh ( )1,2 −− ( )0,1− ( )xh ( )0,2− ( ) ( ) ( )   < >− <− 00 ,01 ,02 h h h 3 10 << a a      3 1,0 ( ) ( ) ( )xgxfxh += 121 =−= ba ( ) 13 1 3 −−= xxxh ( )xh ( ) ( )+∞−∞− ,1,1, ( )1,1− 13 −<+t 4−≥+t ( )xh [ )1,t [ ]3,1 +t ( )th ( )3+th ( ) ( ) ( )( )2133 ++=−+ ttthth 11 <≤− t ( ) ( )thth ≥+ 3 ( )xh [ ]3, +tt ( ) 5833 13 23 +++=+ tttth ④ 当 时 , 在 区 间 上 单 调 递 增 , 所 以 在 区 间 上 的 最 大 值 为 14. (Ⅰ)解: . 依题意,令 ,解得 . 经检验, 时,符合题意 (Ⅱ)解:① 当 时, . 故 的单调增区间是 ;单调减区间是 ② 当 时,令 ,得 ,或 . 当 时, 与 的情况如下: ↘ ↗ ↘ 所以, 的单调增区间是 ;单调减区间是 和 . 当 时, 的单调减区间是 . 当 时, , 与 的情况如下: ↘ ↗ ↘ 所以, 的单调增区间是 ;单调减区间是 和 . ③ 当 时, 的单调增区间是 ;单调减区间是 . 综上,当 时, 的增区间是 ,减区间是 ; 当 时, 的增区间是 ,减区间是 和 ; 当 时, 的减区间是 ; (1 )( ) , ( 1, )1 x a axf x xx − −′ = ∈ − +∞+ (2) 0f ′ = 1 3a = 1 3a = 0=a ( ) 1 xf x x ′ = + )(xf (0, )+∞ )0,1(− 0a > ( ) 0f x′ = 1 0x = 2 1 1x a = − 10 << a ( )f x ( )f x′ x 1( 1, )x− 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x + ∞ ( )f x′ − 0 + 0 + ( )f x 1( )f x 2( )f x ( )f x 1(0, 1)a − )0,1(− 1( 1, )a − +∞ 1=a )(xf ),1( +∞− 1a > 21 0x− < < ( )f x ( )f x′ x 2( 1, )x− 2x 2 1( , )x x 1x 1( , )x + ∞ ( )f x′ − 0 + 0 + ( )f x 2( )f x 1( )f x ( )f x 1( 1,0)a − 1( 1, 1)a − − (0, )+∞ 0 ( )f x 1( 1,0)a − 1( 1, 1)a − − (0, )+∞ 0a ≤ )(xf (0, )+∞ 0)0( =f 10 << a )(xf (0, )+∞ 1( 1)f a − 1( 1) (0) 0f fa − > = 1≥a )(xf (0, )+∞ )(xf [0, )+ ∞ 0)0( =f )(xf [0, )+ ∞ 0 a [1, )+∞ 4 ( 1)( 2 1)( ) ( 1) x x af x x − − + −′ = − (1, )x ∈ +∞ ( ) 0f x′ = 1 1x = 2 2 1x a= − 2 1 1a − ≤ 1a ≤ (1, )+∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 2 1 1a − > 1a > (1,2 1)a − ( ) 0f x′ > ( )f x (2 1, )a − +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1a ≤ ( )f x (1, )+∞ 1a > ( )f x (1,2 1)a − ( )f x (2 1, )a − +∞ 1a ≤ ( )f x [2, )+∞ 1a > 2 1 2a − ≤ 3 2a ≤ ( )f x [2, )+∞ 2 1 2a − > 3 2a > ( )f x [2,2 1)a − (2 1, )a − +∞ 2 1(2 1) 0(2 2) af a a −− = >− 2 1x a> − 1 0x a a− > − > 2 1x a≥ − ( ) 0f x > (2) 2f a= − 2 0a− ≤ 2a≥ ( )f x 2 a− 2 0a− > 3 22 a< < ( )f x 2a≥ ( )f x 2 a− 2a < ( )f x 16. (Ⅰ) 当 时, 解 得 或 , 解 得 所以 单调增区间为 和 ,单调减区间为 (Ⅱ)①当 时, 取得极值, 所以 解得 (经检验 符合题意) + 0 - 0 + ↗ ↘ ↗ 所以函数 在 , 递增,在 递减 当 时, 在 单调递减, 当 时 在 单调递减,在 单调递增, 当 时, 在 单调递增, 综上, 在 上的最小值 ②令 得 (舍) 因为 所以 21 1'( ) ( ) (2 1) ( 1 2 ) x x x a a af x x x a e x e x x a ea a = + − + + = + + 1=a '( ) ( 3) xf x x x e= + ( ) 0f x′ > 0x > 3x < − ( ) 0f x′ < 3 0x− < < ( )f x ( , 3)−∞ − (0, )+∞ ( 3,0)− 5x = − ( )f x 1'( 5) ( 5)( 5 1 2 ) 0 x af a ea − = − − + + = 2a = 2a = ( )1'( ) 52 xf x x x e= + x ( , 5)−∞ − 5− ( 5,0)− 0 (0, )+∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x ( ), 5−∞ − ( )0 + ∞ ( )5,0− 5 1m− ≤ ≤ − ( )f x [ ], 1m m + 1 2 min ( ) ( 1) ( 3) m f x f m m m e + = + = + 1 0m− < < 0 1m m< < + ( )f x [ ],0m [ ]0, 1m + min ( ) (0) 2f x f= = − 0m ≥ ( )f x [ ], 1m m + 2 min ( ) ( ) ( 2)( 1) m f x f m m m e= = + − ( )f x [ ], 1m m + 1 2 min 2 ( 3) , 5 1, ( ) 2, 1 0, ( 2)( 1) , 0. m m m m e m f x m m m e m + + − ≤ ≤ −= − − < <   + − ≥ '( ) 0f x = 0, 5x x= = − ( 2) 0, (0) 2, (1) 0f f f− = = − = max min( ) 0, ( ) 2f x f x= = − 所以,对任意 ,都有 17.解:(Ⅰ)证明: ,由题意及导数的几何意义得 , (1) , (2) 又 ,可得 ,即 ,故 由(1)得 ,代入 ,再由 ,得 , (3) 将 代入(2)得 ,即方程 有实根. 故其判别式 得 ,或 , (4) 由(3),(4)得 ; (Ⅱ)由 的判别式 , 知方程 有两个不等实根,设为 , 又由 知, 为方程( )的一个实根,则由根与系数的关系得 , 当 或 时, ,当 时, , 故函数 的递增区间为 ,由题设知 , 因此 ,由(Ⅰ)知 得 的取值范围为 . 18.解：函数 的定义域为 ， ………1 分 (Ⅰ) ， ………4 分 （1）当 时， ，所以 在定义域为 上单调递增； …5 分 （2）当 时，令 ，得 （舍去）， ， 当 变化时， ， 的变化情况如下： 2( ) 2f x ax bx c′ = + + (1) 2 0f a b c′ = + + = 2( ) 2f m am bm c a′ = + + = − a b c< < 4 2 4a a b c c< + + < 4 0 4a c< < 0, 0,a c< > 2c a b= − − a b c< < 0a < 1 13 b a − < < 2c a b= − − 2 2 2 0am bm b+ − = 2 2 2 0ax bx b+ − = 24 8 0b ab∆ = + ≥ 2b a −≤ b a ≥0 0 1b a <≤ 2( ) 2f x ax bx c′ = + + 24 4 0b ac′∆ = − > 2( ) 2 0 ( )f x ax bx c′ = + + = ∗ 1 2,x x (1) 2 0f a b c′ = + + = 1 1x = ∗ 1 2 2 1 2 2, 1 0b bx x x xa a + = − = − − < < 2x x< 1x x> ( ) 0f x′ < 2 1x x x< < ( ) 0f x′ > ( )f x 2 1[ , ]x x 2 1[ , ] [ , ]x x s t= 1 2 2| | | | 2 bs t x x a − = − = + 0 1b a <≤ | |s t− [2, 4) )(xf ),0( +∞ x axax x aaxxxf ))(2(2)( 22 −+=−+=′ 0=a 0)( >=′ xxf )(xf ),0( +∞ 0>a 0)( =′ xf ax 21 −= ax =2 x )(xf ′ )(xf 1 2, [ 2,1]x x ∈ − 1 2 max min| ( ) ( ) | ( ) ( ) 2f x f x f x f x− ≤ − = 此时， 在区间 单调递减， 在区间 上单调递增； ………7 分 （3）当 时，令 ，得 ， （舍去）， 当 变化时， ， 的变化情况如下： 此时， 在区间 单调递减， 在区间 上单调递增. ………9 分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知当 时， 在区间 单调递减，在区间 上单调递增. ………10 分 （1）当 ，即 时， 在区间 单调递减， 所以， ； ………11 分 （2）当 ，即 时， 在区间 单调递减， 在区间 单调递增，所以 ，………12 分 （3）当 ，即 时， 在区间 单调递增， 所以 . ………13 分 19. (Ⅰ)解: ① 当 时,令 ,解得 的单调递减区间为 ;单调递增区间为 , 当 时,令 ,解得 ,或 ② 当 时, 的单调递减区间为 , 单调递增区间为 , ③ 当 时, 为常值函数,不存在单调区间 ④ 当 时, 的单调递减区间为 , 单调递增区间为 , )(xf ),0( a ),( +∞a 0 ( )f x ( 1,0)− 1(0, )1a + ( , 1)−∞ − 1( , )1a +∞+ (Ⅱ)解:① 当 时,若 , 若 , ,不合题意 ② 当 时,显然不合题意 ③ 当 时,取 ,则 取 ,则 ,符合题意 ④ 当 时,取 ,则 取 ,则 ,符合题意 综上, 的取值范围是 . 20.解：（Ⅰ） ．.......2 分 令 ， 因为 ，所以 的零点就是 的零点，且 与 符 号相同. 又因为 ，所以 时，g(x)>0,即 ， ………………………4 分 当 时,g(x)<0 ,即 ， …………………………………………6 分 所以 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， =-3 是 的极小值点，所以有 解得 ， …………………………………………………………11 分 所以 . 的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）， 0a > (0, )x ∈ +∞ 21 min 1( ) ( ) e ( 1) 11 a af x f aa += = + >+ ( ,0)x ∈ −∞ max( ) ( 1) e 1af x f −= − = < 0a = 1 0a− < < 1 2 ax = − 2 2 1( ) e ( 1) 0 a f x a −= − < 2 1x = − 2( ) e 0af x −= > 1a = − 1 1x = 1 1( ) e 0f x −= − < 2 1x = − 2( ) e 0af x −= > a [ 1,0)− 2 2 2 (2 ) ( ) (2 )( ) ( ) x x x x ax b e ax bx c e ax a b x b cf x e e + − + + − + − + −′ = = 2( ) (2 )g x ax a b x b c= − + − + − 0xe > '( )y f x= 2( ) (2 )g x ax a b x b c= − + − + − ( )f x′ ( )g x 0a > 3 0x− < < ( ) 0f x′ > 3, 0x x< − > ( ) 0f x′ < ( )f x x ( )f x 3 3 9 3 , 0, 9 3(2 ) 0, a b c ee b c a a b b c − − + = −  − = − − − + − =  1, 5, 5a b c= = = 2 5 5( ) x x xf x e + +=  ( )f x 为函数 的极大值, …………………………………………………12 分 在区间 上的最大值取 和 中的最大者. …………….13 分 而 >5，所以函数 f(x)在区间 上的最大值是 ．.…14 分 21.解：（I） …………………………. ……………1 分 根据题意， …………………3 分 此时， ,则 . 令 - + ↘ ↗ …………………………………………………………………………………………. 6 分 ∴当 时， 最小值为 . ………………………7 分 （II） ①若 上单调递减. 又 …………………………………………..10 分 ②若 从而 在（0， 上单调递增，在（ ，+ 上单调递减. 根据题意， …………….............................. 13 分 综上， 的取值范围是 . 22.解：(Ⅰ)函数 h(x)定义域为{x|x≠-a}，……………………………………1 分 ∴ (0) 5f = ( )f x ∴ ( )f x [ 5, )− +∞ ( 5)f − (0)f 5 5 5( 5) 5f ee−− = = [ 5, )− +∞ 55e .23)( 2 axxxf +−=′ (1) tan 1, 3 2 1, 2.4f a a π′ = = ∴− + = =即 3 2( ) 2 4f x x x= − + − 2( ) 3 4f x x x′ = − + 1 2 4'( ) 0 0, .3f x x x= = =，得 x 1− ( 1,0)− 0 (0,1) 1 ( )f x′ 7− 0 1 ( )f x 1− 4− 3− [ ]1,1x∈ − ( )f x ( )0 4f = − ).3 2(3)( axxxf −−=′ 0, 0 , ( ) 0, ( ) (0, )a x f x f x′> < ∴ +∞≤ 当 时 在 (0) 4, 0 , ( ) 4.f x f x= − > < −则当 时 0 00 , 0, ( ) 0.a x f x∴ > >当 ≤ 时 不存在 使 2 20, 0 , ( ) 0; , ( ) 0.3 3 a aa x f x x f x′ ′> < < > > <则当 时 当 时 )(xf 2 3 a） 2 3 a )∞ .427 449 4 27 8)3 2()(,),0( 333 max −=−+−==+∞∈∴ aaaafxfx 时当 3 34 4 0, 27. 3.27 a a a− > > ∴ >即 a (3, )+∞ 则 ， ……………………………3 分 h(x)在点（1，0）处的切线斜率为 0， 即 ,解得 或 ……………………6 分 (Ⅱ)记 (x)= ，则 (x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a), ab=8，所以 ， (x≠-a), , 令 ，得 ，或 , …………………………………………………8 分 因为 ， 所以 ， 故当 ，或 时， ，当 时， ， 函数 (x)的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 , ……………………………………………………………………10 分 , , ， ① 当 ，即 时, (x)在[-2,-1]单调递增, (x)在该区间的最小值为 ， ………………………………………11 分 ② 当 时,即 , (x)在[-2, 单调递减, 在 单调递增， (x)在该区间的最小值为 ，………………………………………………12 分 ③当 时,即 时, (x)在[-2,-1]单调递减, (x)在该区间的最小值为 ，………13 分 综上所述，当 时，最小值为 ；当 时，最小值为 ；当 时，最小值为 . （不综述者不扣分） 2 1( ) ( ) ( ) 2 3( )h x f x g x bxx a ′ ′ ′= − = − − −+  ∴ (1) 0, (1) 0. h h =  ′ = 2 1 3 0,1 1 2 3 0.(1 ) ba ba  − − = + − − − =+ 0, 2, a b =  = − 4 ,3 6. a b  = −  = − ϕ ( ) ( ) g x f x ϕ  8b a = ∴ 28( ) ( )( 3 )x x a x xa ϕ = + + ∴ 2 21 1( ) (24 22 3 ) (4 3 )(6 )x x ax a x a x aa a ϕ′ = + + = + + ( ) 0xϕ′ = 3 4x a= − 1 6x a= −  [ )3,a∈ +∞ ∴ 3 1 4 6a a− < − ∴ 3 4x a< − 1 6x a> − ( ) 0xϕ′ > 3 1 4 6a x a− < < − ( ) 0xϕ′ < ∴ ϕ 3 1( , ),( , ),( , )4 6a a a a−∞ − − − − +∞ 3 1( , )4 6a a− −  [3, )a∈ +∞ ∴ 3 9 4 4 a− ≤ − 1 6 2 a− ≤ − 26 a− ≤ − 12a ≥ ϕ ∴ϕ 64( 2) 44 6aa ϕ − = − + − 2 16 a− < − < − 6 12a< < ϕ 6 a− ) ( , 1]6 a− − ∴ϕ ( )6 aϕ − = 225 108 a− 16 a− ≥ − 3 6a≤ ≤ ϕ ∴ϕ 8( 1) 11 3aa ϕ − = − + − 3 6a≤ ≤ 8 11 3aa − + − 6 12a< < 225 108 a− 12a ≥ 64 44 6aa − + − 23.解:(Ⅰ)因为 令 ,得 , 所以 , 随 的变化情况如下表: 0 0 极 大 值 极小 值 所以 (II)因为 因为 ,直线 都不是曲线 的切线 所以 对 成立 只要 的最小值大于 所以 (III) 因为 所以 当 时, 对 成立 所以当 时, 取得最大值 当 时, 在 时, , 单调递增 在 时, , 单调递减 所以当 时, 取得最大值 当 时, 在 时, , 单调递减 ( )f x′ ( )f x x x '( )f x + − + ( )f x    2 2( ) (2 1) ( )f x x a x a a′ = − + + + ( )[ ( 1)]x a x a= − − + ( ) 0f x′ = 1 ( 1)x a= + 2x a= ( , )a−∞ a ( , 1)a a + 1a + ( 1, )a + +∞ 1a = 22 1 1( ) ( )2 4 af x x +′ = − − m∀ ∈ R y kx m= + )(xfy = 22 1 1( ) ( )2 4 af x x k +′ = − − ≠ Rx ∈ ( )f x′ k 1 4k < − 1,a > − 1 0,a + > 1a ≥ ( ) 0f x′ ≥ [0,1]x∈ 1x = ( )f x 2 1(1) 6f a= − 0 1a< < (0, )x a∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ,1)x a∈ ( ) 0f x′ < ( )f x x a= ( )f x 3 21 1( ) 3 2f a a a= + 0a = (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 所以当 时, 取得最大值 当 时,在 时, , 单调递减 在 时, , 单调递增 又 , 当 时, 在 取得最大值 当 时, 在 取得最大值 当 时, 在 , 处都取得最大值 综上所述, 当 或 时, 取得最大值 当 时, 取得最大值 当 时, 在 , 处都取得最大值 当 时, 在 取得最大值 . 24.解:(I) 在 处的切线方程为 (Ⅱ)由 由 及定义域为 ,令 ①若 在 上, , 在 上单调递增, 因此, 在区间 的最小值为 . ② 若 在 上 , , 单 调 递 减 ; 在 上 , , 单调递增,因此 在区间 上的最小值为 0x = ( )f x (0) 0f = 1 0a− < < (0, 1)x a∈ + ( ) 0f x′ < ( )f x ( 1,1)x a∈ + ( ) 0f x′ > ( )f x 2 1(0) 0, (1) 6f f a= = − 61 6a− < < − ( )f x 1x = 2 1(1) 6f a= − 6 06 a− < < ( )f x 0x = (0) 0f = 6 6a = − ( )f x 0x = 1x = 0 1a ≥ 61 6a− < < − ( )f x 2 1(1) 6f a= − 0 1a< < ( )f x 3 21 1( ) 3 2f a a a= + 6 6a = − ( )f x 0x = 1x = 0 6 06 a− < ≤ ( )f x 0x = (0) 0f = 2,a = 21 2( ) 2ln , '( ) ,2f x x x f x x x = − = − 1'(1) 1, (1) ,2f f= − = ( )f x (1, (1))f 2 2 3 0.x y+ − = 2 '( ) .a x af x x x x −= − = 0a > (0, )+∞ '( ) 0, .f x x a= =得 1, 0 1,a a≤ < ≤即 (1,e) '( ) 0f x > )(xf [1,e] ( )f x [1,e] 1(1) 2f = 21 e, 1 e ,a a< < < <即 1, )a（ '( ) 0f x < )(xf ,e)a（ '( ) 0f x > )(xf ( )f x [1,e] 1( ) (1 ln ).2f a a a= − ③若 在 上, , 在 上单调递减, 因此, 在区间 上的最小值为 . 综上,当 时, ;当 时, ; 当 时, (III) 由(II)可知当 或 时, 在 上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零 点. 当 时,要使 在区间 上恰有两个零点,则 ∴ 即 ,此时, . 所以, 的取值范围为 25. 2e, e ,a a≥ ≥即 (1,e) '( ) 0f x < )(xf [1,e] ( )f x [1,e] 21(e) e2f a= − 0 1a< ≤ min 1( ) 2f x = 21 ea< < min 1( ) (1 ln )2f x a a= − 2ea ≥ 2 min 1( ) e2f x a= − 0 1a< ≤ 2ea ≥ )(xf (1,e) 21 ea< < ( )f x (1,e) 2 1 (1 ln ) 0,2 1(1) 0,2 1(e) e 0,2 a a f f a  − <  = >   = − > 2 e 1 e2 a a > < 21e e2a< < a 21(e, e ).2 26. (共 14 分)解:(Ⅰ) ,定义域为 , 则 . 因为 ,由 得 , 由 得 , 所以 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . (Ⅱ)由题意,以 为切点的切线的斜率 满足 , 所以 对 恒成立. 又当 时, , 所以 的最小值为 . (Ⅲ)由题意,方程 化简得 + 令 ,则 . 当 时, ,当 时, , 所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. 所以 在 处取得极大值即最大值,最大值为 . 所以 当 , 即 时, 的图象与 轴恰有两个交点, 方程 有两个实根, 当 时, 的图象与 轴恰有一个交点, 方程 有一个实根, 当 时, 的图象与 轴无交点, 方程 无实根 27. (Ⅰ)解: 的定义域为 , 且 ( ) ln af x x x = + (0, )+∞ | 2 2 1( ) a x af x x x x −= − = 0a > ( ) 0,f x′ > ( , )x a∈ +∞ ( ) 0,f x′ < (0, )x a∈ ( )f x ( , )a +∞ (0, )a 0 0( , )P x y k 0 0 2 0 1( ) 2 x ak f x x −′= = ≤ 0( 0)x > 2 0 0 1 2a x x≥ − + 0 0x > 0 0x > 2 0 0 1 1 2 2x x− + ≤ a 1 2 3 2( ) 1( ) 2 2 x bx af x x + += − 21ln 2b x x= − 1 2 (0, )x∈ +∞ 21 1( ) ln 2 2h x x x b= − − + 1 (1 )(1 )( ) x xh x xx x + −′ = − = (0,1)x∈ ( ) 0h x′ > (1, )x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x (0,1) (1, )+∞ ( )h x 1x = 21 1(1) ln1 12 2h b b= − × − + = − 0b− > 0b < ( )y h x= x 3 2( ) 1( ) 2 2 x bx af x x + += − 0b = ( )y h x= x 3 2( ) 1( ) 2 2 x bx af x x + += − 0b > ( )y h x= x 3 2( ) 1( ) 2 2 x bx af x x + += − ( )f x R 2( ) 2 4 2f x x x a′ = − + − 当 时, , , 所以曲线 在点 处的切线方程为 , 即 (Ⅱ)解:方程 的判别式为 . (ⅰ)当 时, ,所以 在区间 上单调递增,所以 在区间 上的最小值是 ;最大值是 (ⅱ)当 时,令 ,得 ,或 . 和 的情况如下: ↗ ↘ ↗ 故 的单调增区间为 , ;单调减区间为 . ① 当 时, ,此时 在区间 上单调递增,所以 在区间 上的最小值是 ;最大值是 ② 当 时, ,此时 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增, 所以 在区间 上的最小值是 因为 , 所以 当 时, 在区间 上的最大值是 ;当 时, 在区间 上的最大值是 ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x 2a = 1(1) 3f = − (1) 2f ′ = − ( )y f x= (1, (1))f 1 2( 1)3y x+ = − − 6 3 5 0x y+ − = ( ) 0f x′ = 8a=∆ 0a ≤ ( ) 0f x′ ≥ (2,3) [2,3] 7(2) 23f a= − (3) 7 3f a= − 0a > ( ) 0f x′ = 1 21 2 ax = − 2 21 2 ax = + ( )f x ( )f x′ x 1( , )x−∞ 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x + ∞ ( )f x′ + 0 − 0 + ( )f x ( )f x 2( ,1 )2 a−∞ − 2(1 , )2 a+ +∞ 2 2(1 ,1 )2 2 a a− + 0 2a< ≤ 2 2x ≤ (2,3) [2,3] 7(2) 23f a= − (3) 7 3f a= − 2 8a< < 1 22 3x x< < < 2(2, )x 2( ,3)x [2,3] 2 5 2( ) 3 3 a af x a= − − 14(3) (2) 3f f a− = − 142 3a< ≤ [2,3] (3) 7 3f a= − 14 83 a< < [2,3] 7(2) 23f a= − ③ 当 时, ,此时 在区间 上单调递减, 所以 在区间 上的最小值是 ;最大值是 综上, 当 时, 在区间 上的最小值是 ,最大值是 ; 当 时, 在区间 上的最小值是 ,最大值是 ; 当 时, 在区间 上的最小值是 ,最大值是 ; 当 时, 在区间 上的最小值是 ,最大值是 . 28.解：（I）因为 所以 ………………2 分 因为函数 在 处取得极值 ………………3 分 当 时， ， ， 随 的变化情况如下表： 0 0 极 大 值 极小 值 ………………5 分 所以 的单调递增区间为 , 单调递减区间为 ………………6 分 ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x x '( )f x ( )f x 8a ≥ 1 22 3x x< < ≤ (2,3) [2,3] (3) 7 3f a= − 7(2) 23f a= − 2a ≤ [2,3] 7 23 a− 7 3a− 142 3a< ≤ [2,3] 5 2 3 3 a aa− − 7 3a− 14 83 a< < [2,3] 5 2 3 3 a aa− − 7 23 a− 8a ≥ [2,3] 7 3a− 7 23 a− 2( ) ln ,f x x ax bx= + + 1( ) 2f x ax bx ′ = + + 2( ) lnf x x ax bx= + + 1x = (1) 1 2 0f a b′ = + + = 1a = 3b = − 22 3 1( ) x xf x x − +′ = '( ), ( )f x f x x 1(0, )2 1 2 1( ,1)2 1 1 +∞（ ， ） + − +    ( )f x 1(0, )2 1 +∞（ ， ） 1( ,1)2 (II)因为 令 , ………………7 分 因为 在 处取得极值，所以 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 所以 在区间 上的最大值为 ，令 ，解得 ………………9 分 当 ， 当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增 所以最大值 1 可能在 或 处取得 而 所以 ，解得 ………………11 分 当 时, 在区间 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增 所以最大值 1 可能在 或 处取得 而 所以 ， 解得 ，与 矛盾………………12 分 当 时， 在区间 上单调递增，在 单调递减， 所以最大值 1 可能在 处取得，而 ，矛盾 22 2( 1) 1 (2 1)( 1)( ) ax a x ax xf x x x − + + − −′ = = ( ) 0f x′ = 1 2 11, 2x x a = = ( )f x 1x = 2 1 1 12x xa = ≠ = 1 02a < ( )f x (0,1) (1,e] ( )f x ( ]0,e (1)f (1) 1f = 2a = − 0a > 2 1 02x a = > 1 12a < ( )f x 1(0, )2a 1( ,1)2a (1,e) 1 2x a = ex = 21 1 1 1 1 1( ) ln ( ) (2 1) ln 1 02 2 2 2 2 4f a aa a a a a a = + − + = − − < 2(e) lne+ e (2 1)e 1f a a= − + = 1 e 2a = − 11 e2a ≤ < ( )f x (0,1) 1(1, )2a 1( ,e)2a 1x = ex = (1) ln1 (2 1) 0f a a= + − + < 2(e) lne+ e (2 1)e 1f a a= − + = 1 e 2a = − 2 11 e2x a < = < 2 1 e2x a = ≥ ( )f x (0,1) (1,e) 1x = (1) ln1 (2 1) 0f a a= + − + < 综上所述， 或 . ………………13 分 29. 【命题立意】本题考查利用导数研究函数的单调性问题以及利用函数的单调性与最值解答不等式恒成 立问题.学会分类讨论,综合解答函数、不等式问题. 【解析】(Ⅰ) ,令 ,得 当 时, 与 的情况如下: + 0 - 0 + 0 所以, 的单调递增区间是 和 ;单调递减区间是 当 时, 与 的情况如下: - 0 + 0 - 0 所以, 的单调递减区间是 和 ;单调递增区间是 (Ⅱ)当 时,因为 ,所以不会有 , . 当 时,由(Ⅰ)知 在 上的最大值是 所以 , 等价于 ,解得 所以当 , 时, 的取值范围 30. （Ⅰ） ………………1 分 依题意有， ………………3 分 解得 ， ………………5 分 经检验， 符合题意， 所以， (Ⅱ) 当 时， 1 2a e = − 2a = − 2 21'( ) ( ) x kf x x k ek = − '( ) 0f x = x k= ± 0k > ( )f x '( )f x x ( , )k−∞ − k− ( , )k k− k ( , )k +∞ '( )f x ( )f x  2 14k e−   ( )f x ( , )k−∞ − ( , )k +∞ ( , )k k− 0k < ( )f x '( )f x x ( , )k−∞ k ( , )k k− k− ( , )k− +∞ '( )f x ( )f x   2 14k e−  ( )f x ( , )k−∞ ( , )k− +∞ ( , )k k− 0k > 1 1( 1) k kf k e e + + = > (0, )x∀ ∈ +∞ 1( )f x e ≤ 0k < ( )f x (0, )+∞ 24( ) kf k e − = (0, )x∀ ∈ +∞ 1( )f x e ≤ 24 1( ) kf k e e − = ≤ 1 02 k− ≤ < (0, )x∀ ∈ +∞ 1( )f x e ≤ k 1[ ,0)2 − 2 2 2 ( 1) 2 ( )'( ) ( )( 1) a x x b axf x x Rx − + − −= ∈+ 2 2 2 2 ( 1) ax bx a x − −= + 2 2 2'(1) 0(1 1) a b af − −== =+ 2(1) 21 1 b af −= =+ 0b = 4a = − 4, 0a b= − = 4, 0a b= − = 22 1b a= − 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1)('( ) ( 1) ( 1) ax a x a ax x af x x x − − − + −= =+ + ） 当 时， 解 ， 得 当 时， ；当 时， 所以减区间为 ，增区间为 . ………………7 分 当 时，解 ， 得 ， ………………9 分 当 时， 当 或 时， ；当 时， 所以增区间为 ， ，减区间为 . ………………11 分 当 时， 当 或 时， ；当 时， 所以增区间为 ，减区间为 , . ………………13 分 综上所述：当 时, 减区间为 ，增区间为 ； 当 时, 增区间为 ， ，减区间为 ； 当 时, 增区间为 ，减区间为 ， . 31. (本小题满分 1 ) 解:(Ⅰ)函数 的定义域为 , ①当 时,当 变化时, , 的变化情况如下表: 0a = 2 2'( ) ( 1) xf x x = + '( ) 0f x = 0x = ( ,0)x∈ −∞ '( ) 0f x < (0, )x∈ +∞ '( ) 0f x > ( ,0)−∞ (0, )+∞ 0a ≠ '( ) 0f x = 1 2 1 ,x x aa = − = 0a > 1 aa − < 1( , )x a ∈ −∞ − ( , )x a∈ +∞ '( ) 0f x > 1( , )x aa ∈ − '( ) 0f x < 1( , )a −∞ − ( , )a +∞ 1( , )aa − 0a < 1 aa − > ( , )x a∈ −∞ 1( , )x a ∈ − +∞ '( ) 0f x < 1( , )x a a ∈ − '( ) 0f x > 1( , )a a − ( , )a−∞ 1( , )a − +∞ 0a = ( )f x ( ,0)−∞ (0, )−∞ 0a > ( )f x 1( , )a −∞ − ( , )a +∞ 1( , )aa − 0a < 1( , )a a − ( , )a−∞ 1( , )a − +∞ ( )f x R ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) m x m x xf x x x − − +′ = =+ + 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 m > 0 x ( )f x′ ( )f x x ( , )−∞ −1 ( , )−11 ( , )+∞1 所以,函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 , ②当 时,当 变化时, , 的变化情况如下表: 所以,函数 的单调递增区间是 , ,单调递减区间是 . (Ⅱ)依题意,“当 时,对于任意 , 恒成立”等价于 “当 时,对 于任意 , 成立”. 当 时,由(Ⅰ)知,函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 因为 , ,所以函数 的最小值为 . 所以应满足 因为 ,所以 ①当 时,函数 , , , 显然不满足 ,故 不成立 ②当 时,令 得, , . (ⅰ)当 ,即 时,在 上 ,所以函数 在 上单调递增, 所以函数 . 由 得, ,所以 (ⅱ)当 ,即 时, ( )f x′ − + − ( )f x    ( )f x ( , )−11 ( , )−∞ −1 ( , )+∞1 m < 0 x ( )f x′ ( )f x x ( , )−∞ −1 ( , )−11 ( , )+∞1 ( )f x′ + − + ( )f x    ( )f x ( , )−∞ −1 ( , )+∞1 ( , )−11 m > 0 1 2, [0,2]x x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ m > 0 [0,2]x∈ min max( ) ( )f x g x≥ m > 0 ( )f x [0,1] [1,2] (0) 1f = 2(2) 1 15 mf = + > ( )f x (0) 1f = max( ) 1g x ≤ 2( ) eaxg x x= 2( ) ( + 2 )eaxg x ax x′ = 0a = 2( )g x x= [0,2]x∀ ∈ max( ) (2) 4g x g= = max( ) 1g x ≤ 0a = 0a ≠ ( ) 0g x′ = 1 0x = 2 2x a = − 2 2a − ≥ 1 0a− ≤ < [0,2] ( ) 0g x′ ≥ ( )g x [0,2] 2 max( ) (2) 4e ag x g= = 24e 1a ≤ ln 2a ≤ − 1 ln 2a− ≤ ≤ − 20 2a < − < 1a < − 在 上 ,在 上 , 所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 所以 . 由 得, ,所以 (ⅲ)当 ,即 时,显然在 上 , 函数 在 上单调递增,且 . 显然 不成立,故 不成立 综上所述, 的取值范围是 32.解:(Ⅰ)因为 , 所以 由 ,可得 经检验 时,函数 在 处取得极值, , 而函数 的定义域为 , 当 变化时, , 的变化情况如下表: 极小值 由表可知, 的单调减区间为 , 的单调增区间为 (Ⅱ)若 ,则有 ,其中 , 所以 有大于 的根, 显然 ,设 21( ) 6ln( 2) 2f x ax x= − + + ' ( ) 6 2 af x xax = − ⋅ ++ ' (2) 0f = 2a = 2a = ( )f x 2x = 21( ) 6ln(2 2) 2f x x x= − + + 2 ' 6 6 ( 3)( 2)( ) 1 1 1 x x x xf x xx x x − + − + −= + = =+ + + ( )f x ( 1, )− +∞ x ' ( )f x ( )f x x ( 1,2)− 2 (2, )+∞ ' ( )f x − 0 + ( )f x   ( )f x ( 1,2)− ( )f x (2, )+∞ '( )f x kx= 2 26x x kx kx+ − = + 1x > − 2( 1) ( 1) 6 0k x k x− + − + = 1− 1k ≠ 2( ) ( 1) ( 1) 6g x k x k x= − + − + 2[0, )a − ( ) 0g x′ ≥ 2( ,2]a − ( ) 0g x′ < ( )g x 2[0, )a − 2( ,2]a − max 2 2 2 4( ) ( ) eg x g a a = − = 2 2 4 1ea ≤ 2 ea ≤ − 1a < − 2 0a − < 0a > [0,2] ( ) 0g x′ ≥ ( )g x [0,2] 2 max( ) (2) 4e ag x g= = 2 max( ) 4e 1ag x = ≤ 0a > a ( , ln 2]−∞ − 则其对称轴为 ,根据二次函数的性质知道, 只要 解得 或 . 33.解:(Ⅰ)由 而点 在直线 上 ,又直线 的斜率为 故有 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 由 及 令 令 ,故 在区间 上是减函数,故当 时, ,当 时, 从而当 时, ,当 时, 在 是增函数,在 是减函数,故 要使 成立,只需 故 的取值范围是 . 34.解:()由 为公共切点可得: ,则 , , ,则 , , ① 又 , , ,即 ,代入①式可得: . (2) , 设 1 2x = − 2( 1) 24( 1) 0k k∆ = − − − ≥ 25k ≥ 1k < 2 ( 1) ( ln )ln( ) ( )1 ( 1) b x a b xa b x xf x f xx x + − ++= ⇒ ′ =+ + ))1(,1( f 2=+ yx 1)1( =⇒ f 2=+ yx 1 (1) 1f− ⇒ ′ = −         −= =⇒ −=− = 1 2 14 2 12 b a ab a 6′ )0(1 ln2)( >+ −= xx xxf x mxf <)( mx xxxx <+ −⇒> 1 ln20 22 / )1( ln1 )1( )ln2()1)(ln1()(1 ln2)( + −−=+ −−+−=⇒+ −= x xx x xxxxxxgx xxxxg 1( ) 1 ln ( ) 1 0( 0)h x x x h x xx = − − ⇒ ′ = − − < > )(xh ),0( +∞ 10 << x 0)1()( => hxh 1>x 0)1()( =< hxh 10 << x ( ) 0g x′ > 1>x 0)(/ m m ),1( +∞ 14′ ( )1 c， 2( ) 1( 0)f x ax a= + > ( ) 2f x ax′ = 1 2k a= 3( )g x x bx= + 2( )=3f x x b′ + 2 3k b= + ∴ 2 3a b= + (1) 1f a= + (1) 1g b= + ∴ 1 1a b+ = + a b= 3 3 a b =  =  2 4a b= ∴ 3 2 21( ) ( ) ( ) 14h x f x g x x ax a x= + = + + + 则 ,令 ,解得: , ; , , 原函数在 单调递增,在 单调递减,在 上单调递增 ①若 ,即 时,最大值为 ; ②若 ,即 时,最大值为 ③若 时,即 时,最大值为 . 综上所述: 当 时,最大值为 ;当 时,最大值为 . 35.解：（1）当 时， ， 切线方程为 …… 4 分 (2) 定义域 令 ，解得 ， ①当 ， 恒成立，则 是函数的单调递增区间 ②当 时， ， 在区间（0,1）和（ ）上， ；在（ ）区间上 ， 故 的单调递增区间是（0,1）和（ ），单调递减区间是（ ） ③当 时，在区间（0, ）和（ ）上， ；在（ ）区间上 ， 故 的单调递增区间是（0, ）和（ ），单调递减区间是（ ） ④当 时， ，在区间（0,1）上 ，在区间（ ）上， ，故 的 单调递增区间是（ ），单调递减区间是（0,1）。 2 21( ) 3 2 4h x x ax a′ = + + ( ) 0h x′ = 1 2 ax = − 2 6 ax = −  0a > ∴ 2 6 a a− < − ∴ 2 a −∞ −  ， 2 6 a a − −  ， 6 a − + ∞  ， 1 2 a− −≤ 2a≤ 2 (1) 4 ah a= − 12 6 a a− < − < − 2 6a< < 12 ah − =   1 6 a− −≥ 6a≥ 12 ah − =   ( ]0 2a∈ ， 2 (1) 4 ah a= − ( )2 ,a∈ + ∞ 12 ah − =   2=a xxxxf ln22 1)( 2 +−= xxxf 12)(' +−=∴ 2 322 1)1( −=−=∴ f 0)1(' =∴ f 2 3−=y ），（ ∞+0 x axx x aaxx x aaxxf )1)(1()1(1)(' 2 −+−=−+−=−+−= 0)(' =xf 11 =x 12 −= ax 时2=a 0)(' ≥xf ），（ ∞+0 2>a 11>−a +∞− ,1a ( ) 0f x′ > 1,1 −a ( ) 0f x′ < ( )f x +∞− ,1a 1,1 −a 21 << a 1−a +∞,1 ( ) 0f x′ > 1,1−a ( ) 0f x′ < ( )f x 1−a +∞,1 1,1−a 1≤a 01≤−a ( ) 0f x′ < +∞,1 ( ) 0f x′ > ( )f x +∞,1 …… 13 分 36.解:(Ⅰ) 的定义域为 , 当 时, 令 在[1,e]上得极值点 x 2 0 增 减 (Ⅱ) , ①当 时,由 >0 得 0 ,所以 f(x)的单调增区间是(0,2), , 由 <0 得 20 得 02,所以 f(x)的单调增区间是(0, ), , 由 <0 得 2 1−=a ,2 )2)(2()( x xxxf −+−=′ ( ) 0,f x′ = ,2=x )2,1[ ],2( e )(xf ′ + − )(xf 12ln2 − ,42)(,4 1)1( 2eeff −=−=  ),()1( eff < max min 1( ) (2) 2ln 2 1, ( ) (1) 4f x f f x f∴ = = − = = − ( 2)( 1)( ) x axf x x − −′ = 2 10 << a ( )f x′ a 1 1( , )a +∞ ( )f x′ 1 a 1 a 2 1=a ( ) 0f x′ ≥ (2) 0f ′ = ( )f x∴ 2 1>a ( )f x′ 1 a 1 a (2, )+∞ ( )f x′ 1 a 1 a 2k = 2( ) ln(1 )f x x x x= + − + 1'( ) 1 21f x xx = − ++ (1) ln 2f = 3'(1) 2f = ( )y f x= (1, (1))f 3ln 2 ( 1)2y x− = − 3 2 2ln 2 3 0x y− + − = ( 1)'( ) 1 x kx kf x x + −= + ( 1, )x∈ − +∞ 0k = '( ) 1 xf x x = − + ( 1,0)− '( ) 0f x > (0, )+∞ '( ) 0f x < ( )f x ( 1,0)− (0, )+∞ 0 1k< < ( 1)'( ) 01 x kx kf x x + −= =+ 1 0x = 2 1 0kx k −= > ( 1,0)− 1( , )k k − +∞ '( ) 0f x > 1(0, )k k − '( ) 0f x < 故 得单调递增区间是 和 ,单调递减区间是 . 当 时, , 故 得单调递增区间是 . 当 时, ,得 , . 所以没在区间 和 上, ;在区间 上, 故 得单调递增区间是 和 ,单调递减区间是 38.解: . (I)因为 是函数 的一个极值点, 所以 ,因此 ,解得 . 经检验,当 时, 是 的一个极值点,故所求 的值为 (II) 令 得 ① (i)当 ,即 时,方程①两根为 . 此时 与 的变化情况如下表: 0 — 0 ↗ 极 大 值 ↘ 极小 值 ↗ 所以当 时, 的单调递增区间为 , ; 的单调递减区间为 . (ii)当 时,即 时, , 即 ,此时 在 上单调递增. 所以当 时, 的单调递增区间为 ( )f x ( 1,0)− 1( , )k k − +∞ 1(0, )k k − 1k = 2 '( ) 1 xf x x = + ( )f x ( 1, )− +∞ 1k > ( 1)'( ) 01 x kx kf x x + −= =+ 1 1 ( 1,0)kx k −= ∈ − 2 0x = 1( 1, )k k −− (0, )+∞ '( ) 0f x > 1( ,0)k k − '( ) 0f x < ( )f x 1( 1, )k k −− (0, )+∞ 1( ,0)k k − ( ) ( ) ( )22 2 1 12 ax eaxaxxf x + +−=′ 2 1=x ( )xfy = 02 1 =    ′f 014 1 =+− aa 3 4=a 3 4=a 2 1=x )(xfy = a 3 4 ( ) ( ) ( ) ( )0 1 12 22 2 > + +−=′ a ax eaxaxxf x ( ) 0=′ xf 0122 =+− axax ( ) 042 2 >−−=∆ aa 1>a a aaaxa aaa a aaax −+=−−=−−= 2 2 22 1 ,2 442 ( )xf ′ ( )xf x         −−∞− a aaa 2 , a aaa −− 2         −+−− a aaa a aaa 22 , a aaa −+ 2         +∞−+ , 2 a aaa ( )xf ′ + + ( )xf 1>a ( )xf         −−∞− a aaa 2 ,         +∞−+ , 2 a aaa ( )xf         −+−− a aaa a aaa 22 , 044 2 ≤−=∆ aa 10 ≤< a 0122 ≥+− axax ( ) 0≥′ xf ( )xf ( )+∞∞− , 10 ≤< a ( )xf ( )+∞∞− , 39. 解 ： 当 时 ， ， ………………2 分 又 ， ， 所 以 在 处 的 切 线 方 程 为 ………………4 分 （II） 当 时， 又函数的定义域为 所 以 的 单 调 递 减 区 间 为 ………………6 分 当 时，令 ，即 ，解得 ………………7 分 当 时， ， 所以 ， 随 的变化情况如下表 无定义 0 极小 值 所以 的单调递减区间为 ， ， 单调递增区间为 ………………10 分 1a = e( ) 1 ax f x x = − 2 e ( 2)'( ) ( 1) x xf x x −= − (0) 1f = − '(0) 2f = − ( )f x (0, (0))f 2 1y x= − − 2 e [ ( 1)]'( ) ( 1) ax ax af x x − += − 0a = 2 1'( ) 0( 1)f x x −= <− { | 1}x x ≠ ( )f x ( ,1),(1, )−∞ +∞ 0a ≠ '( ) 0f x = ( 1) 0ax a− + = 1ax a += 0a > 1 1ax a += > ( )f x′ ( )f x x x ( ,1)−∞ 1 1(1, )a a + 1a a + 1( , )a a + +∞ '( )f x − − + ( )f x    ( )f x ( ,1)−∞ 1(1, )a a + 1( , )a a + +∞ 当 时， 所以 ， 随 的变化情况如下表： 0 无定 义 极大值 所以 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 ， ………………13 分 40.解：函数的定义域为 ， ． …………………………………………………1 分 （Ⅰ）当 时，函数 ， ， ． 所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 ．………………………………………………………………………3 分 （Ⅱ）函数 的定义域为 ． （1）当 时， 在 上恒成立， 则 在 上恒成立，此时 在 上单调递减． ……………4 分 （2）当 时， ， （ⅰ）若 ， 由 ，即 ，得 或 ； ………………5 分 由 ，即 ，得 ．………………………6 分 0a < 1 1ax a += < ( )f x′ ( )f x x x 1( , )a a +−∞ 1a a + 1( ,1)a a + 1 1( , )a a + +∞ '( )f x + − − ( )f x    ( )f x 1( , )a a +−∞ 1( ,1)a a + (1, )+∞ ( )0,+∞ 2 2 2 1 2 2( ) (1 ) ax x af x a x x x − +′ = + − = 2a = 1( ) 2( ) 2lnf x x xx = − − (1) 0f = (1) 2f ′ = ( )y f x= (1, (1))f 0 2( 1)y x− = − 2 2 0x y− − = ( )f x (0, )+∞ 0a ≤ 2( ) 2 0h x ax x a= − + < (0, )+∞ ( ) 0f x′ < (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞ 0a > 24 4a∆ = − 0 1a< < ( ) 0f x′ > ( ) 0h x > 21 1 ax a − −< 21 1 ax a + −> ( ) 0f x′ < ( ) 0h x < 2 21 1 1 1a axa a − − + −< < 所以函数 的单调递增区间为 和 ， 单调递减区间为 ． ……………………………………7 分 （ⅱ）若 ， 在 上恒成立，则 在 上恒成立，此时 在 上单调递增． ………………………………………………………………8 分 （Ⅲ））因为存在一个 使得 ， 则 ，等价于 .…………………………………………………9 分 令 ，等价于“当 时， ”. 对 求导，得 . ……………………………………………10 分 因为当 时， ，所以 在 上单调递增. ……………12 分 所以 ，因此 . …………………………………………13 分 另解： 设 ，定义域为 ， . 依题意，至少存在一个 ，使得 成立， 等价于当 时， . ………………………………………9 分 （1）当 时， 在 恒成立，所以 在 单调递减，只要 ， 则不满足题意. ……………………………………………………………………10 分 （2）当 时，令 得 . （ⅰ）当 ，即 时， 在 上 ，所以 在 上单调递增， 所以 ， ( )f x 21 1(0, )a a − − 21 1( , )a a + − +∞ 2 21 1 1 1( , )a a a a − − + − 1a ≥ ( ) 0h x ≥ (0, )+∞ ( ) 0f x′ ≥ (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞ 0 [1,e]x ∈ 0 0( ) ( )f x g x> 0 02lnax x> 0 0 2ln xa x > 2ln( ) xF x x = [ ]1,ex∈ ( )mina F x> ( )F x 2 2(1 ln )( ) xF x x −′ = [1,e]x∈ ( ) 0F x′ ≥ ( )F x [1,e] min( ) (1) 0F x F= = 0a > ( ) ( ) ( ) 2lnF x f x g x ax x= − = − ( )0,+∞ ( ) 2 2axF x a x x −′ = − = 0 [1,e]x ∈ 0 0( ) ( )f x g x> [ ]1,ex∈ ( )max 0F x > 0a ≤ ( ) 0F x′ < [ ]1,e ( )F x [ ]1,e ( ) ( )max 1 0F x F a= = > 0a > ( ) 0F x′ = 2x a = 20 1a < ≤ 2a ≥ [ ]1,e ( ) 0F x′ ≥ ( )F x [ ]1,e ( ) ( )max e e 2F x F a= = − 由 得， ， 所以 . ……………………………………………………………………11 分 （ⅱ）当 ，即 时， 在 上 ，所以 在 单调递减， 所以 ， 由 得 .…………………………………………………………………12 分 （ⅲ）当 ，即 时， 在 上 ，在 上 ， 所以 在 单调递减，在 单调递增， ，等价于 或 ，解得 ， 所以， . 综上所述，实数 的取值范围为 . ………………………………………13 分 41.解:① ( ) 令 ,则 ,又 的定义域是 (0,2) 2 (2, ) 0 ②设切点为 则 解得 ③ 令 ,则 , e 2 0a − > 2 ea > 2a ≥ 2 ea ≥ 20 ea< ≤ [ ]1,e ( ) 0F x′ ≤ ( )F x [ ]1,e ( ) ( )max 1F x F a= = 0a > 20 ea< ≤ 21 ea < < 2 2e a< < 2[1, )a ( ) 0F x′ < 2( ,e]a ( ) 0F x′ > ( )F x 2[1, )a 2( ,e]a ( )max 0F x > ( )1 0F > ( )e 0F > 0a > 2 2e a< < a (0, )+∞ 2 4 3 2 ( 1) 2'( ) ax ax x ax af x x x − − − += = 0a > '( ) 0f x = 2x = ( )f x 0x ≠ x ( ,0)−∞ +∞ '( )f x − + − ( )f x    0 0( , )x y 0 0 0 0 2 0 0 3 0 1 ( 1) (2 ) 1 y x a xy x a x x   = −  −=   − =  0 1 1 x a =  = ( ) ln ( 1)g x x x a x= − − '( ) ln 1g x x a= + − '( ) 0g x = ln 1x a= − 1ax e −= (Ⅰ)当 时, 在 单调增加 (Ⅱ)当 时, 在 单调减少,在 单调增加; 若 时, ; 若 时, ; (Ⅲ)当 时, 在 上单调递减, ; 综上所述, 时, ; 时, . 42. (Ⅰ)解:当 时, ,所以 , 由 ,解得 , 由 ,解得 或 , 所以函数 的单调增区间为 ,减区间为 和 . (Ⅱ)解:因为 , 由题意得: 对任意 恒成立, 即 对任意 恒成立, 设 ,所以 , 所以当 时, 有最大值为 , 因为对任意 , 恒成立, 所以 ,解得 或 , 所以,实数 的取值范围为 或 . 0 1a< ≤ ( )g x [1, ]e max( ) ( )g x g e e ae a= = − + 1 2a< ≤ ( )g x 1[1, )ae − 1( , ]ae e− 1 1 ea e < ≤ − max( ) ( )g x g e e ae a= = − + 21 e ae < ≤− max( ) (0) 0g x g= = 2a > ( )g x [1, ]e max( ) (0) 0g x g= = 0 1 ea e < ≤ − max( ) ( )g x g e e ae a= = − + 1 ea e > − max( ) (0) 0g x g= = (III) . 43. (本小题满分 1 ) 解:函数定义域为 , 且 ①当 ,即 时,令 ,得 ,函数 的单调递减区间为 , 令 ,得 ,函数 的单调递增区间为 . ②当 ,即 时,令 ,得 或 , 函数 的单调递增区间为 , . 令 ,得 ,函数 的单调递减区间为 . ③当 ,即 时, 恒成立,函数 的单调递增区间为 (Ⅱ)①当 时,由(Ⅰ)可知,函数 的单调递减区间为 , 在 单调递增. 所以 在 上的最小值为 , 由于 , 要使 在 上有且只有一个零点, 需满足 或 解得 或 . ②当 时,由(Ⅰ)可知, (ⅰ)当 时,函数 在 上单调递增; 且 ,所以 在 上有且只有一个零点. (ⅱ)当 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增; { }0x x > (2 )( 1)( ) 2 ( 2) .a x a xf x x a x x − −′ = − + + = 0a ≤ 02 a ≤ ( ) 0f x′ < 0 1x< < ( )f x (0,1) ( ) 0f x′ > 1x > ( )f x (1, )+∞ 0 12 a< < 0 2a< < ( ) 0f x′ > 0 2 ax< < 1x > ( )f x (0, )2 a (1, )+∞ ( ) 0f x′ < 12 a x< < ( )f x ( ,1)2 a 12 a = 2a = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x (0, )+∞ 0a ≤ ( )f x (0,1) ( )f x (1,2] ( )f x ( ]0,2 (1) 1f a= + 2 2 4 2 2 2 2 1 1 2 1( ) 2 ( 1) 1 0e e e e e e a af = − − + = − − + > ( )f x ( ]0,2 (1) 0f = (1) 0, (2) 0, f f <  < 1a = − 2 ln 2a < − 0 2a< ≤ 2a = ( )f x (0,2] 4 8 4 1 4(e ) 2 0, (2) 2 2ln 2 0e ef f− = − − < = + > ( )f x ( ]0,2 0 2a< < ( )f x ( ,1)2 a (1,2] 又因为 ,所以当 时,总有 . 因为 , 所以 . 所以在区间 内必有零点.又因为 在 内单调递增, 从而当 时, 在 上有且只有一个零点. 综上所述, 或 或 时, 在 上有且只有一个零点 44.解：（Ⅰ） ，　　　　　　　　……………………………… 1 分 于是，根据题设有 解得 或 ……………………3 分 当 时， ， ，所以函数有极值 点； ………………………………………………………………4 分 当 时， ，所以函数无极值点．……………5 分 所以　 ．………………………………………………………………6 分 （Ⅱ）法一： 对任意 ， 都成立，………7 分 所以 对任意 ， 都成立…8 分 因为 , 所以 在 上为单调递增函数或为常数函数， ………9 分 所以 对任意 都成立 …10 分 即 . …………………………………………11 分 (1) 1 0f a= + > ( ,2]2 ax∈ ( ) 0f x > 2 2 e 1 2 a a a +− < < + 2 2 2 2 2 2 2 2 (e ) e [e ( 2)] ( ln e 2 2) 0 a a a a a a a af a a a + + + +− − − −= − + + + + < (0, )2 a ( )f x (0, )2 a 0 2a< ≤ ( )f x ( ]0,2 0 2a< ≤ 2 ln 2a < − 1a = − ( )f x ( ]0,2 ( ) 23 2f x x ax b′ = + + ( ) ( ) 2 1 3 2 0 1 1 10 f a b f a b a ′ = + + = = + + + =    4 11 a b =  = − 3 3 a b = −  = 4 11 a b =  = − ( ) 23 8 11f x x x′ = + − 64 132 0∆ = + > 3 3 a b = −  = ( ) ( )23 1 0f x x′ = − ≥ 11b = − ( ) 23 2 0f x x ax b′ = + + ≥ [ ]4,a∈ − ∞ [ ]0,2x∈ ( ) 22 3 0F a xa x b= + + ≥ [ ]4,a∈ − ∞ [ ]0,2x∈ 0x ≥ ( )F a [ ]4,a∈ − ∞ ( ) ( ) 2 min 4 8 3 0F a F x x b= − = − + + ≥ [ ]0,2x∈ ( )2 max 3 8b x x≥ − + 又 ， 所以　当 时， ，………………………………12 分 所以　 ， 所以　 的最小值为 ． ………………………………13 分 法二： 对任意 ， 都成立， ……………7 分 即 对任意 ， 都成立， 即 ． …………………………………………8 分 令 ，………………………………9 分 当 时， ，于是 ；…………………………10 分 当 时， ，于是， ．………11 分 又 ，所以 ． ………………………………12 分 综上， 的最小值为 ． ………………………………13 分 45.解: (I) 因为 ,其中 当 , ,其中 当 时, , , 所以 ,所以 在 上递增, 当 时, , , 令 , 解得 ,所以 在 上递增 令 , 解得 ,所以 在 上递减 2 2 4 16 163 8 3 3 3 3x x x − + = − − + ≤   4 3x = ( )2 max 163 8 3x x− + = 16 3b ≥ b 16 3 ( ) 23 2 0f x x ax b′ = + + ≥ [ ]4,a∈ − ∞ [ ]0,2x∈ 23 2b x ax≥ − − [ ]4,a∈ − ∞ [ ]0,2x∈ ( )2 max 3 2b x ax≥ − − ( ) 2 2 23 2 3 3 3 a aF x x ax x = − − = − + +   0a ≥ ( ) ( )max 0 0F x F= = 0b ≥ 4 0a− ≤ < ( ) 2 max 3 3 a aF x F  = − =   2 3 ab ≥ 2 max 16 3 3 a  =   16 3b ≥ b 16 3 1( ) | |e2 tS t t a= − t a≠ 0a = 1( ) | |e2 tS t t= 0t ≠ 0t > 1( ) e2 tS t t= 1'( ) ( 1)e2 tS t t= + '( ) 0S t > ( )S t (0, )+∞ 0t < 1( ) e2 tS t t= − 1'( ) ( 1)e2 tS t t= − + 1'( ) ( 1)e 02 tS t t= − + > 1t < − ( )S t ( , 1)−∞ − 1'( ) ( 1)e 02 tS t t= − + < 1t > − ( )S t ( 1,0)− 综上, 的单调递增区间为 , 的单调递减区间为 (II)因为 ,其中 当 , 时, 因为 ,使得 ,所以 在 上的最大值一定大于等于 ,令 ,得 当 时,即 时 对 成立, 单调递增 所以当 时, 取得最大值 令 ,解得 , 所以 当 时,即 时 对 成立, 单调递增 对 成立, 单调递减 所以当 时, 取得最大值 令 ,解得 所以 综上所述, 46.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决 ( )S t (0, )+∞ ( , 1)−∞ − ( )S t ( 1,0)− 1( ) | |e2 tS t t a= − t a≠ 2a > [0,2]t ∈ 1( ) ( )e2 tS t a t= − 0 [0,2]t∃ ∈ 0( ) eS t ≥ ( )S t [0,2] e 1'( ) [ ( 1)]e2 tS t t a= − − − '( ) 0S t = 1t a= − 1 2a − ≥ 3a ≥ 1'( ) [ ( 1)]e 02 tS t t a= − − − > (0,2)t ∈ ( )S t 2t = ( )S t 21(2) ( 2)e2S a= − 21 ( 2)e e2 a − ≥ 2 2ea ≥ + 3a ≥ 1 2a − < 3a < 1'( ) [ ( 1)]e 02 tS t t a= − − − > (0, 1)t a∈ − ( )S t 1'( ) [ ( 1)]e 02 tS t t a= − − − < ( 1,2)t a∈ − ( )S t 1t a= − ( )S t 11( 1) e2 aS a −− = 11( 1) e e2 aS a −− = ≥ ln2 2a ≥ + ln2 2 3a+ ≤ < ln2 2 a+ ≤ 问题的能力. (Ⅰ) , 曲线 在点 处的切线方程为 . (Ⅱ)由 ,得 , 若 ,则当 时, ,函数 单调递减, 当 时, ,函数 单调递增, 若 ,则当 时, ,函数 单调递增, 当 时, ,函数 单调递减, (Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 ,则当且仅当 , 即 时,函数 内单调递增, 若 ,则当且仅当 , 即 时,函数 内单调递增, 综上可知,函数 内单调递增时, 的取值范围是 . 47.解: (1) 由 当 ;当 (2) , 有解 由 即 上有解 令 , ( ) ( ) ( ) ( )' '1 , 0 1, 0 0kxf x kx e f f= + = = ( )y f x= (0, (0))f y x= ( ) ( )' 1 0kxf x kx e= + = ( )1 0x kk = − ≠ 0k > 1,x k  ∈ −∞ −   ( )' 0f x < ( )f x 1 , ,x k  ∈ − +∞   ( )' 0f x > ( )f x 0k < 1,x k  ∈ −∞ −   ( )' 0f x > ( )f x 1 , ,x k  ∈ − +∞   ( )' 0f x < ( )f x 0k > 1 1k − ≤ − 1k ≤ ( )f x ( )1,1− 0k < 1 1k − ≥ 1k ≥ − ( )f x ( )1,1− ( )f x ( )1,1− k [ ) ( ]1,0 0,1−  上减,在[1,2]上增 又 ,且 (3)设存在公差为 的等差数列 和公比 首项为 的等比数列 ,使 又 时, 故 ②-①×2 得, 解得 (舍) 故 ,此时 满足 存在满足条件的数列 48.解：（I） ……2 分 当 即 f(x)的单调递增区间为（0， ）,单调递减区间为（ , ………4 分 )0()21()(' >−= xx xaxf 时，0>a 0)(' >xf 2 10 << x 2 10)( >< xxf 即‘ ∴ 2 1 2 1 )∞+ 当 ， 即 f(x)的单调递增区间为（ , ,单调递减区间为（0， ） ……6 分 （II） 得 ……8 分 +3 ……9 分 ………10 分 ……11 分 ……12 分 即： ……13 分 49.解:(1) 当 时, 0 - 0 + 递增 极 大 递减 极 小 递增 所以, 在 和 上单调递增;在 上单调递减. 当 时, , 在 上单调递增. 当 时, + 0 - 0 + 递增 极大 递减 极小 递增 所以, 在 和 上单调递增;在 上单调递减 (2)法一、因为 , 所以由 得, 即函数 对 恒成立 由(Ⅰ)可知, 时，0> xxf 即‘ 0)(' <∴ 0)3( 0)1( ' ' g g    >+ <+∴ 0620 024 m m 23 10 −<<− m 21( ) (2 4 ) ln (4 4 ) 2f x x ax x x a xx ′ = − + − + ( ) 4 4 ln (4 4 ) 4( )(ln 1) , ( 0)f x x a x x a x a x x′ = − + − = − + > 10 a e < < x (0, )a a 1( , )a e 1 e 1( , )e +∞ ( )f x′ + ( )f x ( )f x (0, )a 1( , )e +∞ 1( , )a e 1a e = '( ) 0f x ≥ ( )f x (0, )+∞ 1a e > x 1(0, )e 1 e 1( , )ae a ( , )a +∞ ( )f x′ ( )f x ( )f x 1(0, )e ( , )a +∞ 1( , )ae 1x ≥ (2 4 )lnx a x x− > − 2 2(2 4 )ln 0x ax x x− + > ( ) 0f x > 1x ≥ 当 时, 在 单调递增,则 ,成立,故 < . 当 ,则 在 上单调递增, 恒成立,符合要求. 当 , 在 上单调递减, 上单调递增,则 , 即 , . 综上所述, 法二、当 时, ; 当 时,由 得, 对 恒成立. 设 ,则 由 ,得 或 - 0 + 递减 极小 递增 ,所以, , 50. （Ⅰ） …………………1 分 ， ，所以切线 的方程为 ，即 ． …………………3 分 （Ⅱ）令 则 ↗ 最大值 ↘ …………………6 分 ，所以 且 ， ， ， 即函数 的图像在直线 的下方． …………………8 分 （Ⅲ）令 ， . 10 a e < ≤ ( )f x (1, )+∞ min( ) (1) 0f x f= > 0 1a e ≤ 1 1ae < ≤ ( )f x (1, )+∞ min( ) (1) 1 0f x f= = > 1a > ( )f x (1, )a ( , )a +∞ min( ) ( ) 0f x f a= > 2 2 2(2 4 )ln 0a a a a− + > 1 a e< < 0 a e< < 1x = a R∈ 1x > (2 4 )lnx a x x− > − 4 2 ln xa x x < + [1, )x∀ ∈ +∞ ( ) 2 ln xg x x x = + 2 2 2 2 ln 1 2ln ln 1 (2ln 1)(ln 1)'( ) 2 ln ln ln x x x x xg x x x x − + − − += + = = '( ) 0g x = x e= 1x e = x (1, )e e ( , )e +∞ '( )g x ( )g x min( ) ( ) 4g x g e e= = 4 4a e< 0 a e< < 1( )=f x ax ′ − (1)= +1f a− = (1)=1lk f a′ − l (1)= ( 1)ly f k x− − =(1 )y a x− ( )= ( ) (1- ) =ln +1 >0F x f x a x x x x− − ， ， 1 1( )= 1= (1 ) ( )=0 =1.F x x F x xx x ′ ′− − ， 解 得 x )1,0( 1 ),1( ∞+ ( )F x′ + 0 − )(xF (1)<0F >0x∀ 1x ≠ ( )<0F x ( )<(1 )f x a x− = ( )( 1)y f x x ≠ l ( )=ln +1=0f x x ax− ln +1= xa x 令 ， ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时， 的最大值为 . 所以若 ，则 无零点；若 有零点，则 ．………………10 分 若 ， ，由（Ⅰ）知 有且仅有一个零点 . 若 ， 单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知 有且仅有一个零 点（或：直线 与曲线 有一个交点）. 若 ，解 得 ，由函数的单调性得知 在 处取最大值， ，由幂函数与对数函数单调性比较知，当 充分大时 ，即 在单调递减 区间 有且仅有一个零点；又因为 ，所以 在单调递增区间 有且仅有 一个零点. 综上所述，当 时， 无零点； 当 或 时， 有且仅有一个零点； 当 时， 有两个零点. …………………13 分 51. （Ⅰ）解：① 当 时， ． 故 的单调减区间为 ， ；无单调增区间． ………………1 分 ② 当 时， ． ………………3 分 令 ，得 ， ． 和 的情况如下： ↘ ↗ ↘ 故 的单调减区间为 ， ；单调增区间为 ． ………………5 分 ln +1( )= xg x x 2 2 ln +1 1 (ln +1) ln( )=( ) = =x x xg x x x x −′ ′ − ( )g x (0,1) (1,+ )∞ =1x ( )g x (1)=1g >1a ( )f x ( )f x 1a ≤ =1a ( )=ln +1=0f x x ax− ( )f x =1x 0a ≤ ( )=ln +1f x x ax− ( )f x = 1y ax − =lny x 0< <1a 1( )= =0f x ax ′ − 1=x a ( )f x 1=x a 1 1( ) =ln >0f a a x ( )<0f x ( )f x 1( ,+ )a ∞ 1( )= <0af e e − ( )f x 1(0 )a ， >1a ( )f x =1a 0a ≤ ( )f x 0< <1a ( )f x 0b = 1( )f x x = ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 0b > 2 2 2( ) ( ) b xf x x b −′ = + ( ) 0f x′ = 1x b= 2x b= − ( )f x ( )f x′ x ( , )b−∞ − b− ( , )b b− b ( , )b + ∞ ( )f x′ − 0 + 0 − ( )f x ( )f x ( , )b−∞ − ( , )b +∞ ( , )b b− ③ 当 时， 的定义域为 ． 因为 在 上恒成立， 故 的单调减区间为 ， ， ；无单调增区间． ………………7 分 （Ⅱ）解：因为 ， ， 所以 等价于 ，其中 ． ………………9 分 设 ， 在区间 上的最大值为 ．………………11 分 则“ ，使得 ”等价于 ． 所以， 的取值范围是 ． ………………13 分 0b < ( )f x { | }D x x b= ∈ ≠ ± −R 2 2 2( ) 0( ) b xf x x b −′ = <+ D ( )f x ( , )b−∞ − − ( , )b b− − − ( , )b− +∞ 0b > 1 3[ , ]4 4x∈ ( ) 1f x ≥ 2b x x≤ − + 1 3[ , ]4 4x∈ 2( )g x x x= − + ( )g x 1 3[ , ]4 4 1 1( )2 4g = 1 3[ , ]4 4x∃ ∈ 2b x x≤ − + 1 4b ≤ b 1(0, ]4