江苏省新海高级中学2013届高三理科数学12月检测试卷

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江苏省新海高级中学2013届高三理科数学12月检测试卷

江苏省新海高级中学2013届高三理科数学12月检测试卷 一.填空题 ‎ ‎1.函数的定义域为______.‎ ‎2. 已知复数,,那么=____i_____‎ ‎3. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ‎ ‎ ‎4. 已知点在终边上,则= 5 ‎ ‎5.已知向量满足,则的夹角为   ______‎ ‎6. .在R上定义运算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为 (-2,1) 。‎ ‎7. 在等差数列中,,则.13‎ ‎8.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ‎__0.75__‎ ‎9. .已知、是椭圆(>>0)的两个焦点,为椭圆上一点,且.若的面积为9,则=_____3____.‎ ‎10. 设和为不重合的两个平面,给出下列命题: ‎ ‎(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;‎ ‎(2)若外一条直线与内的一条直线平行,则和平行;‎ ‎(3)设和相交于直线,若内有一条直线垂直于,则和垂直;‎ ‎(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。‎ 上面命题中,正确命题的个数是 2 个 ‎11.△ABC中,,,则的最小值是 .‎ ‎12. 已知直线相离,则以三条边长分别为 所构成的三角形的形状是 钝角三角形 ‎ ‎13. 曲线上的点到原点的距离的最小值为 .‎ ‎14. 设函数,方程f(x)=x+a有且只有两相不等实数根,则实a的取值范围为 .‎ 二.解答题 ‎15.在锐角中,角、、的对边分别为、、,且满足.‎ ‎(1)求角的大小; (2)设,试求的取值范围.‎ ‎(1)因为,所以,‎ ‎    即 ‎ ‎    而 ,所以.故 ……………………6分 ‎ (2)因为 ‎ ‎   所以 .‎ ‎     由得 所以 ……10分 ‎  从而 故的取值范围是.……………………14分 ‎16.在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.‎ ‎(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积V;‎ ‎(Ⅱ)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;‎ ‎(Ⅲ)求证CE∥平面PAB.‎ 解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=1,‎ ‎∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.‎ 在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,‎ ‎∴CD=2,AD=4.‎ ‎∴SABCD=‎ ‎.则V=. ‎ ‎(Ⅱ)∵PA=CA,F为PC的中点,‎ ‎∴AF⊥PC. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.‎ ‎∵AC⊥CD,PA∩AC=A,‎ ‎∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC. ‎ ‎∵E为PD中点,F为PC中点,‎ ‎∴EF∥CD.则EF⊥PC. ‎ ‎∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.‎ ‎(Ⅲ)证法一:‎ 取AD中点M,连EM,CM.则EM∥PA.‎ ‎∵EM 平面PAB,PA平面PAB,‎ ‎∴EM∥平面PAB. ……… 12分 在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,‎ ‎∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB.‎ ‎∵MC 平面PAB,AB平面PAB,‎ ‎∴MC∥平面PAB. ‎ ‎∵EM∩MC=M,‎ ‎∴平面EMC∥平面PAB.‎ ‎∵EC平面EMC,‎ ‎∴EC∥平面PAB. ‎ 证法二:‎ 延长DC、AB,设它们交于点N,连PN.‎ ‎∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,‎ ‎∴C为ND的中点. ……12分 ‎∵E为PD中点,∴EC∥PN.……14分 ‎∵EC 平面PAB,PN 平面PAB,‎ ‎∴EC∥平面PAB. ‎ ‎17.设命题p:函数的定义域为R;命题q:不等式对一切正实数均成立 ‎(1)如果p是真命题,求实数的取值范围;‎ ‎(2)如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题,求实数的取值范围。‎ ‎(1)恒成立 ‎(2)“p或q”为真命题且“p且q”为假命题,即p,q一真一假 故 ‎18.已知点P(4,4),圆C:与椭圆E:有一个公共点 A(3,1),F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切.‎ ‎(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)点A代入圆C方程, 得.∵m<3,∴m=1.‎ 圆C:.‎ 设直线PF1的斜率为k,则PF1:,‎ 即.‎ ‎∵直线PF1与圆C相切,∴.‎ 解得. …………………… 4分 当k=时,直线PF1与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去.‎ 当k=时,直线PF1与x轴的交点横坐标为-4,‎ ‎∴c=4.F1(-4,0),F2(4,0). …………………… 6分 ‎2a‎=AF1+AF2=,,a2=18,b2=2.‎ 椭圆E的方程为:. …………………… 8分2‎ ‎(Ⅱ),设Q(x,y),,‎ ‎. …………………… 10分 ‎∵,即,‎ 而,∴-18≤6xy≤18. …………………… 12分 则的取值范围是[0,36]. ……… 14分 的取值范围是[-6,6].‎ ‎∴的取值范围是[-12,0]. …………………… 16分 ‎19.幂函数y = 的图象上的点 Pn(tn2,tn)(n = 1,2,……)与 x 轴正半轴上的点 Qn 及原点 O 构成一系列正△PnQn-1Qn(Q0与O重合),记 an = | QnQn-1 |‎ ‎(1)求 a1的值; (2)求数列 {an} 的通项公式 an;‎ ‎(3)设 Sn为数列 {an} 的前 n 项和,若对于任意的实数 l∈[0,1],总存在自然数 k,当 n≥k时,3Sn-3n + 2≥(1-l) (3an-1) 恒成立,求 k 的最小值.‎ ‎(1) 由 P1(t12,t1)(t > 0),… 1分,得 kOP1 = = tan = Þ t1 = ‎∴ P1(,) …………2分 a1 = | Q1Q0 | = | OP1 | = …………5分 ‎(2) 设 Pn(tn2,tn),得直线 PnQn-1的方程为:y-tn = (x-tn2) ‎ 可得 Qn-1(tn2-,0) ‎ 直线 PnQn的方程为:y-tn = -(x-tn2),可得 Qn(tn2 + ,0) ‎ 所以也有 Qn-1(tn-12 + ,0),得 tn2-= tn-12 + ,由 tn > 0,得 tn-tn-1 = ‎∴ tn = t1 + (n-1) = n …………8分 ‎∴ Qn(n(n + 1),0),Qn-1(n(n-1),0) ∴ an = | QnQn-1 | = n …………10分 ‎(3) 由已知对任意实数时 l∈[0,1] 时 n 2-2n + 2≥(1-l) (2n-1) 恒成立 ‎ Û 对任意实数 l∈[0,1] 时,(2n-1)l + n 2-4n + 3≥0 恒成立…………12分 则令 f (l) = (2n-1)l + n 2-4n + 3,则 f (l) 是关于 l 的一次函数.‎ Û 对任意实数 l∈[0,1] 时 Û …………14分 ‎ Û n≥3或n≤1 又 ∵ n∈N * ∴ k 的最小值为3…………16分 ‎20. 已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中);‎ ‎(Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求证:.‎ 解:(Ⅰ),,.‎ ‎∴,且. …………………… 2分 解得a=2,b=1. …………………… 4分 ‎(Ⅱ),令,‎ 则,令,得x=1(x=-1舍去).‎ 在内,当x∈时,,∴h(x)是增函数;‎ 当x∈时,,∴h(x)是减函数. …………………… 7分 则方程在内有两个不等实根的充要条件是……10分 即. …………………… 12分 ‎(Ⅲ),.‎ 假设结论成立,则有 ‎①-②,得. ∴.‎ 由④得, ∴.即.即.⑤ …… 14分 令,(0<t<1),‎ 则>0.∴在0<t<1上增函数. ‎ ‎,∴⑤式不成立,与假设矛盾.‎
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