备战2014中考数学专题讲座 动态几何之面积问题探讨

备战2014中考数学专题讲座 动态几何之面积问题探讨

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。‎ ‎16～18讲，我们从运动对象的角度对轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 19～21讲我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行了探讨，22～26讲我们从问题类型的角度对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题进行探讨。‎ 结合2013年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的探讨：（1）静态面积问题；（2）点动形成的动态面积问题；（3）线动形成的动态面积问题；（4）面动形成的动态面积问题。‎ 一、静态面积问题：‎ 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年广西南宁3分）如图，圆锥形的烟囱帽底面半径为‎15cm，母线长为‎20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是【 】‎ A、150πcm2 B、300πcm‎2 C、600πcm2 D、150πcm2‎ 故选B。‎ 例2：（2013年广西百色3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积为【 】‎ A．‎6cm2 B．4πcm‎2 C．6πcm2 D．9πcm2 ‎ 例3：（2013年湖北荆州3分）将一边长为2的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，则三棱锥四个面中最小的面积是【 】‎ A．1 B． C． D．‎ 例4：（2013年四川自贡4分）如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为【 】‎ A． B．‎9 C． D．‎ 例5：（2013年内蒙古赤峰3分）如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是【 】‎ ‎ A．S四边形ABCD=S四边形ECDF B．S四边形ABCD＜S四边形ECDF ‎ C．S四边形ABCD=S四边形ECDF+1 D．S四边形ABCD=S四边形ECDF+2‎ ‎　‎ 例6：（2013年福建福州4分）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点。已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则其面积是 ▲ 。‎ 例7：（2013年山西省2分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是【 】‎ A．　　　B．　　　C．　　　D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，转换思想的应用。‎ ‎【分析】如图，连接BD，设BE与AD相交于点P，BF与CD相交于点Q，‎ 例8：（2013年宁夏区3分）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 例9：（2013年广西桂林3分）如图，菱形ABCD的对角线BD、AC分别为2、，以B为圆心的弧与AD、DC相切，则阴影部分的面积是【 】‎ A． B． C． D．‎ 例10：（ 2013年广西贵港3分）如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sinθ=，则该圆锥的侧面积是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 例11：（2013年四川自贡10分）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）‎ ‎【分析】（1）求出∠COB的度数，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，根据切线的判定推出即可；‎ ‎（2）如解答图所示，解题关键是证明△CDM≌△OBM，进行等积转换，得到S阴影=S扇形BOC。　‎ 例12：（2013年四川雅安10分）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）‎ 例13：（ 2013年广西钦州10分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．‎ ‎（1）求⊙O的半径OD；‎ ‎（2）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（3）求图中两部分阴影面积的和．‎ ‎（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可。‎ 例14：（2013年贵州贵阳10分）已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．‎ ‎（1）求证：△OEF是等边三角形；‎ ‎（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）‎ 例15：（2013年浙江宁波3分）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为　 ▲ 　．‎ 二、点动形成的动态面积问题：‎ 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年北京市4分） 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO 的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是【 】‎ 例2：（2013年河北省3分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是【 】‎ 例3：（2013年甘肃白银、平凉、酒泉、张掖、临夏3分）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是【 】‎ ‎∴∠BAO=∠CAO=α，。‎ ‎∴阴影部分的面积。‎ ‎∴S与r之间是二次函数关系。‎ ‎∵r＞0，∴二次函数图象在第一象限。‎ 故选C。‎ 例4：（2013年甘肃兰州4分）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动 过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为【 】‎ 例5：（2013年广西桂林3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E．设BP=x，△PCE面积为y，则y与x的函数关系式是【 】‎ A．y=2x+1 B． C． D．y=2x ‎　‎ 例6：（ 2013年广西河池3分）如图，在直角梯形ABCD中，AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中点，点P在直角梯形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示是【 】‎ ‎ ‎ 例7：（2013年黑龙江龙东地区3分）如图，爸爸从家（点O）出发，沿着扇形AOB上OA→→BO的路径去匀速散步，设爸爸距家（点O）的距离为S，散步的时间为t，则下列图形中能大致刻画S与t之间函数关系的图象是【 】‎ ‎　‎ 例8：（2013年四川自贡4分）如图，已知A、B是反比例函数上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是【 】‎ 例9：（2013年浙江金华、丽水12分）如图1，点A是ｘ轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），M是线段AB的中点。将点M绕点A顺时针方向旋转900得到点C，过点C作ｘ轴的垂线，垂足为F，过点B作ｙ轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点。连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为ｔ，‎ ‎（1）当ｔ=2时，求CF的长；‎ ‎（2）①当ｔ为何值时，点C落在线段CD上；‎ ②设△BCE的面积为S，求S与ｔ之间的函数关系式；‎ ‎（3）如图2，当点C与点E重合时，将△CDF沿ｘ轴左右平移得到，再将A，B，为顶点的四边形沿剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形。请直接写出符合上述条件的点坐标，‎ 例10：（2013年广西百色10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，直径AB左侧的半圆上有一点动点E（不与点A、B重合），连结EB、ED。‎ ‎（1）如果∠CBD＝∠E，求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）当点E运动到什么位置时，△EDB≌△ABD，并给予证明；‎ ‎（3）若tanE＝，BC＝，求阴影部分的面积。（计算结果精确到0.1)‎ ‎(参考数值：π≈3.14, ≈1.41，≈1.73) ‎ 例11：（2013年黑龙江大庆9分）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，△ADE，△AEB，△BCE的面积分别为S1，S2，S3．‎ ‎（1）设AF=x，试用x表示S1与S3的乘积S1S3，并求S1S3的最大值；‎ ‎（2）设=t，试用t表示EF的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S22=4S1S3．‎ 例12：（2013年云南曲靖12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．‎ ‎（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，‎ ‎∴A（﹣4，0），B（0，4）。‎ ‎∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，‎ ‎∴，解得：。‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4。‎ ‎（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m。‎ ‎∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°。∴△ACD为等腰直角三角形。∴CD=AC=4+m。‎ ‎∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m。∴点E坐标为（m，8+m）。‎ ‎∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴8+m=﹣m2﹣‎3m+4，解得m=﹣2。‎ ‎∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6。‎ ‎（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形。分∠BED=90°和∠EBD=90°两种情况讨论。‎ 例13：（2013年湖南郴州10分）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．‎ ‎（1）证明：△PCE是等腰三角形；‎ ‎（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；‎ ‎（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．‎ 例14：（2013年四川乐山13分）如图1，已知抛物线C经过原点，对称轴与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且。‎ ‎（1）求抛物线C的解析式；‎ ‎（2）将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线，抛物线与x轴的另一交点为A，B为抛物线上横坐标为2的点。‎ ①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；‎ ②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线O－B－A于E1、F1，再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边△AE1E2、等边△AF‎1F2，点E以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动，当△AE1E2有一边与△AF‎1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值。‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴为，∴ON=3。‎ ‎ ∵，∴NM=9。∴M（－3，－9）。‎ ‎ ∴设抛物线C的解析式为。‎ ‎ ∵抛物线C经过原点，∴，即。‎ ‎ ∴抛物线C的解析式为，即。‎ 例15：（2013年山东枣庄14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．‎ ‎（1）求二次函数解析式；‎ ‎（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.‎ 三、线动形成的动态面积问题：‎ 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【 】‎ ‎　 A．2 B．‎4 ‎‎ ‎‎ ‎C．8 D．16‎ 例2：（2013年河南省4分）如图，抛物线的顶点为P（－2，2）与y轴交于点A（0，3），若平移该抛物线使其顶 P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ▲ .‎ 例3：（2013年河北省11分）如图，△OAB中，OA = OB = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N. ‎ ‎（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′. ‎ 求证：AP = BP′； ‎ ‎（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离； ‎ ‎（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数. ‎ 例4：（2013年广东佛山10分）如图①，已知抛物线经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；‎ ‎（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），‎ 例5：（2013年湖南湘潭10分）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象过C点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？‎ ‎（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎∴直线BC的解析式为。‎ ‎【考点】二次函数综合题，动线和单动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定。‎ ‎【分析】（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式。‎ ‎（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；‎ ‎（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可。‎ 例6：（2013年江苏连云港14分）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：‎ 问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．求证：S四边形ABCD＝S△ABF．（S表示面积）‎ 问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB内有一定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值．请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．‎ 实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部分计划以公路OA、OB和经过防疫站的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB＝66º，∠POB＝30º，OP＝‎4km，试求△MON的面积．（结果精确到‎0.1km2）（参考数据：sin66º≈0.91，tan66º≈2.25，≈1.73）‎ 拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值．‎ ‎【答案】解：问题情境：证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE。‎ ‎ ∵点E为DC边的中点，∴DE=CE。‎ ‎∵C，∴∠AOC=45°。∴AO=AD。 ‎ ‎∵A（6，0），∴OA=6。∴AD=6。‎ 例7：（2013年福州五佳教育10分） 如图，在平面直角坐标系中直线y=x﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．‎ ‎（1）求反比例函数的关系式；‎ ‎（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．‎ ‎【答案】解：（1）将B坐标代入直线y=x﹣2中得：m﹣2=2，解得：m=4，‎ ‎∴B（4，2），即BE=4，OE=2。‎ 设反比例解析式为，‎ 将B（4，2）代入反比例解析式得：k=8，‎ ‎∴反比例解析式为。‎ ‎（2）设平移后直线解析式为y=x+b，C（a，a+b），‎ 对于直线y=x﹣2，令x=0求出y=﹣2，得到OA=2，‎ 例8：（2013年辽宁盘锦14分）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．‎ ‎（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；‎ ‎（2）如图‚，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°‎ ‎∵在△PBA和△FBC中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF，‎ ‎　‎ 四、面动形成的动态面积问题：‎ 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年浙江杭州4分）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|= ▲ （平方单位）‎ 例2：（2013年青海西宁3分）如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合．设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为【 】‎ ‎【分析】如图，连接IE，‎ 例3：（2013年湖北恩施3分）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为【 】‎ A． B． C． D．‎ 例4：（2013年湖北荆州3分）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 例5：（2013年湖南衡阳3分）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为【 】‎ 例6：（2013年辽宁盘锦3分）如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的 一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运 动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为【 】‎ 例7：（2013年辽宁铁岭3分）如图，点G、E、A、B在一条直线上，Rt△EFG从如图所示是位置出发，沿直线AB向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动．设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S，运动时间为t，则S与t的图象大致是【 】‎ 综上所述，S与t的图象分为四段，第一段为x轴上的一条线段，第二段为开口向下的抛物线的一部分，第三段为与x轴平行的线段，第四段为开口先上的抛物线的一部分。‎ 故选D。‎ 例8：（2013年广西贺州3分）如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是　 ▲ 　．‎ 例9：（2013年江苏盐城3分）如图，在△ABC中，∠BAC=900，AB=‎5cm，AC=‎2cm，将△ABC绕顶点C按顺时针旋转450至△A1B‎1C的位置，则线段AB扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ▲ cm2.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】旋转的性质，勾股定理，扇形面积的计算，转换思想的应用。‎ ‎【分析】根据阴影部分的面积是：，分别求得各部分的面积，即可求解：‎ ‎ ∵在Rt△ABC中，∠BAC=900，AB=‎5cm，AC=‎2cm，∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ 例10：（2013年四川遂宁4分）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是　 ▲ 　．（π≈3.14，结果精确到0.1）‎ 例11：（2013年河南省10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=900，∠B=‎ ‎∠E=300.‎ ‎（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转。当点D恰好落在BC边上时，填空：‎ ① 线段DE与AC的位置关系是 ▲ ；‎ ‎② 设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2。则S1与S2的数量关系是 ▲ 。‎ ‎（2）猜想论证 ‎ 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想。‎ ‎（3）拓展探究 已知∠ABC=600，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF =S△BDC,请直接写出相应的BF的长 例12：（2013年辽宁锦州14分）如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上．‎ ‎（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；‎ ‎（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；‎ ‎（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？‎ ‎ ‎ 例13：（2013年湖南娄底10分）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；‎ ‎（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．‎ 例14：（2013年湖北宜昌10分）半径为‎2cm的与⊙O边长为‎2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．‎ ‎（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．‎ ‎①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是　 ▲ 　；‎ ‎②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；‎ ‎（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．‎ 例15：（2013年广东深圳9分）如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）。‎ ‎（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？‎ ‎（2）如图2，在（1）的条件下，函数的图像与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值。‎ ‎（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0

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