上海市松江一中2015-2016学年高二（上）第二次段考数学试卷（理科）（解析版）

上海市松江一中2015-2016学年高二（上）第二次段考数学试卷（理科）（解析版）

‎2015-2016学年上海市松江一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题 ‎1．过点（1，2）、（3，6）的直线的斜率为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎2．以（1，﹣2）为圆心且过原点的圆的方程为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎3．若直线l：y=kx经过点P（sin，cos），则直线l的倾斜角为α=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎4．若直线x﹣y﹣1=0与x﹣ay=0的夹角是，则实数a的值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎5．过点（1，2）且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎6．k取任意实数时，直线2（k﹣1）x+（k﹣6）y﹣k﹣4=0恒过点P，则点P的坐标为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎7．直线3x﹣y+3=0关于x﹣y﹣2=0对称的直线方程为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎8．在平面直角坐标系下，到点A（﹣2，3）的距离和直线x+y﹣1=0的距离相等的点的轨迹方程是　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎9．已知圆C在x轴上的截距为﹣1和3，在y轴上的一个截距为1．则圆C的标准方程为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎10．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=　　　　　　．‎ 第19页（共19页）‎ ‎　‎ ‎11．若直线y=k（x﹣3）+4和曲线y=有且只有一个交点，则实数k的取值范围为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆=1及以下3个函数：①f（x）=x；②f（x）=sinx；③f（x）=xsinx，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有　　　　　　个．‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、选择题 ‎13．直线x﹣y=0与圆（x﹣1）2+y2=2的位置关系是（　　）‎ A．相交不过圆心 B．相交过圆心 C．相切 D．相离 ‎　‎ ‎14．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎　‎ ‎15．与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎　‎ ‎16．下列五个命题：‎ ‎①直线l的斜率k∈[﹣1，1]，则直线l的倾斜角的范围是；‎ ‎②直线l：y=kx+1与过A（﹣1，5），B（4，﹣2）两点的线段相交，则k≤﹣4或；‎ ‎③如果实数x，y满足方程（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值为；‎ ‎④直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是m≥1；‎ ‎⑤方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是或m＞1；‎ 第19页（共19页）‎ 正确的是（　　）‎ A．②③ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（共48分）‎ ‎17．（1）要使直线l1：（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=2m与直线l2：x﹣y=1平行，求m的值．‎ ‎（2）直线l1：ax+（1﹣a）y=3与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，求a的值．‎ ‎　‎ ‎18．已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．‎ ‎（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎19．在直角坐标系xOy中，动点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和等于4，设动点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出曲线C的方程；‎ ‎（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．（k∈R）．‎ ‎（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为4，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎21．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1： =1．‎ ‎（1）若椭圆C2： =1，判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；‎ 第19页（共19页）‎ ‎（2）写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆Cb的方程；若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围．‎ ‎　‎ ‎　‎ 第19页（共19页）‎ ‎2015-2016学年上海市松江一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题 ‎1．过点（1，2）、（3，6）的直线的斜率为　2　．‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【专题】计算题；方案型；数学模型法；直线与圆．‎ ‎【分析】直接代入由两点坐标求直线的斜率公式得答案．‎ ‎【解答】解：∵点（1，2）、（3，6），‎ ‎∴由两点求斜率公式可得，过点（1，2）、（3，6）的直线的斜率为k=．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查由两点坐标求直线的斜率公式，是基础的会考题型．‎ ‎　‎ ‎2．以（1，﹣2）为圆心且过原点的圆的方程为　（x﹣1）2+（y+2）2=5　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．‎ ‎【分析】因为要求的圆的圆心知道，且圆经过原点，所以圆心到原点的距离就是圆的半径，然后直接代入圆的标准方程即可．‎ ‎【解答】解：设圆心是C，因为圆经过原点，所以半径r=，‎ 所以圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=5．‎ 故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2=5‎ ‎【点评】本题考查了圆的标准方程，解答此题的关键是求出圆的半径，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．若直线l：y=kx经过点P（sin，cos），则直线l的倾斜角为α=　　．‎ ‎【考点】直线的点斜式方程．‎ ‎【专题】计算题；直线与圆．‎ 第19页（共19页）‎ ‎【分析】求三角函数值化简P点坐标，把P的坐标代入直线方程求k，由倾斜角的正切值等于斜率结合倾斜角的范围可求直线l的倾斜角．‎ ‎【解答】解：P（sin，cos）=P（），‎ 因为y=kx经过点P，所以，解得 则，又0≤α＜π，‎ 所以．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】该题考查了直线的点斜式方程，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，训练了学生对三角函数的灵活运用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．若直线x﹣y﹣1=0与x﹣ay=0的夹角是，则实数a的值为　或0　．‎ ‎【考点】两直线的夹角与到角问题．‎ ‎【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．‎ ‎【分析】当直线x﹣ay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90°，而直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为60°，满足条件．当直线x﹣ay=0的斜率是时，由两条直线的夹角公式求出a的值．‎ ‎【解答】解：直线x﹣y﹣1=0的斜率为，直线x﹣ay=0的斜率不存在或是．‎ 当直线x﹣ay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90°，而直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为60°，满足条件．‎ 当直线x﹣ay=0的斜率是时，由两条直线的夹角公式可得tan==，解得a=．‎ 故答案为：或0．‎ ‎【点评】本题主要考查两直线的夹角公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．过点（1，2）且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是　x+2y﹣5=0　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．‎ 第19页（共19页）‎ ‎【分析】求出圆的圆心为O（0，0），半径r=．设过P点的切线方程为y﹣2=k（x﹣1），利用点到直线的距离建立关于k的等式，解之得k=﹣，即可得到所求圆的切线方程．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2=5的圆心为O（0，0），半径r=．‎ 根据题意，可得过P（1，2）的切线斜率存在，设其方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0．‎ ‎∵直线与圆x2+y2=5相切，‎ ‎∴圆心O到直线的距离等于半径r，即d==，‎ 化简整理得：4k2+4k﹣1=0，解之得k=﹣，‎ ‎∴直线方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简得x+2y﹣5=0．‎ 故答案为：x+2y﹣5=0．‎ ‎【点评】本题给出圆的方程，求圆经过定点的切线方程．着重考查了直线的方程、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．k取任意实数时，直线2（k﹣1）x+（k﹣6）y﹣k﹣4=0恒过点P，则点P的坐标为　（1，﹣1）　．‎ ‎【考点】恒过定点的直线．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】将直线的方程2（k﹣1）x+（k﹣6）y﹣k﹣4=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点，此点即为直线恒过的定点．‎ ‎【解答】解：直线2（k﹣1）x+（k﹣6）y﹣k﹣4=0可化为k（2x+y﹣1）+（﹣2x﹣6y﹣4）=0‎ 由题意，可得，∴‎ ‎∴直线2（k﹣1）x+（k﹣6）y﹣k﹣4=0恒过一定点（1，﹣1）‎ 故答案为：（1，﹣1）．‎ ‎【点评】本题考点是过两条直线交点的直线系，考查由直线系方程求其过定点的问题，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．直线3x﹣y+3=0关于x﹣y﹣2=0对称的直线方程为　x﹣2y﹣9=0．　．‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【专题】计算题．‎ 第19页（共19页）‎ ‎【分析】利用当对称轴斜率为±1时，由对称轴方程分别解出x，y，代入已知直线的方程，‎ 即得此直线关于对称轴对称的直线方程．‎ ‎【解答】解：因为直线x﹣y﹣2=0的斜率为1，故有将其代入直线3x﹣y+3=0即得：3（y+2）﹣（x﹣2）+3=0，‎ 整理即得 x﹣3y﹣11=0．‎ 故答案为：x﹣3y﹣11=0．‎ ‎【点评】本题考查求一直线关于某直线的对称直线方程的求法．当对称轴斜率为±1时，由对称轴方程分别解出x，y，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程．‎ ‎　‎ ‎8．在平面直角坐标系下，到点A（﹣2，3）的距离和直线x+y﹣1=0的距离相等的点的轨迹方程是　x﹣y+5=0　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【专题】计算题；直线与圆．‎ ‎【分析】确定所求的轨迹是过点A（﹣2，3）且垂直于直线x+y﹣1=0的直线，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由于点A（﹣2，3）位于直线x+y﹣1=0上，‎ 所以所求的轨迹是过点A（﹣2，3）且垂直于直线x+y﹣1=0的直线，‎ 设方程为x﹣y+c=0，‎ 代入A（﹣2，3）得出c=5，‎ 所以所求的方程为x﹣y+5=0．‎ 故答案为：x﹣y+5=0．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎9．已知圆C在x轴上的截距为﹣1和3，在y轴上的一个截距为1．则圆C的标准方程为　（x﹣1）2+（y+1）2=5　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】方程思想；分析法；直线与圆．‎ ‎【分析】设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得圆过点（﹣1，0），（3，0），（0，1），代入圆的方程，解方程可得a，b，r，进而得到所求圆的方程．‎ ‎【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，‎ 第19页（共19页）‎ 由题意可得圆过点（﹣1，0），（3，0），（0，1），‎ 代入方程可得，，‎ 解方程可得a=1，b=﹣1，r=，‎ 则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．‎ 故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=　8　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．‎ ‎【解答】解：椭圆=1的a=5，‎ 由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，‎ 则三角形ABF2的周长为4a=20，‎ 若|F2A|+|F2B|=12，‎ 则|AB|=20﹣12=8．‎ 故答案为：8‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．若直线y=k（x﹣3）+4和曲线y=有且只有一个交点，则实数k的取值范围为　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；数形结合；综合法；直线与圆．‎ 第19页（共19页）‎ ‎【分析】由曲线方程的特点得到此曲线表示在x轴上方的圆的一半，可得出圆心坐标和圆的半径r，然后根据题意画出相应的图形，根据图形，直线y=k（x﹣3）+4，恒过（3，4），由图形过（3，4），（﹣3，0）的直线的斜率为；‎ 由圆心到直线的距离d==3，可得直线与圆相切时，直线的斜率为，综上，得到满足题意的k的范围．‎ ‎【解答】解：由题意可知：曲线方程表示一个在x轴上方的圆的一半，‎ 则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=3，‎ 画出相应的图形，如图所示：‎ 直线y=k（x﹣3）+4，恒过（3，4），由图形过（3，4），（﹣3，0）的直线的斜率为；‎ 由圆心到直线的距离d==3，可得直线与圆相切时，直线的斜率为．‎ 综上，直线与曲线只有一个交点时，k的取值范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，考查数形结合的思想，根据题意得出此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，并画出相应的图形是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆=1及以下3个函数：①f（x）=x；②f（x）=sinx；③f（x）=xsinx，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有　2　个．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ 第19页（共19页）‎ ‎【专题】综合题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】作出函数图象，数形结合分析即可．‎ ‎【解答】解：∵①f（x）=x为奇函数，作出其图象，由图可知f（x）=x能等分该椭圆面积；‎ 同理，②f（x）=sinx为奇函数，能等分该椭圆面积；‎ ‎③f（x）=xsinx为偶函数，其图象关于y轴对称，在y轴右侧x∈（0，π）时，f（x）＞0，只有x∈（π，4）时f（x）＜0，故不能等分该椭圆面积．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查分析理解与空间想象的能力，考查作图能力，属于难题．‎ ‎　‎ 二、选择题 ‎13．直线x﹣y=0与圆（x﹣1）2+y2=2的位置关系是（　　）‎ A．相交不过圆心 B．相交过圆心 C．相切 D．相离 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ 第19页（共19页）‎ ‎【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判断d与r的大小即可得到直线与圆的位置关系，同时检验圆心是否在已知直线上，即可得到正确的选项．‎ ‎【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（1，0），半径r=，‎ ‎∵圆心到直线x﹣y=0的距离d==＜=r，‎ 且圆心（1，0）不在直线x﹣y=0上，‎ ‎∴直线与圆的位置关系是相交不过圆心．‎ 故选A ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．‎ ‎　‎ ‎14．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】常规题型．‎ ‎【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，‎ 例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；‎ 故前者不是后者的充分条件；‎ 当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；‎ 由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题．‎ 第19页（共19页）‎ ‎　‎ ‎15．与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】先根据椭圆9x2+4y2=36求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c，根据椭圆的短轴长为4求得b，最后根据b和c与a的关系求得a即可．‎ ‎【解答】解：椭圆9x2+4y2=36，‎ ‎∴c=，‎ ‎∵椭圆的焦点与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点 ‎∴椭圆的半焦距c=，即a2﹣b2=5‎ ‎∵短轴长为4‎ ‎∴b=2，a=5‎ ‎∴椭圆的标准方程为 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程的问题．要熟练掌握椭圆方程中a，b和c的关系，求椭圆的方程时才能做到游刃有余．‎ ‎　‎ ‎16．下列五个命题：‎ ‎①直线l的斜率k∈[﹣1，1]，则直线l的倾斜角的范围是；‎ ‎②直线l：y=kx+1与过A（﹣1，5），B（4，﹣2）两点的线段相交，则k≤﹣4或；‎ ‎③如果实数x，y满足方程（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值为；‎ ‎④直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是m≥1；‎ 第19页（共19页）‎ ‎⑤方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是或m＞1；‎ 正确的是（　　）‎ A．②③ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．‎ ‎【分析】①直线l的斜率k∈[﹣1，1]，则直线l的倾斜角α满足：﹣1≤tanα≤1，解出即可判断出．‎ ‎②直线l经过P（0，1），kPA=﹣4，kPB=﹣，由于直线l与线段AB相交，可得k≤﹣4或，即可判断出正误；‎ ‎③设=k，则y=kx，当此直线与圆相切时， =，解得k=，即可得出k的最大值，进而判断出正误；‎ ‎④把直线方程代入椭圆方程可得：（m+5k2）x2+10kx+5﹣5m=0，m＞0，m≠5，由直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，可得△≥0，解得m范围，即可判断出正误；‎ ‎⑤方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0配方为：（x+2m）2+（y﹣1）2=4m2+1﹣5m，表示圆的充要条件是4m2+1﹣5m＞0，解得m，即可判断出正误．‎ ‎【解答】解：①设直线l的倾斜角为α，直线l的斜率k∈[﹣1，1]，则﹣1≤tanα≤1，直线l的倾斜角的范围是α∈∪，因此不正确；‎ ‎②直线l：y=kx+1与过A（﹣1，5），B（4，﹣2）两点的线段相交，直线l经过P（0，1），kPA=﹣4，kPB=﹣，则k≤﹣4或，正确；‎ ‎③如果实数x，y满足方程（x﹣2）2+y2=3，设=k，则y=kx，当此直线与圆相切时， =，解得k=，因此k的最大值为，正确；‎ ‎④把直线方程代入椭圆方程可得：（m+5k2）x2+10kx+5﹣5m=0，m＞0，m≠5，由直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，可得△=100k2﹣20（1﹣m）（m+5k2）≥0，解得0＜m≤1，因此不正确；‎ ‎⑤方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0配方为：（x+2m）2+（y﹣1）2=4m2+1﹣5m，表示圆的充要条件是4m2+1﹣5m＞0，解得或m＞1，因此正确．‎ 第19页（共19页）‎ 综上可得：正确的是②③⑤．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、直线的斜率、直线与圆锥曲线的位置关系、圆的一般方程与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共48分）‎ ‎17．（1）要使直线l1：（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=2m与直线l2：x﹣y=1平行，求m的值．‎ ‎（2）直线l1：ax+（1﹣a）y=3与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，求a的值．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；分类法；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）由两直线平行列式求得m的值，代入两平行线间的距离公式得答案．‎ ‎（2）直接由A1A2+B1B2=0得答案；‎ ‎【解答】解：（1）直线l1：（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=2m与直线l2：x﹣y=1平行，可得：m2﹣m+（2m2+m﹣3）=0，‎ 即3m2﹣3=0，解得m=±1，当m=1时，直线l1不存在，当m=﹣1时，直线l1：（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=2m化为：‎ x﹣y=1，两条直线重合，所以m无解；‎ ‎（2）直线l1：ax+（1﹣a）y=3与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，‎ 可得：a（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0，‎ 解得：a=1或﹣3．‎ ‎【点评】本题考查了利用直线的一般式方程判断两条直线的平行于垂直，对于两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，当A1A2+B1B2=0时两直线垂直；是基础题．‎ ‎　‎ ‎18．已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．‎ ‎（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．‎ ‎【专题】计算题；综合题．‎ ‎【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，‎ 第19页（共19页）‎ ‎（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；‎ ‎（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，‎ 则此圆的圆心为（0，4），半径为2．‎ ‎（1）若直线l与圆C相切，则有．解得．‎ ‎（2）联立方程并消去y，‎ 得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．‎ 设此方程的两根分别为x1、x2，‎ 所以x1+x2=﹣，x1x2=‎ 则AB===2‎ 两边平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，‎ ‎∴直线l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎19．在直角坐标系xOy中，动点P到两点（0，﹣），（0，）的距离之和等于4，设动点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出曲线C的方程；‎ ‎（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的定义．‎ ‎【分析】（1）由椭圆定义可判断曲线C为椭圆，且a=2，c=，根据a，b，c的关系，可求出b的值，进而得到椭圆方程．‎ ‎（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，则联立椭圆与直线y=x+m的方程，得到的方程组必有解，消去y，得到关于x的一元二次方程中△≥0，就可求出m的范围．‎ 第19页（共19页）‎ ‎【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，﹣），（0，）为焦点，长半轴长为2的椭圆．‎ ‎∴它的短半轴b=1‎ ‎∴曲线C的方程为．‎ ‎（2）联立方程组，‎ 消去y得5x2+2mx+m2﹣4=0‎ 因为曲线C与直线y=x+m有交点，所以△=4m2﹣20（m2﹣4）≥0‎ 化简得m2﹣5≤0‎ 解得﹣≤m≤‎ 所以m的取值范围为[﹣，]‎ ‎【点评】本题主要考察了定义法求椭圆方程，以及直线与椭圆相交位置关系的判断．‎ ‎　‎ ‎20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0．（k∈R）．‎ ‎（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为4，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程；直线的截距式方程．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆．‎ ‎【分析】（1）可求得直线l的方程及直线l在y轴上的截距，依题意则，从而可解得k的取值范围；‎ ‎（2）依题意可求得A（﹣，0），B（0，1+2k），S△AOB=（1+2k）=4，解得即可．‎ ‎【解答】解：（1）直线l的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，‎ 要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是：k≥0，‎ ‎（2）依题意，直线l在x轴上的截距为：﹣，在y轴上的截距为1+2k，‎ ‎∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，‎ 第19页（共19页）‎ ‎∴k＞0‎ ‎∴S△AOB=（1+2k）=4，解得，‎ ‎∴x﹣y+1+1=0，即x﹣2y+4=0．‎ ‎【点评】本题考查恒过定点的直线，考查直线的一般式方程，考查直线的截距及三角形的面积，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1： =1．‎ ‎（1）若椭圆C2： =1，判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；‎ ‎（2）写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆Cb的方程；若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）分别求出特征三角形是腰长为a 和底边长为2c，从而得到椭圆的相似比．‎ ‎（2）设出椭圆Cb的方程，直线lMN的方程，根据两点关于直线对称的性质，求出直线lMN的方程，根据直线lMN与椭圆Cb有两个不同的交点，判别式大于零，求得实数b的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆C2与C1相似．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 因为椭圆C2的特征三角形是腰长为4，底边长为4的等腰三角形，而椭圆C1的特征三角形是腰长为2，底边长为2的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）Cb： =1或=1‎ 设lMN：y=﹣x+t，点M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点为（x0，y0），‎ 则，所以5x2﹣8tx+4（t2﹣b2）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 第19页（共19页）‎ 则x0=，y0=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 因为中点在直线y=x+1上，所以有=+1，t=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 即直线lMN的方程为：y=﹣x﹣，‎ 由题意可知，直线lMN与椭圆Cb有两个不同的交点，‎ 即方程5x2﹣8×（﹣）x+4[（﹣）2﹣b2]=0有两个不同的实数解，‎ 所以﹣4×5×4×[（﹣）2﹣b2]＞0，即b＞．‎ ‎【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两点关于直线对称的性质，求直线MN的方程是解决的关键．‎ ‎　‎ 第19页（共19页）‎