2019-2020学年天津市静海区第一中学高二12月学生学业能力调研数学试题（解析版）

2019-2020学年天津市静海区第一中学高二12月学生学业能力调研数学试题（解析版）

‎2019-2020学年天津市静海区第一中学高二12月学生学业能力调研数学试题 一、单选题 ‎1．若命题：，，则命题的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】存在性命题的否定,,对条件进行否定 ‎【详解】‎ 由题,则的否定为,‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查存在性命题的否定,属于基础题 ‎2．若双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由渐近线方程，设双曲线方程为，再由题意，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：因为双曲线的渐近线方程为，‎ 所以，可设双曲线标准方程为：，‎ ‎∵双曲线过，代入方程得，‎ ‎∴双曲线方程：．‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求双曲线的方程，熟记双曲线标准方程的求法即可，属于基础题型.‎ ‎3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“‎ ‎”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若且，则 B．若，则 C．若，则不等式 D．若且，则 ‎【答案】B ‎【解析】利用反例法可判断A,D错误,在C选项中,令,代回可得,故C错误 ‎【详解】‎ 对于选项A,当,时,,且,故A错误；‎ 对于选项B,作,因为,所以,,所以,即,故B正确；‎ 对于选项C,,则,当时,,所以,故C错误 对于选项D,当时,,故D错误 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质的应用,考查反例法判断命题真假 ‎4．已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为 ‎，过作准线的垂线，垂足为，‎ 因为是该抛物线上的两点，故，‎ 所以，‎ 又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.‎ ‎5．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由题意分别得到对应的集合与集合，再由是的必要不充分条件，得到，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：‎ 对应集合，‎ 对应集合，‎ ‎∵是的必要不充分条件，‎ ‎∴是的充分不必要条件，‎ ‎∴，‎ ‎∴且，‎ ‎∴．‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查由必要不充分条件求参数的问题，熟记充分条件与必要条件概念，以及集合间的关系即可，属于常考题型.‎ ‎6．在数列中，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用累加法先求出,进而求得即可 ‎【详解】‎ 由题,,则,…,,‎ 所以由累加法可得,,即,‎ 则,所以 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查累加法求数列通项公式,考查对数的运算性质 ‎7．设常数a＞0，若对一切正实数x成立，则a的取值范围为（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先利用基本不等式求出的范围，再解关于a的不等式即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为：，，‎ 所以：2=6a．‎ ‎∴原不等式恒成立，即可转换为，解得．‎ 所以a的取值范围为：．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式以及不等式恒成立问题，属于常见题型，是基础题目．‎ ‎8．已知双曲线为坐标原点，为的右焦点，过点作倾斜角为的直线与在第一象限的渐近线及轴的交点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】设过点F点直线方程为，联立方程，解得，求得，根据，化简得或，即可求解；‎ ‎【详解】‎ 由题可设过点F且倾角为的直线方程为，‎ 联立方程，解得，所以，‎ 从而，‎ 又，所以由，得，即，‎ 化简得，或，所以，或，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．‎ 二、填空题 ‎9．已知椭圆的中点在原点，焦点在坐标轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程为________.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】分别讨论焦点在轴与在轴上两种情况,根据椭圆的几何性质求解即可 ‎【详解】‎ 由题,,,所以,,则,‎ 当焦点在轴上时,椭圆方程为；当焦点在轴上时,椭圆方程为,‎ 故答案为：或 ‎【点睛】‎ 本题考查利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程,注意：焦点的位置 ‎10．双曲线上一点到点的距离为，则点到点的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由双曲线方程得到，，根据双曲线的定义，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，，‎ ‎，‎ 即或，‎ 又，所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义，熟记定义即可，属于基础题型.‎ ‎11．（1）已知实数，，，则的最小值是______．‎ ‎（2）正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值为______.‎ ‎（3）设正实数满足，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】. 6. . ‎ ‎【解析】（1）,利用均值不等式“1”的代换方法求解即可；‎ ‎（2）由正项等比数列及,可得,代入中可得,则利用求最值即可；‎ ‎（3）由可得,则,利用均值不等式求最值即可 ‎【详解】‎ ‎（1）由题,,‎ 则 所以,当且仅当,即,时取等,则的最小值为；‎ ‎（2）因为正项等比数列,所以,即,所以或（舍）,‎ 因为,则,即,则,所以,则 当且仅当,即,时取等,故的最小值为；‎ ‎（3）因为,所以,因为正实数,所以,即,‎ 所以 ‎,当且仅当,即时取等,故的最小值为 故答案为：（1）；（2）6；（3）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用均值不等式求最值,考查“1”的代换,考查运算能力 ‎12．已知直线过抛物线：的焦点，交于，两点，交的准线于点.若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意画出图形，得到直线的斜率，写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ ‎，‎ 过作抛物线准线的垂线，由，得，‎ 则直线的倾斜角为，设直线的方程为，‎ 设，，‎ 联立，得①．‎ 解得，，‎ ‎∴，∴，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．‎ ‎13．已知点、分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设中点为,由,可得,则,从而得到,又根据双曲线的定义可得,进而求出,即可得到渐近线方程 ‎【详解】‎ 设中点为,因为,所以为到直线的距离,即,则,,‎ 因为,所以,则,则,则渐近线方程为,即 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的渐近线方程,考查双曲线的定义的应用,考查运算能力 三、解答题 ‎14．（湖北省部分重点中学2018届高三上学期第一次联考）已知数列的各项为正数，其前项和满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和；‎ ‎（3）在（2）条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）=；（3）.‎ ‎【解析】（1）当时，.‎ 当时，，化简得，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，.‎ 则，‎ 所以 .‎ ‎（3） ，‎ ‎∴单调递增，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 要使得恒成立，则只需，解之得.‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【思路点拨】（1）由前项和满足，可以再写一项作差，即 ‎，整理得到通项.‎ ‎（2）由（1）知，.则，裂项求和即可；‎ ‎（3）由第二问得到=，将该式子作差和零比，即 ，研究该式子的单调性，求最值.‎ ‎15．如图，已知菱形与直角梯形所在的平面互相垂直，其中，，，，为的中点 ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设为线段上一点，，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ） .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）要证线面平行，就要证线线平行，考虑到是中点，因此取中点，可得与平行且相等，从而可证得，所以可证得线面平行；‎ ‎（Ⅱ）求二面角，可建立空间直角坐标系，用向量法求解，考虑到平面与平面垂直，是菱形，因此取中点，则有，因此，所以可作，以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角可得二面角；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的坐标系，利用已知得点坐标，从而可得向量 的坐标，利用向量与平面的法向量夹角的正弦值可求得，最后可得的长度.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）取的中点，连接，则∥∥ ,且，所以四边形为平行四边形 ‎ 所以∥，又平面， 平面，‎ 则∥平面. ‎ ‎（Ⅱ）取 中点，连接，则 因为平面 平面，交线为，则平面 ‎ 作∥，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，‎ 则 ‎ 于是 ，设平面的法向量 ，‎ 则 令，则 ‎ 平面的法向量 ‎ 所以 ‎ 又因为二面角为锐角，所以其余弦值为. ‎ ‎（Ⅲ）则 ，‎ ‎ ，而平面的法向量为，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 于是 ‎ 于是, .‎ ‎16．已知数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和；‎ ‎（3）令，问是否存在正整数使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）存在.‎ ‎【解析】分析：（1），代入表达式化简即可得到；（2），错位想减求和即可；（3）假设存在使得为等差数列，得到，变形为，分析式子的奇偶性得到结果.‎ 详解：‎ ‎（1）‎ ‎ , ‎ 当时满足上式, ‎ 故.‎ ‎（2）‎ ‎, ①‎ ‎ , ②‎ 由①－②得：‎ ‎ ‎ ‎, ‎ ‎ . ‎ ‎（3）假设存在使得为等差数列，‎ 则 ‎ ‎ ，‎ ‎ －—— ‎ 由且则为奇整数， ‎ ‎， ‎ 又由 则代入式得, ‎ 故存在使得为等差数列 .‎ 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎17．设椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为B，右焦点为F，已知直线的倾斜角为120°，.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设P为椭圆C上不同于，的一点，O为坐标原点，线段的垂直平分线交于M点，过M且垂直于的直线交y轴于Q点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用直线的倾斜角、的值列方程，结合，求得的值，进而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程，由此求得点坐标，由此求得直线的方程，进而求得点坐标，联立直线的方程和椭圆方程，求得点坐标，将转化为两条直线斜率乘积等于列方程，解方程求得直线 的斜率，进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设焦距为2c，因为直线BF的倾斜角为120°，所以，即，又因为，所以，即，代入，并化简得，解得，所以，，椭圆C的方程为.‎ ‎（2）设，直线的方程为，令，得，即，则，直线，令，得，联立方程组，并消去y得，由，得，把代入，得，得.又，则，同理，，所以，解得，所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的交点坐标的求法，考查直线垂直时斜率的关系，考查直线的点斜式方程，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎18．已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，分别为椭圆的左，右焦点，分别为椭圆的左，右顶点，设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点，直线的斜率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若三角形的面积等于四边形的面积，求的值；‎ ‎（Ⅲ）设点为的中点，射线（为原点）与椭圆交于点，满足，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】（I）根据抛物线的准线求得，根据短轴长求得，由此求得，进而求得椭圆方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得点的坐标，令求得点坐标.利用三角形的面积公式计算出和的面积，根据题目已知条件，这两个三角形的面积相等，由此列方程，解方程求得的值.（III）根据（II）求得点坐标，由此求得的斜率，设所在直线方程为，代入椭圆方程，求得点坐标，计算出到直线的距离，的长度，化简得到，利用列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由已知得，，故，椭圆方程为：，‎ ‎（Ⅱ）设直线方程为∴‎ ‎∴∴‎ ‎∴，令∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵∴‎ ‎（Ⅲ）由（II）和中点坐标公式，得，设所在直线方程为，则 ‎，∴∴，‎ 到直线的距离：，，‎ ‎∴‎ 即，‎ ‎，化简得，‎ ‎∵，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题.‎