2019-2020学年天津市静海区第一中学高二12月学生学业能力调研数学试题(解析版)

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2019-2020学年天津市静海区第一中学高二12月学生学业能力调研数学试题(解析版)

‎2019-2020学年天津市静海区第一中学高二12月学生学业能力调研数学试题 一、单选题 ‎1.若命题:,,则命题的否定是( )‎ A., B.,‎ C., D.,‎ ‎【答案】C ‎【解析】存在性命题的否定,,对条件进行否定 ‎【详解】‎ 由题,则的否定为,‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查存在性命题的否定,属于基础题 ‎2.若双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的方程是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由渐近线方程,设双曲线方程为,再由题意,即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解:因为双曲线的渐近线方程为,‎ 所以,可设双曲线标准方程为:,‎ ‎∵双曲线过,代入方程得,‎ ‎∴双曲线方程:.‎ 故选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求双曲线的方程,熟记双曲线标准方程的求法即可,属于基础题型.‎ ‎3.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“‎ ‎”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,则下列命题正确的是( )‎ A.若且,则 B.若,则 C.若,则不等式 D.若且,则 ‎【答案】B ‎【解析】利用反例法可判断A,D错误,在C选项中,令,代回可得,故C错误 ‎【详解】‎ 对于选项A,当,时,,且,故A错误;‎ 对于选项B,作,因为,所以,,所以,即,故B正确;‎ 对于选项C,,则,当时,,所以,故C错误 对于选项D,当时,,故D错误 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的性质的应用,考查反例法判断命题真假 ‎4.已知为抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,则线段的中点到轴的距离为 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】抛物线的准线为,过作准线的垂线,垂足为,的中点为,过作准线的垂线,垂足为,则可利用几何性质得到,故可得到轴的距离.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的准线为,过作准线的垂线,垂足为,的中点为 ‎,过作准线的垂线,垂足为,‎ 因为是该抛物线上的两点,故,‎ 所以,‎ 又为梯形的中位线,所以,故到轴的距离为,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的几何性质,属于基础题.‎ ‎5.设,,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先由题意分别得到对应的集合与集合,再由是的必要不充分条件,得到,进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得:‎ 对应集合,‎ 对应集合,‎ ‎∵是的必要不充分条件,‎ ‎∴是的充分不必要条件,‎ ‎∴,‎ ‎∴且,‎ ‎∴.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查由必要不充分条件求参数的问题,熟记充分条件与必要条件概念,以及集合间的关系即可,属于常考题型.‎ ‎6.在数列中,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用累加法先求出,进而求得即可 ‎【详解】‎ 由题,,则,…,,‎ 所以由累加法可得,,即,‎ 则,所以 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查累加法求数列通项公式,考查对数的运算性质 ‎7.设常数a>0,若对一切正实数x成立,则a的取值范围为(    )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先利用基本不等式求出的范围,再解关于a的不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 解:因为:,,‎ 所以:2=6a.‎ ‎∴原不等式恒成立,即可转换为,解得.‎ 所以a的取值范围为:.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式以及不等式恒成立问题,属于常见题型,是基础题目.‎ ‎8.已知双曲线为坐标原点,为的右焦点,过点作倾斜角为的直线与在第一象限的渐近线及轴的交点分别为,若,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C.或 D.或 ‎【答案】D ‎【解析】设过点F点直线方程为,联立方程,解得,求得,根据,化简得或,即可求解;‎ ‎【详解】‎ 由题可设过点F且倾角为的直线方程为,‎ 联立方程,解得,所以,‎ 从而,‎ 又,所以由,得,即,‎ 化简得,或,所以,或,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出 ,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程,即可得的值(范围).‎ 二、填空题 ‎9.已知椭圆的中点在原点,焦点在坐标轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆的方程为________.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】分别讨论焦点在轴与在轴上两种情况,根据椭圆的几何性质求解即可 ‎【详解】‎ 由题,,,所以,,则,‎ 当焦点在轴上时,椭圆方程为;当焦点在轴上时,椭圆方程为,‎ 故答案为:或 ‎【点睛】‎ 本题考查利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程,注意:焦点的位置 ‎10.双曲线上一点到点的距离为,则点到点的距离为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由双曲线方程得到,,根据双曲线的定义,即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,,‎ ‎,‎ 即或,‎ 又,所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义,熟记定义即可,属于基础题型.‎ ‎11.(1)已知实数,,,则的最小值是______.‎ ‎(2)正项等比数列中,存在两项使得,且,则的最小值为______.‎ ‎(3)设正实数满足,则的最小值为_______.‎ ‎【答案】. 6. . ‎ ‎【解析】(1),利用均值不等式“1”的代换方法求解即可;‎ ‎(2)由正项等比数列及,可得,代入中可得,则利用求最值即可;‎ ‎(3)由可得,则,利用均值不等式求最值即可 ‎【详解】‎ ‎(1)由题,,‎ 则 所以,当且仅当,即,时取等,则的最小值为;‎ ‎(2)因为正项等比数列,所以,即,所以或(舍),‎ 因为,则,即,则,所以,则 当且仅当,即,时取等,故的最小值为;‎ ‎(3)因为,所以,因为正实数,所以,即,‎ 所以 ‎,当且仅当,即时取等,故的最小值为 故答案为:(1);(2)6;(3)‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用均值不等式求最值,考查“1”的代换,考查运算能力 ‎12.已知直线过抛物线:的焦点,交于,两点,交的准线于点.若,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意画出图形,得到直线的斜率,写出直线的方程,与抛物线方程联立,利用根与系数的关系及弦长公式求解.‎ ‎【详解】‎ 如图,‎ ‎,‎ 过作抛物线准线的垂线,由,得,‎ 则直线的倾斜角为,设直线的方程为,‎ 设,,‎ 联立,得①.‎ 解得,,‎ ‎∴,∴,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质,直线与抛物线的位置关系,考查数形结合的解题思想方法,属于中档题.‎ ‎13.已知点、分别是双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设中点为,由,可得,则,从而得到,又根据双曲线的定义可得,进而求出,即可得到渐近线方程 ‎【详解】‎ 设中点为,因为,所以为到直线的距离,即,则,,‎ 因为,所以,则,则,则渐近线方程为,即 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的渐近线方程,考查双曲线的定义的应用,考查运算能力 三、解答题 ‎14.(湖北省部分重点中学2018届高三上学期第一次联考)已知数列的各项为正数,其前项和满足.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和;‎ ‎(3)在(2)条件下,若对一切恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)=;(3).‎ ‎【解析】(1)当时,.‎ 当时,,化简得,‎ 所以.‎ ‎(2)由(1)知,.‎ 则,‎ 所以 .‎ ‎(3) ,‎ ‎∴单调递增,‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 要使得恒成立,则只需,解之得.‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【思路点拨】(1)由前项和满足,可以再写一项作差,即 ‎,整理得到通项.‎ ‎(2)由(1)知,.则,裂项求和即可;‎ ‎(3)由第二问得到=,将该式子作差和零比,即 ,研究该式子的单调性,求最值.‎ ‎15.如图,已知菱形与直角梯形所在的平面互相垂直,其中,,,,为的中点 ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)设为线段上一点,,若直线与平面所成角的正弦值为,求的长.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ) .‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(Ⅰ)要证线面平行,就要证线线平行,考虑到是中点,因此取中点,可得与平行且相等,从而可证得,所以可证得线面平行;‎ ‎(Ⅱ)求二面角,可建立空间直角坐标系,用向量法求解,考虑到平面与平面垂直,是菱形,因此取中点,则有,因此,所以可作,以为轴建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出二面角两个面的法向量,由法向量的夹角可得二面角;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的坐标系,利用已知得点坐标,从而可得向量 的坐标,利用向量与平面的法向量夹角的正弦值可求得,最后可得的长度.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)取的中点,连接,则∥∥ ,且,所以四边形为平行四边形 ‎ 所以∥,又平面, 平面,‎ 则∥平面. ‎ ‎(Ⅱ)取 中点,连接,则 因为平面 平面,交线为,则平面 ‎ 作∥,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图,‎ 则 ‎ 于是 ,设平面的法向量 ,‎ 则 令,则 ‎ 平面的法向量 ‎ 所以 ‎ 又因为二面角为锐角,所以其余弦值为. ‎ ‎(Ⅲ)则 ,‎ ‎ ,而平面的法向量为,‎ 设直线与平面所成角为,‎ 于是 ‎ 于是, .‎ ‎16.已知数列的前项和为.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,求数列的前项和;‎ ‎(3)令,问是否存在正整数使得成等差数列?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)存在.‎ ‎【解析】分析:(1),代入表达式化简即可得到;(2),错位想减求和即可;(3)假设存在使得为等差数列,得到,变形为,分析式子的奇偶性得到结果.‎ 详解:‎ ‎(1)‎ ‎ , ‎ 当时满足上式, ‎ 故.‎ ‎(2)‎ ‎, ①‎ ‎ , ②‎ 由①-②得:‎ ‎ ‎ ‎, ‎ ‎ . ‎ ‎(3)假设存在使得为等差数列,‎ 则 ‎ ‎ ,‎ ‎ -—— ‎ 由且则为奇整数, ‎ ‎, ‎ 又由 则代入式得, ‎ 故存在使得为等差数列 .‎ 点睛:这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有常见的已知和的关系,求表达式,一般是写出做差得通项,但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。‎ ‎17.设椭圆的左、右顶点分别为,,上顶点为B,右焦点为F,已知直线的倾斜角为120°,.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设P为椭圆C上不同于,的一点,O为坐标原点,线段的垂直平分线交于M点,过M且垂直于的直线交y轴于Q点,若,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)利用直线的倾斜角、的值列方程,结合,求得的值,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,由此求得点坐标,由此求得直线的方程,进而求得点坐标,联立直线的方程和椭圆方程,求得点坐标,将转化为两条直线斜率乘积等于列方程,解方程求得直线 的斜率,进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设焦距为2c,因为直线BF的倾斜角为120°,所以,即,又因为,所以,即,代入,并化简得,解得,所以,,椭圆C的方程为.‎ ‎(2)设,直线的方程为,令,得,即,则,直线,令,得,联立方程组,并消去y得,由,得,把代入,得,得.又,则,同理,,所以,解得,所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的几何性质,考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的交点坐标的求法,考查直线垂直时斜率的关系,考查直线的点斜式方程,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎18.已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上,且椭圆的短轴长为2,分别为椭圆的左,右焦点,分别为椭圆的左,右顶点,设点在第一象限,且轴,连接交椭圆于点,直线的斜率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若三角形的面积等于四边形的面积,求的值;‎ ‎(Ⅲ)设点为的中点,射线(为原点)与椭圆交于点,满足,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)‎ ‎【解析】(I)根据抛物线的准线求得,根据短轴长求得,由此求得,进而求得椭圆方程.(II)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,求得点的坐标,令求得点坐标.利用三角形的面积公式计算出和的面积,根据题目已知条件,这两个三角形的面积相等,由此列方程,解方程求得的值.(III)根据(II)求得点坐标,由此求得的斜率,设所在直线方程为,代入椭圆方程,求得点坐标,计算出到直线的距离,的长度,化简得到,利用列方程,解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 解:(Ⅰ)由已知得,,故,椭圆方程为:,‎ ‎(Ⅱ)设直线方程为∴‎ ‎∴∴‎ ‎∴,令∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵∴‎ ‎(Ⅲ)由(II)和中点坐标公式,得,设所在直线方程为,则 ‎,∴∴,‎ 到直线的距离:,,‎ ‎∴‎ 即,‎ ‎,化简得,‎ ‎∵,∴.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查三角形的面积公式,考查点到直线的距离公式,考查运算求解能力,综合性很强,属于难题.‎
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