安徽省阜阳市第三中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含答案

安徽省阜阳市第三中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含答案

阜阳三中2019—2020学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷（理科）‎ 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎2.为虚数单位，则（ ）‎ A.2 B. C. 3 D. ‎ ‎3.命题“对任意的”的否定是（ ）‎ A.不存在 B.存在 ‎ C.存在 D. 对任意的 ‎4.若函数，则（ ） A. B. ‎2 ‎C. D. 4‎ ‎5.方程表示椭圆的必要不充分条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎6．以下四个命题中正确的是(　　)‎ A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底 C. △ABC为直角三角形的充要条件是＝0‎ D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 ‎7.某班有60名学生，一次考试的成绩服从正态分布，若，估计该班数学成绩在100分以上的人数为（ ）‎ A. 12 B. ‎20 ‎C. 30 D. 40‎ ‎8.点到抛物线准线的距离为1，则的值为（ ）‎ A.或 B. 或 C.-4或-12 D. 4或12‎ ‎9.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：‎ x ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 由表中数据求得y关于x的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎10.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）‎ A. 100种 B. 60种 C. 42种 D. 25种 ‎11. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12. 设函数在R上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分.‎ ‎13.= ______ ．‎ ‎14.的展开式中，的系数为______．‎ ‎15. 已知为双曲线的左焦点，为上的点，若 的长等于虚轴长的2倍，点在线段，则的周长为 ．‎ ‎16.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，则 ‎（Ⅰ）__________； （Ⅱ）若，则__________．（用表示）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答过程写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.‎ ‎17.（满分10分） 设P：函数在上单调递增，Q：关于x的不等式的解集为R。‎ ‎（1）如果“P且Q”为真，求a的取值范围．‎ ‎（2）如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．‎ ‎18.（满分12分）设函数，‎ ‎（1）求函数在上的值域 ‎（2）设，若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围。‎ ‎19. （满分12分） 如图，在四棱锥中，平面平面，‎ ‎，，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎20. （满分12分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该 轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，‎ 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：‎ 品牌 甲 乙 首次出现故 障时间(年)‎ 轿车数量(辆)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎5‎ ‎45‎ 每辆利润(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求,的分布列；‎ ‎（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．‎ ‎21. （满分12分）如图，椭圆经过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），直线与的斜率之和是否为定值，若是求出定值，若不是，说明理由.‎ ‎22. （满分12分）已知函数，曲线在处的切线方程为.‎ ‎（1）求 （2）证明：‎ ‎（3）证明：当时，‎ 阜阳三中2019—2020学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷（理科）参考答案 一、选择题 DBCCB,BACAC,CB 二、填空题 ‎13. e 14. 40 15. 44 16. 33；m-1（第一空2分，第二空3分）‎ 三、解答题 ‎17.解：‎ ‎(1) 当“P且Q”为真时，即P为真，Q为真，所以 ‎(2) 当P和Q有且仅有一个正确时，即P真Q假或P假Q真，所以 ‎18.解：（1），令，则 当 当，因为，，‎ 所以函数的最小值为，最大值为0‎ ‎（2）由知：，显然是其一个根，所以方程有两个不相等的实数根等价于方程有且仅有一个根且不为0，令 ‎，易知 并且当当所以若方程有且仅有一个根且不为0，则 ‎19.解：（1）在直角梯形中，由，得，，‎ 由，则，即，‎ 又平面平面，从而平面.‎ ‎（2）以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示，由题意可知各点坐标如下：‎ ‎ ‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 可算得，，‎ 由得，，可取，‎ 由得，，可取，‎ 于是，由题意可知，‎ 所求二面角是锐角，故二面角的大小是．‎ ‎20.解：（1）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A 则 ‎（2）依题意的分布列为:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ ‎,应生产甲品牌轿车.‎ ‎21.解：（1）由题意知，由，解得，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）设，由题设知，直线的方程为，‎ 联立方程组化简得，‎ 则，并且 因为直线与的斜率之和 化简得=‎ ‎22.解：（1）由题意知：即，解得 ‎（2）令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 于是，即，故 ‎（3）由（1）知，令 因为，当时，，所以在上单调递增，于是，即 故当时，，即.‎ 由（2）知：.‎ 综上知：当时，‎