安徽省阜阳市第三中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题 含答案

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安徽省阜阳市第三中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题 含答案

阜阳三中2019—2020学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷(理科)‎ 时间:120分钟 总分:150分 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎2.为虚数单位,则( )‎ A.2 B. C. 3 D. ‎ ‎3.命题“对任意的”的否定是( )‎ A.不存在 B.存在 ‎ C.存在 D. 对任意的 ‎4.若函数,则( ) A. B. ‎2 ‎C. D. 4‎ ‎5.方程表示椭圆的必要不充分条件是( )‎ A. B. C. D. ‎6.以下四个命题中正确的是(  )‎ A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间向量的另一组基底 C. △ABC为直角三角形的充要条件是=0‎ D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 ‎7.某班有60名学生,一次考试的成绩服从正态分布,若,估计该班数学成绩在100分以上的人数为( )‎ A. 12 B. ‎20 ‎C. 30 D. 40‎ ‎8.点到抛物线准线的距离为1,则的值为( )‎ A.或 B. 或 C.-4或-12 D. 4或12‎ ‎9.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,得到如下数据:‎ x ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 由表中数据求得y关于x的回归方程为,则在这些样本点中任取一点,该点落在回归直线下方的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎10.安排5名学生去3个社区进行志愿服务,且每人只去一个社区,要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务,则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有( )‎ A. 100种 B. 60种 C. 42种 D. 25种 ‎11. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“ ”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有2个阳爻的概率是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 设函数在R上存在导数,,有,在上,若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题;本大题共4小题,每小题5分,共20分,第16题第一空2分,第二空3分.‎ ‎13.= ______ .‎ ‎14.的展开式中,的系数为______.‎ ‎15. 已知为双曲线的左焦点,为上的点,若 的长等于虚轴长的2倍,点在线段,则的周长为 .‎ ‎16.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为:,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列为“斐波那契”数列,为数列的前项和,则 ‎(Ⅰ)__________; (Ⅱ)若,则__________.(用表示)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答过程写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.‎ ‎17.(满分10分) 设P:函数在上单调递增,Q:关于x的不等式的解集为R。‎ ‎(1)如果“P且Q”为真,求a的取值范围.‎ ‎(2)如果P和Q有且仅有一个正确,求a的取值范围.‎ ‎18.(满分12分)设函数,‎ ‎(1)求函数在上的值域 ‎(2)设,若方程有两个不相等的实数根,求实数的取值范围。‎ ‎19. (满分12分) 如图,在四棱锥中,平面平面,‎ ‎,,,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求二面角的大小.‎ ‎20. (满分12分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该 轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,‎ 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:‎ 品牌 甲 乙 首次出现故 障时间(年)‎ 轿车数量(辆)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎5‎ ‎45‎ 每辆利润(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ 将频率视为概率,解答下列问题:‎ ‎(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;‎ ‎(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为,生产一辆乙品牌轿车的利润为,分别求,的分布列;‎ ‎(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该生产哪种品牌的轿车?说明理由.‎ ‎21. (满分12分)如图,椭圆经过点,且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同两点(均异于点),直线与的斜率之和是否为定值,若是求出定值,若不是,说明理由.‎ ‎22. (满分12分)已知函数,曲线在处的切线方程为.‎ ‎(1)求 (2)证明:‎ ‎(3)证明:当时,‎ 阜阳三中2019—2020学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷(理科)参考答案 一、选择题 DBCCB,BACAC,CB 二、填空题 ‎13. e 14. 40 15. 44 16. 33;m-1(第一空2分,第二空3分)‎ 三、解答题 ‎17.解:‎ ‎(1) 当“P且Q”为真时,即P为真,Q为真,所以 ‎(2) 当P和Q有且仅有一个正确时,即P真Q假或P假Q真,所以 ‎18.解:(1),令,则 当 当,因为,,‎ 所以函数的最小值为,最大值为0‎ ‎(2)由知:,显然是其一个根,所以方程有两个不相等的实数根等价于方程有且仅有一个根且不为0,令 ‎,易知 并且当当所以若方程有且仅有一个根且不为0,则 ‎19.解:(1)在直角梯形中,由,得,,‎ 由,则,即,‎ 又平面平面,从而平面.‎ ‎(2)以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图所示,由题意可知各点坐标如下:‎ ‎ ‎ ‎,‎ 设平面的法向量为,平面的法向量为,‎ 可算得,,‎ 由得,,可取,‎ 由得,,可取,‎ 于是,由题意可知,‎ 所求二面角是锐角,故二面角的大小是.‎ ‎20.解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A 则 ‎(2)依题意的分布列为:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ ‎(3)‎ ‎ ‎ ‎,应生产甲品牌轿车.‎ ‎21.解:(1)由题意知,由,解得,‎ 所以椭圆的方程为;‎ ‎(2)设,由题设知,直线的方程为,‎ 联立方程组化简得,‎ 则,并且 因为直线与的斜率之和 化简得=‎ ‎22.解:(1)由题意知:即,解得 ‎(2)令,则,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 于是,即,故 ‎(3)由(1)知,令 因为,当时,,所以在上单调递增,于是,即 故当时,,即.‎ 由(2)知:.‎ 综上知:当时,‎
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