苏科版中考数学专题复习解析双曲线与几何图形问题

苏科版中考数学专题复习解析双曲线与几何图形问题

解析双曲线与几何图形综合问题 ‎ 将双曲线与几何图形融合在一起，编拟一些数学试题，可以综合考查同学们分析问题和解决问题的能力.下面结合具体题目加以说明.‎ ‎ 一、双曲线与直角三角形相结合 ‎ 例1 (2019·咸宁)在平面直角坐标系中，将一块含有45°角的直角三角板如图1所示放置，直角顶点的坐标为(1,0)，顶点的坐标为(0,2)，顶点恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿轴的正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点的对应点的坐标为(　　)‎ ‎ A. B.(2,0) C. D.(3,0)‎ ‎ 分析:过点作轴于点，易证，从而可求出点的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与点的坐标即可得到平移的单位长度，从而求出点的对应点.‎ ‎ 解:过点作轴于点.‎ ‎ 在与中，‎ ‎　　.[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎　　设反比例函数的解析式为.‎ ‎　　将代入.‎ ‎　　把代入.[来源:学&科&网]‎ ‎　　当顶点恰好落在该双曲线上时，此时点移动了个单位长度.‎ ‎　　 点也平移了个单位长度，此时点的对应点的坐标为.故选C.‎ ‎ 二、双曲线与等边三角形相结合 ‎ 例2 (2019·荆门)如图2，在平面直角坐标系中，等边的边长为6，点在边上，点在边上，且，反比例函数的图像恰好经过点和点，则的值为(　　)‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 分析:过点作轴于点，过点作轴于点.设，则.根据等边三角形的性质和含30°角的直角三角形，可找出点的坐标，再利用反比例函数图象上的点的坐标特征即可求出的值，从而此题得解.‎ ‎ 解:过点作轴于点，过点作轴于点.‎ ‎ 设，则.‎ ‎ 为边长为6的等边三角形，‎ ‎ 在中，,‎ ‎ 同理，可得点的坐标为.‎ ‎ 反比例函数的图象恰好经过点，‎ ‎ 故选A.‎ ‎ 三、双曲线与平行四边形相结合 ‎ 例3 (2019·盘锦)如图3，双曲线经过平行四边形的对角线的交点，已知边在轴上，且于点，则平行四边形的面积是( )‎ ‎ A. B. C. 3 D. 6‎ ‎ 分析:根据平行四边形的性质并结合反比例函数系数的几何意义，即可得出，代入值即可得出结论.‎ ‎ 解: 点为平行四边形对角线的交点，双曲线经过点轴.‎ ‎ 故选C.[来源:1ZXXK]‎ ‎ 四、双曲线与矩形相结合 ‎ 例4 (2019·福建)已知矩形的四个顶点均在反比例函数的图象上，且点的横坐标是2，则矩形的面积为 .‎ ‎ 分析:先根据点在反比例函数的图象上，且点的横坐标是2，可得.从而可得，运用两点间的距离公式求得和的长，从而得到矩形的面积.‎ ‎ 解:如图4所示，根据点在反比例函数的图象上，且的横坐标是2，可得.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎　 根据矩形和双曲线的对称性，可得.‎ ‎　　由两点间的距离公式，可得 ‎ 矩形的面积为.‎ ‎ 故填.‎ ‎ 五、双曲线与菱形相结合 ‎ 例5 (2019·枣庄)如图5, 是坐标原点，菱形的顶点的坐标为(－3,4)，顶点在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点，则的值为(　　)‎ ‎ A.　－12 　　　　 B. －‎27 ‎　　　　　　 C. －32 　　　　　 D. －36‎ ‎ 分析:根据点的坐标以及菱形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法求出的值即可.‎ ‎ 解: ,‎ ‎　　四边形是菱形，‎ ‎　　点的横坐标为－3－5=－8.‎ ‎　　点的坐标为(－8,4 ).‎ ‎　　将点的坐标代入，得.‎ ‎　　解得.故选C.‎ ‎　　六、双曲线与正方形相结合 ‎　　例6 (2019·威海)如图6，正方形的边长为5，的坐标为(－4,0)，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为( )‎ ‎ A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　 D. ‎ ‎ 分析:过点作于，根据正方形的性质，可得.再根据同角的余角相等得出，证得和全等，根据全等三角形的对应边相等可得，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数表达式计算即可求出的值.‎ ‎ 解:过点作于.‎ ‎ 在正方形中，,‎ ‎ 点的坐标为(－-4,0),‎ ‎ 在和中，,[来源:1]‎ ‎　　点的坐标为(3,1 ).‎ ‎　　反比例函数的图象过点.‎ ‎　　反比例函数的表达式为.故选A.‎