2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系7 点到面的距离和线面角习题 苏教版必修2

2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系7 点到面的距离和线面角习题 苏教版必修2

点到面的距离和线面角 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎**1. 若正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A‎1C1到底面ABCD的距离为________。‎ ‎**2. 如图，在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC‎1A1所成的角是________。‎ ‎**3. △ABC的三条边长分别是5、12、13，△ABC所在平面外一点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC的距离为________。‎ ‎*4. 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，‎ ‎（1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________；‎ ‎（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；‎ ‎（3）直线A1B与平面AB‎1C1D所成的角是________。‎ ‎**5. 如图，在底面为菱形的四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝a，PB＝PD＝a，AC＝a，则直线PC与底面ABCD所成角的大小为________。‎ ‎*6. 正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，A‎1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为________。‎ ‎**7. 如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面所成的角为45°。‎ 6‎ ‎（1）求证：BC⊥平面PAC；‎ ‎（2）求点A到平面PBC的距离。‎ ‎**8. 如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DF垂直平分SC于点F且交AC于点D，若SA＝AB，SB＝BC，求BF与平面SAC所成的角的余弦值。‎ ‎***9. 已知P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，Q为AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2。‎ 求：（1）点Q到直线BD的距离；‎ ‎（2）点P到平面BQD的距离。‎ 6‎ ‎1. ‎ 解析：依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B‎1C1D1∥平面ABCD，A‎1C1⊂平面A1B‎1C1D1，∴B1B即为A‎1C1到底面ABCD的距离，B1B＝。‎ ‎2. 30° 解析：作BD⊥AC于点D，连接C1D，‎ 则BD⊥平面ACC‎1A1，‎ ‎∴∠BC1D为所求，sin∠BC1D＝＝＝，‎ ‎∴∠BC1D＝30°。‎ ‎3. ‎ 解析：如图，由P到三个顶点距离相等，可知，P在△ABC中的射影为△ABC的外心，又△ABC为直角三角形，∴P到平面ABC的距离为h＝PD＝＝。‎ ‎4.（1）45°　（2）30°　（3）90°‎ 解析：‎ ‎（1）由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°；‎ ‎（2）连接A1D、AD1，交点为O，‎ 则易证A1D⊥面ABC1D1，所以A1B在面ABC1D1内的射影为OB，‎ ‎∴A1B与面ABC1D1所成的角为∠A1BO，‎ ‎∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°；‎ ‎（3）∵A1B⊥AB1，A1B⊥B‎1C1，AB1∩B‎1C1＝B1，‎ ‎∴A1B⊥面AB‎1C1D，‎ 即A1B与面AB‎1C1D所成的角为90°。‎ ‎5. 45° 解析：∵PA＝AB＝a，PB＝a，‎ 6‎ 即PA2＋AB2＝PB2，‎ ‎∴PA⊥AB，同理可证PA⊥AD，‎ 又AD∩AB＝A，‎ ‎∴PA⊥平面ABCD，则∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，‎ ‎∵AC＝a，∴∠PCA＝45°。‎ ‎6. 解析：作A1E⊥AD1于点E，则A1E⊥平面ABC1D1，且点E为AD1的中点，sin∠A‎1C1E＝＝。‎ ‎7. （1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，‎ ‎∵AB是圆O的直径，C为圆上一点，∴BC⊥AC，‎ 又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC；‎ ‎（2）解：如图，过点A作AD⊥PC于点D，‎ ‎∵BC⊥平面PAC，AD⊂平面PAC，‎ ‎∴BC⊥AD，又PC∩BC＝C，‎ ‎∴AD⊥平面PBC，‎ ‎∴AD即为点A到平面PBC的距离，‎ ‎∴依题意知∠PBA为PB与平面ABC所成角，‎ 即∠PBA＝45°，∴PA＝AB＝2，AC＝1，‎ 可得PC＝.∵AD·PC＝PA·AC，‎ ‎∴AD＝＝，‎ 即点A到平面PBC的距离为。‎ ‎8. 解：∵SB＝BC，F为SC的中点，‎ ‎∴SC⊥BF 又∵SC⊥DF，且DF∩BF＝F，‎ ‎∴SC⊥平面BDF，‎ ‎∴SC⊥BD.‎ 又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD.‎ 又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面ASC，‎ ‎∴∠BFD就是BF与平面SAC所成的角，‎ 在Rt△SAB中，不妨设AS＝AB＝a，则SB＝a，‎ ‎∵SA⊥平面ABC，‎ ‎∴SA⊥BC，‎ 又∵AB⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，‎ 在Rt△SBC中，‎ 6‎ 又∵SB＝BC＝a，则SC＝‎2a，‎ ‎∴BF＝SC＝a，‎ 在Rt△ABC中，AB＝a，BC＝a，∴AC＝a，‎ 由AC×BD＝AB×BC，‎ ‎∴BD＝a，‎ 在Rt△BFD中，sin∠BFD＝＝＝，‎ ‎∴cos∠BFD＝＝，‎ 即BF与平面SAC所成角的余弦值为。‎ ‎9. 解：如图，过点A作AH⊥BD于点H，连接QH，‎ ‎（1）∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴QA⊥BD ‎∵QA⊥BD，BD⊥AH，QA∩AH＝A，‎ ‎∴BD⊥平面AHQ，‎ ‎∴BD⊥QH，∴QH即为Q点到直线BD的距离，‎ 在Rt△BAD中，BA＝3，AD＝4，∴BD＝5，∴AH＝，‎ 在Rt△QAH中，‎ QH＝＝＝，‎ ‎∴点Q到直线BD的距离为；‎ ‎（2）如图，连接DQ、BQ，‎ ‎∵PA和平面BQD相交于Q点，且Q是PA的中点，‎ ‎∴点P到平面BQD的距离即为点A到平面BQD的距离，‎ 在平面AQH内过点A作AE⊥QH，交QH于点E，‎ 由（1）BD⊥平面AHQ，AE⊂平面AHQ，‎ 6‎ ‎∴AE⊥BD，又QH∩BD＝H，‎ ‎∴AE⊥平面BDQ，‎ 则AE即为点A到平面BQD的距离，‎ 在Rt△QAH中，AE＝＝＝，‎ 即点P到平面BQD的距离为。‎ 6‎