2020年高中数学第二章参数方程一第三课时参数方程和普通方程的互化优化练习新人教A版选修4

2020年高中数学第二章参数方程一第三课时参数方程和普通方程的互化优化练习新人教A版选修4

一 第三课时 参数方程和普通方程的互化 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．参数方程为(0≤t≤5)的曲线为(　　)‎ A．线段　　　　　　　　 B．双曲线的一支 C．圆弧 D．射线 解析：化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，‎ 即x－3y－5＝0，‎ 由于x＝3t2＋2∈[2,77]，‎ 故曲线为线段．故选A.‎ 答案：A ‎2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是(　　)‎ A．直线　　 B．圆　　　‎ C．线段　　 D．射线 解析：x＝cos2θ∈[0,1]， y＝sin2θ∈[0,1]，∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．‎ 答案：C ‎3．直线y＝2x＋1的参数方程是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由y＝2x＋1知x，y可取全体实数，故排除A、D，在B、C中消去参数t，知C正确．‎ 答案：C ‎4．下列各组方程中，表示同一曲线的是(　　)‎ A.与xy＝1‎ B.(θ为参数)与(θ为参数)‎ C.(θ为参数且a≠0)与y＝x D.(a＞0，b＞0，θ为参数且0≤θ＜π)与＋＝1‎ 解析：A中前者x＞0，y＞0，后者x，y∈R，xy≠0；C中前者x∈[－|a|，|a|]，y∈[－|b|，|b|]，后者无此要求；D中若0≤θ＜2π，则二者相同．‎ 答案：B ‎5．参数方程(t为参数且t∈R)代表的曲线是(　　)‎ A．直线 B．射线 5‎ C．椭圆 D．双曲线 解析：∵x＝2t＋21－t＝2－t(22t＋2)，y＝2t－1＋2－t＝2－t(22t－1＋1)＝×2－t(22t＋2)，∴y＝x，且 x≥2，y≥，故方程表示的是一条射线．‎ 答案：B ‎6．方程(t是参数)的普通方程是________，与x轴交点的直角坐标是________．‎ 解析：由y＝t2－1，得t2＝y＋1，‎ 代入x＝3t2＋2，可得x－3y－5＝0，‎ 又x＝3t2＋2，所以x≥2，‎ 当y＝0时，t2＝1，x＝3t2＋2＝5，‎ 所以与x轴交点的坐标是(5,0)．‎ 答案：x－3y－5＝0(x≥2)　(5,0)‎ ‎7．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．‎ 解析：把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0，‎ 得x＝，y＝，‎ 所以参数方程为(t为参数)．‎ 答案：(t为参数)‎ ‎8．将参数方程(θ为参数)，转化为普通方程是________________，该曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值为________．‎ 解析：易得直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A的距离减去半径，易求得为－1.‎ 答案：(x－1)2＋y2＝1　－1‎ ‎9．化普通方程x2＋y2－2x＝0为参数方程．‎ 解析：曲线过(0,0)点，可选择(0,0)为定点，可设过这个定点的直线为y＝kx，选择直线的斜率k为参数，不同的k值，对应着不同的点(异于原点)，‎ 所以 故(1＋k2)x2－2x＝0，得x＝0或x＝.‎ 将x＝代入y＝kx中，得y＝.‎ 所以(k为参数)是原曲线的参数方程．‎ ‎10．参数方程(θ为参数)表示什么曲线？‎ 5‎ 解析：显然＝tan θ，则＋1＝，cos2θ＝，‎ x＝cos2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos2θ＝×＋cos2θ，即x＝×＋，‎ x＝＋1，得x＋＝，即x2＋y2－x－y＝0.该参数方程表示圆．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．参数方程(t为参数)表示的图形为(　　)‎ A．直线 B．圆 C．线段(但不包括右端点) D．椭圆 解析：从x＝中解得t2＝，代入y＝中，整理得到2x＋y－5＝0.但由t2＝≥0解得0≤x<3.所以化为普通方程为2x＋y－5＝0(0≤x<3)，表示一条线段，但不包括右端点．‎ 答案：C ‎2．参数方程(t为参数)表示的曲线(　　)‎ A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：方程⇒‎ ⇒ 它表示以点和点为端点的线段，故关于x轴对称．‎ 答案：A ‎3．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．‎ 解析：将两曲线的参数方程化为一般方程分别为＋y2＝1(0≤y≤1，－＜x≤ )和y2＝x，联立解得交点坐标为.‎ 答案： 5‎ ‎4．若直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k＝________.‎ 解析：直线l1化为普通方程是y－2＝－(x－1)，该直线的斜率为－.‎ 直线l2化为普通方程是y＝－2x＋1，该直线的斜率为－2，‎ 则由两直线垂直的充要条件，得·(－2)＝－1，即k＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎5．已知方程y2－6ysin θ－2x－9cos2 θ＋8cos θ＋9＝0(0≤θ＜2π)．‎ ‎(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；‎ ‎(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．‎ 解析：(1)证明：方程y2－6ysin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y－3sin θ)2＝2(x－4cos θ)，‎ ‎∴图象为抛物线．‎ 设其顶点为(x，y)，则有 消去θ，得顶点轨迹是椭圆＋＝1.‎ ‎∴不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆＋＝1上的抛物线．‎ ‎(2)联立 消去x，得y2－6ysin θ＋9sin2θ＋8cos θ－28＝0，‎ 弦长|AB|＝|y1－y2|＝4 ，‎ 当cos θ＝－1即θ＝π时，弦长最长为12.‎ ‎6.水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法减弱水流的冲击作用，以保护水坝的坝基．如图是运用鼻坝进行挑流的示意图．已知水库的水位与鼻坝的落差为‎9 m，鼻坝的鼻坎角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低‎18 m．求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离．‎ 解析：建立如图所示的直角坐标系．‎ 设轨迹上任意一点为P(x，y)．‎ 由机械能守恒定律，得mv2＝mgh.‎ 鼻坝出口处的水流速度为v＝＝.‎ 取时间t为参数，则有x＝vtcos 30°＝t，‎ y＝vtsin 30°－gt2＝t－gt2，‎ 5‎ 所以，挑出水流的轨迹的参数方程为 (t为参数)，‎ 消去参数t，得y＝－x2＋x.‎ 取y＝－18，得－x2＋x＝－18，‎ 解得x＝＝18或x＝＝－9(舍去)．‎ 挑出的水流与坝基的水平距离为 x＝18≈31.2(m)．‎ 挑出水流的轨迹方程为 y＝－x2＋x，x∈[0,18 ]．‎ 5‎