山东省滕州市第一中学2019-2020学年高一5月摸底考试数学试题

山东省滕州市第一中学2019-2020学年高一5月摸底考试数学试题

高一摸底考试数学试题 一、单选题 ‎1.分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行（ ）‎ A. 每层等可能抽样 B. 每层可以不等可能抽样 C. 所有层按同一抽样比等可能抽样 D. 所有层抽取的个体数量相同 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分层抽样需保证每个个体等可能入样，据此得到答案.‎ ‎【详解】保证每个个体等可能入样是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生对于分层抽样的理解.‎ ‎2.是虚数单位，复数满足，则 A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，解得，所以，故选C.‎ 考点：1、复数的运算；2、复数的模.‎ ‎3.设，向量，，，且，，则＝（ ）‎ A. B. C. D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，即，∵，∴，即，‎ ‎∴，∴，∴．‎ 考点：向量的垂直、平行的充要条件，向量的模．‎ ‎4.如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出的实物图，即可计算出的面积.‎ ‎【详解】由斜二测画法可知，的实物图如下图所示：‎ 可知，，且，因此，的面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查由直观图计算原图形的面积，一般将图形还原，或者利用直观图和原图形面积之间的倍数关系来进行计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.某学校位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率．‎ ‎【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，，‎ 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．‎ ‎6.在中，角，，所对的边分别为，，，，则的形状一定是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由降幂公式及正弦定理化简可得，根据两角和的正弦公式化简可得.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 化简得.‎ ‎，‎ ‎，‎ 即.‎ ‎，‎ ‎，即，‎ ‎∴是直角三角形，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变化，考查了变形化简能力，属于中档题.‎ ‎7.在中，向量与满足，且，则为（ ）‎ A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到的平分线垂直于，推出，再由向量夹角公式，得到，进而可得出结果.‎ ‎【详解】因为非零向量与满足，‎ 所以的平分线垂直于，所以.‎ 又，‎ 所以，‎ 所以等腰直角三角形.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角形形状的判定，熟记平面向量的数量积运算即可，属于常考题型.‎ ‎8.如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，‎ 是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别取棱、的中点、，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．‎ ‎【详解】如下图所示，分别取棱，的中点、，连，，‎ ‎，，，分别为所在棱的中点，则，，‎ ‎，又平面，平面，‎ 平面.‎ ‎，，‎ 四边形为平行四边形，‎ ‎，‎ 又平面，平面，‎ 平面，‎ 又，‎ 平面平面.‎ 是侧面内一点，且平面，‎ 点必在线段上.‎ 在中，.‎ 同理，在中，可得，‎ 为等腰三角形.‎ 当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长.‎ ‎，.‎ 线段长度的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置．‎ 二、多选题 ‎9.已知，，，满足，则实数k的值可能为（ ）‎ A. B. C. 58 D. ‎ ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的线性表示，结合向量模的计算，可得结果.‎ ‎【详解】由题可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：AB.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，属基础题.‎ ‎10.已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间直线与平面，平面与平面的关系对四个选项分别进行判断，得到答案.‎ ‎【详解】选项A，若，，则或，相交，故A错误；‎ 选项B，若，，，，‎ 当相交时，可得，当平行时，和可能相交，‎ 故B错误；‎ 选项C，若，，则，故C正确；‎ 选项D，若，，则或，故D错误.‎ 故选：ABD.‎ ‎【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题.‎ ‎11.某校高三年级共有名学生参加了数学测验（满分分），已知这名学生数学成绩均不低于分，将这名学生的数学成绩分组如下：，，，‎ ‎，，，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是 （ ）‎ A. ‎ B. 这名学生中数学成绩在分以下的人数为 C. 这名学生数学成绩的中位数约为 D. 这名学生数学成绩的平均数为 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【详解】由频率分布直方图可知，解得，故A不正确；这名学生中数学成绩在分以下的人数为，故B正确；设这名学生数学成绩的中位数为，则，解得，故C正确；对于D，这名学生数学成绩的平均数为，故D不正确．综上，正确答案为BC．‎ ‎12.的内角所对的边分别为，已知，有以下结论：其中正确结论有（ ）‎ A. 当时，成等差数列 B. ‎ C. 当，时，的面积为；‎ D. 当时，为钝角三角形 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于A，利用正弦定理和等差中项分析判断得解；对于B,利用正弦定理和三角形性质分析判断得解；对于C,求三角形的面积即可判断；对于D,利用余弦定理分析判断得解.‎ ‎【详解】对于A，所以可设，，，，所以所以，所以不成等差数列，所以A不正确；‎ 对于B,根据题意，若，则，‎ 故可设，，，．则有，则，变形可得，所以B正确；‎ 对于C，当，时，则，，则有，所以BC边上的高为此时的面积为，所以C不正确；‎ 对于D，当时，此时，则有，‎ 故为钝角三角形．所以D正确.‎ 故答案为：BD．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、填空题 ‎13.设，则方程的解为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设（为虚数单位），代入方程，得到，根据复数相等，列出方程组求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】设（为虚数单位），‎ 则可化为，即，‎ 则，解得：，因此.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查求方程的解，熟记复数的运算法则，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.‎ ‎14.设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的面积公式进行求解即可.‎ ‎【详解】由得 ‎，‎ 即，‎ 化简得，‎ ‎∵为三角形的内角，∴，∴，，故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎15.如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可以求出、、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求出.在中，利用锐角三角函数，求出.‎ ‎【详解】由题意可知：，，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，‎ 在中，.‎ ‎【点睛】本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力.‎ ‎16.已知平面向量，，，，且，若为平面单位向量，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过已知条件求出向量平面向量，的夹角，设出向量，化简斜率的数量积，然后利用两角和与差的三角函数转化求解即可．‎ ‎【详解】解：由，，且，得，，设，，，，‎ 因为，所以，‎ 的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的应用，三角函数的性质的应用，属于中档题．‎ 四、解答题 ‎17.设是虚数,是实数,且.‎ ‎（1）求的值及的实部的取值范围;‎ ‎（2）设,求证为纯虚数.‎ ‎【答案】（1）;（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出复数写出的表示式,进行复数的运算,把整理成最简形式根据所给的的范围,得到的虚部为0,实部属于这个范围,得到的实部的范围.‎ ‎（2）根据设出的,整理的代数形式,进行复数的除法的运算,整理成最简形式根据上一问做出的复数的模长是1,得到是一个纯虚数 ‎【详解】解：（1）由是虚数,设 则 ‎,‎ 且,‎ 即 此时,,.‎ 即的实部的取值范围为.‎ ‎（2）设 ‎,‎ 又,‎ 故是纯虚数.‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念,复数代数形式的运算法则,是基础题.‎ ‎18.已知，与的夹角为45°.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量模的计算公式，结合题中条件，直接计算，即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意，得到，且与不能同向共线，分别求出的范围，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）∵，与的夹角为45°,‎ ‎∴;‎ ‎（2）∵与的夹角是锐角,‎ ‎∴，且与不能同向共线,‎ 由得，即，‎ 解得：；‎ 若与同向共线，则存在实数，使得，‎ 所以，解得：；‎ 又与不能同向共线，所以，‎ 因此，或.‎ ‎【点睛】本题主要考查求平面向量的模，以及由向量的夹角求参数的问题，熟记向量数量积的运算，以及向量共线定理即可，属于常考题型.‎ ‎19.如图，四棱锥中，平面，，，，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得：，即可证得：平面，再证明四边形为平行四边形即可证得，即可证得：平面，命题得证.‎ ‎（2）利用等体积法得：，整理计算得解.‎ ‎【详解】（1）证明：因为分别为的中点，所以，‎ 因为平面，平面，所以平面 因为，所以，‎ 所以四边形为平行四边形，所以 因为平面，平面，所以平面 因为，，平面，所以平面平面 ‎（2）解：因为，，为中点，‎ 所以，‎ 因为平面，所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 设点到平面的距离为，因为，‎ 所以，所以到平面的距离.‎ ‎【点睛】本题主要考查了面面平行的判定定理及转化能力，还考查了利用等体积法求点面距离，考查了空间思维能力及计算能力，属于中档题.‎ ‎20.某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，‎ 求：分数在的学生人数；‎ 这50名学生成绩的中位数精确到；‎ 若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．‎ ‎【答案】（1）3人； （2）76.7； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由所有的矩形面积和为1可得：分数在[50，60）的频率为0.06，即可求出；‎ ‎（2）由0.040+0.06+0.2＝0.3，故中位数落在第四组，则中位数为7010；‎ ‎（3）分数在[40，50）的有2人，记为a，b，在[50，60）共有3人，记为c，d，e，由此利用列举法能求出从分数[40，60）的5名学生任选2人，两人来自不同组的概率．‎ ‎【详解】由所有的矩形面积和为1可得：分数在的频率为，故分数在的人数是人，‎ 由，‎ 故中位数落在第四组，‎ 则中位数为 分数在的有2人，记为a，b，在共有3人，记为c，d，e，‎ 从分数在的5名学生任选2人的方法有：ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共10种，‎ 两人来自不同组的有ac、ad、ae、bc、bd、be共6种，‎ 两人来自不同组的概率 ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎21.已知在中，角的对边分别为,且. ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据求出角的值，根据第（1）问得到的 值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件. ‎ 试题解析：（1）由，‎ 应用余弦定理，可得 ‎ ‎ 化简得则 ‎ ‎（2） ‎ 即 ‎ ‎ 所以 ‎ 法一. ,‎ 则 ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ 又 ‎ 法二 因为 由余弦定理 得，‎ 又因为，当且仅当时“”成立.‎ 所以 ‎ 又由三边关系定理可知 综上 ‎22.如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．‎ ‎（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；‎ ‎（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；‎ ‎（3）问在棱上是否存在一点，使⊥侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）点为的四等分点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，设面，连，则为二面角的平面角，‎ 利用解直角三角形可求其正切值．‎ ‎（2）连，则为异面直线与所成的角，根据勾股定理求得，进而求得后可求的值．‎ ‎（3）可证点为的四等分点．‎ ‎【详解】（1）取中点，设面，连，‎ 则为二面角的平面角，‎ 为侧棱与底面所成的角，，‎ 设，，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）连，为异面直线与所成的角．‎ 因，，所以平面.‎ 平面，所以.‎ ‎∵,‎ ‎∴。‎ ‎（3）延长交于，取中点，连、．‎ 因为，，，‎ 故平面，因平面，‎ 故平面平面，‎ 又，故为等边三角形，‎ 所以，由平面，故 因为，所以平面.‎ 取的中点，∵，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，所以 ‎ ‎∴平面．即为四等分点 ‎【点睛】本题考查考查空间中的垂直关系以及空间角的计算，解题时注意三种垂直关系的转化，空间角的计算需构造空间角，把空间角放置在可解的三角形中来讨论，本题为难题.‎