【数学】江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期中考试试卷（解析版）

【数学】江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期中考试试卷（解析版）

江苏省南通市如东县2019-2020学年 高一下学期期中考试试卷 一、单选题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】∵直线的斜率为，‎ ‎∴直线的倾斜角满足，‎ ‎∴‎ 故选：B.‎ ‎2.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（ ）‎ A.100 B.150 C.200 D.250‎ ‎【解析】分层抽样的抽取比例为，‎ 总体个数为，‎ ‎∴样本容量.‎ 故选：A.‎ ‎3.在中，若，，，则（ ）‎ A. B. C. D.或 ‎【解析】∵，∴，∴或，‎ ‎∵，∴，∴.‎ 故选：A.‎ ‎4.对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的为一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为（ ）‎ A.30 B.40 C.50 D.60‎ ‎【解析】样本为三等品的件数为；‎ 故选：C.‎ ‎5.已知直线与直线垂直，则实数的值是（ ）‎ A.0 B. C.0或 D.或 ‎【解析】因为直线与直线垂直，‎ 则，解得：或.‎ 故选：C.‎ ‎6.给出下列四个说法，其中正确的是（ ）‎ A.线段在平面内，则直线不在平面内 B.三条平行直线共面 C.两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点 D.空间三点确定一个平面 ‎【解析】对于A，线段在平面内，则直线一定在平面内，故A错误；‎ 对于B，三条平行直线不一定共面，‎ 比如正方体中，三条平行线，，不共面，故B错误；‎ 对于C，两平面有一个公共点，‎ 则这两相平面相交于过这个公共点的一条直线，一定有无数个公共点，故C正确；‎ 对于D，空间中不共面的三点确定一个平面，故D错误.‎ 故选：C.‎ ‎7.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）‎ A.1 B. C.或1 D.2或1‎ ‎【解析】，即时，直线化为，‎ 它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；‎ ‎，即时，直线化为，‎ 它在两坐标轴上的截距为，解得；‎ 综上所述，实数或.‎ 故选：D.‎ ‎8.两圆：与：的公切线条数为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】圆：的圆心为，半径为，‎ 圆：的圆心为，半径为；‎ 且，，所以，所以两圆外切，公切线有3条.‎ 故选：C.‎ ‎9.‎ 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，，且，则的欧拉线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】线段的中点为，，‎ ‎∴线段的垂直平分线为：，即，‎ ‎∵，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于的垂直平分线上，‎ 因此的欧拉线方程为，‎ 故选：D.‎ ‎10. 如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】如图所示建立空间直角坐标系，‎ 不妨设.‎ 则，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ 故选：D.‎ 二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎11.已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）‎ A.‎ B.‎ C.若，则 D.若，则是等腰三角形 ‎【解析】因为三角形中，，‎ 所以，所以A正确；‎ ‎），所以B不正确；‎ 在中，若，则，即有，故，所以C正确；‎ ‎，可得或，‎ 所以或，三角形为等腰三角形或直角三角形，所以D不正确；‎ 故选：AC.‎ ‎12.正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是（ ）‎ A.平面 B.平面 C.异面直线与所成角为 D.平面截正方体所得截面为等腰梯形 ‎【解析】在正方体中，，分别为棱和棱的中点，‎ 如图所示：‎ ‎①对于选项A：，分别为棱和棱的中点，‎ 所以，由于平面，不在平面内，所以平面，故选项A正确.‎ ‎②对于选项B：由于平面，平面和平面为相交平面，所以不可能垂直平面，故错误.‎ ‎③对于选项C：，为等边三角形，所以，即异面直线与所成的角为.故错误.‎ ‎④对于选项D：连接，，，由于，，所以：平面截正方体所得截面为等腰梯形，故正确.‎ 故选：AD.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.‎ ‎13.一组数据：6，8，9，13的方差为.‎ ‎【解析】一组数据：6，8，9，13的平均数为：‎ ‎，‎ ‎∴这组数据的方差为：‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎14.已知两点，，以线段为直径的圆的方程为.‎ ‎【解析】根据题意，设的中点为，‎ 则以线段为直径的圆的圆心为，半径，‎ 又由，，则，，‎ 则，则要求圆的标准方程为：；‎ 故答案为：.‎ ‎15.如图，从高的电视塔塔顶测得地面上某两点，的俯角分别为和，，则，两点间的距离为.（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）‎ ‎【解析】从高的电视塔顶测得地面上某两点，的俯角分别为和，‎ ‎∴，，‎ 中，，‎ ‎∴由余弦定理得：‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎16.平面四边形的对角线，的交点位于四边形的内部，已知，，，，当变化时，则的最大值为.‎ ‎【解析】如图，设，在中，因为，，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 所以在中，‎ ‎.‎ 易知，当时，最大值为，故的最大值为.‎ 故答案为：.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.中，角，，所对的边分别为，，，若，，，且为锐角.求：‎ ‎（1）的值；‎ ‎（2）的面积.‎ ‎【解】（1）在中，由正弦定理有：，解得；‎ ‎（2）因为，且为锐角，所以，‎ 在中，由余弦定理有：，解得；‎ 所以的面积为.‎ ‎18.如图在长方体中，，分别为，的中点，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【解】（1）证明：连接，在中，‎ 由，分别为，的中点，可得：，‎ 在长方体中，，，‎ 因此四边形为平行四边形，所以 所以，平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）在长方体中，连平面，‎ 所以在平面中的射影为，‎ 所以为直线与平面所成角 由题意知：‎ 在中，，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19.已知直线l：，圆C：.‎ ‎（1）求证：直线过定点，并求出点的坐标；‎ ‎（2）若直线与圆交于，两点，当弦长最短时，求此时直线的方程.‎ ‎【解】（1）证明：直线l：可化为：，‎ 可得 所以直线过定点.‎ ‎（2）由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，‎ 因为直线的斜率为，所以直线的斜率为1，‎ 此时直线的方程为.‎ ‎20.如图，四棱锥中，点，分别是侧棱，上的点，且底面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若底面，，，求证：.‎ ‎【解】（1）因为平面，平面，平面平面，‎ 所以由线面平行的性质定理，可得.‎ ‎（2）在三角形中，因为，且，‎ 由正弦定理可得，解得.‎ 得，即；‎ 又平面，平面，故可得，‎ 又，平面，且，可得平面，‎ 又因为平面，则；‎ 又因为，得，即证.‎ ‎21.根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外），在公海上的安全距离为（即距离不得小于），否则违反了国际海洋安全规定.如图，在某公海区域有两条相交成的直航线，，交点是，现有两国的军舰甲，乙分别在，上的，处，起初，，后来军舰甲沿的方向，乙军舰沿的方向，同时以的速度航行.‎ ‎（1）起初两军舰的距离为多少？‎ ‎（2）试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由.‎ ‎【解】（1）连结，在中，‎ 由余弦定理得 所以：起初两军舰的距离为.‎ ‎（2）设小时后，甲、乙两军舰分别运动到，，连结 当时，‎ ‎；‎ 当时，同理可求得；‎ 所以经过小时后，甲、乙两军舰距离 因为；‎ 因为，所以当时，甲、乙两军舰距离最小为.‎ 又，所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定.‎ ‎22.已知圆O：和点.‎ ‎（1）过点向圆引切线，求切线的方程；‎ ‎（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程；‎ ‎（3）设为（2）中圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解】（1）若过点的直线斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；‎ 当切线的斜率存在时，设直线方程为，‎ 即，‎ ‎∴圆心到切线的距离为，解得，‎ ‎∴直线方程为 综上切线的方程为或.‎ ‎（2）点到直线的距离为，‎ ‎∵圆被直线截得的弦长为8，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的方程为.‎ ‎（3）假设存在定点，使得为定值，设，，，‎ ‎∵点在圆上，‎ ‎∴，则，‎ ‎∵为圆的切线，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 整理得，‎ 若使（*）对任意，恒成立，则，‎ ‎∴，代入得，‎ 化简整理得，‎ 解得或，∴或，‎ ‎∴存在定点，此时为定值或定点，此时为定值.‎