2020_2021学年新教材高中数学第8章函数应用8

2020_2021学年新教材高中数学第8章函数应用8

‎8.1.2　‎用二分法求方程的近似解 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．通过实例理解二分法的概念．(难点)‎ ‎2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．‎ ‎3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)‎ 通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理的数学核心素养．‎ 通过上一节的学习，利用函数的零点存在性定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的近似值(精确到0．1)．‎ ‎1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f(x)＝0的近似解的方法叫做二分法．‎ ‎2．用二分法求一元方程f(x)＝0近似解的步骤 ‎(1)确定区间：一元方程f(x)＝0的根所在的区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0．‎ ‎(2)求区间(a，b)的中点：x1＝．‎ ‎(3)计算f(x1)．‎ ‎①若f(x1)＝0，x1就是一元方程f(x)＝0的近似解；‎ ‎②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)；‎ ‎③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b)．‎ ‎(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到一元方程f(x)＝0近似解，否则重复步骤(2)～(4)．‎ ‎3．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．‎ - 6 -‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)‎ ‎(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　)‎ ‎(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． (　　)‎ ‎(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到． (　　)‎ ‎[提示]　四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f(1)＝0．(2)中， f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)‎ A．(0,1)　　　　 B．(1,2)‎ C．(2,4) D．(4，＋∞)‎ C　[由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．]‎ ‎3．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f(2)·f(3)＜0，取区间[2,3]的中点x1＝＝2．5，计算得f(2．5)·f(3)＞0，此时零点x0所在的区间是________．‎ ‎(2,2．5)　[由于 所以f(2)·f(2．5)＜0，所以 x0∈(2,2．5)．]‎ ‎“二分法”求方程的近似解 ‎【例1】　证明：方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0．1)‎ ‎[思路点拨]　→‎ → - 6 -‎ ‎→ ‎[解]　分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示：‎ 在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．‎ 由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，‎ 方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，‎ 并且这个解在区间(1,2)上．‎ 设f(x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得：‎ f(1)<0，f(2)>0⇒x1∈(1,2)，‎ f(1)<0，f(1．5)>0⇒x1∈(1,1.5)，‎ f(1)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1,1.25)，‎ f(1.125)<0，f(1．25)>0⇒x1∈(1.125,1.25)，‎ f(1.187 5)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.187 5,1.25)，‎ f(1.218 75)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.218 75，1.25)，‎ f(1．218 75)<0，f(1.234 375)>0⇒x1∈(1．218 75，1.234 375)．‎ 因为1.218 75与1.234 375精确到0．1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为1.2．‎ ‎1．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题．‎ ‎2．求方程f(x)＝g(x)的近似值注意的问题：①确定初始区间时，一般采用图象法，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；也可以利用函数的零点存在性定理判定；②运用二分法时，需构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)＝0的近似解．‎ ‎1．求的近似值．(精确到0.1)‎ - 6 -‎ ‎[解]　是x3＝2的根，因此可构造f(x)＝x3－2，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”．‎ 用二分法求其零点．‎ 由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0．故可取区间[1,2]为计算的初始区间．‎ 用二分法逐次计算，如下：‎ f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)，‎ f(1.25)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.25,1.5)，‎ f(1.25)<0，f(1.375)>0⇒x1∈(1.25,1.375)，‎ f(1.25)<0，f(1.312 5)>0⇒x1∈(1.25,1.312 5)，‎ 至此可见，区间[1.25,1.312 5]上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是精确到0.1的近似值．‎ 二分法求方程近似解的条件 ‎[探究问题]‎ ‎1．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？‎ ‎[提示]　理论依据是零点存在性定理．‎ ‎2．能用二分法求方程近似解的条件是什么？‎ ‎[提示]　条件共三点：‎ ‎(1)f(x)图象连续不断；(2)起始的两个端点处的函数值异号；(3)每次区间等分后，必须有端点函数值异号．‎ ‎【例2】　(1)下列函数没有零点的是________，在有零点的函数中，必须用二分法求零点的是________，一定不能用二分法求零点的是________．(填序号)‎ ‎①y＝x－7；②y＝－2；③y＝log4 x＋3；④y＝2x＋x；⑤y＝x2；⑥y＝－2x2；⑦y＝－2x－1．‎ ‎(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求零点的是________，能用二分法求零点的是________．(填序号)‎ ‎[思路点拨]　根据二分法的概念进行判断．‎ - 6 -‎ ‎(1)⑦　④　⑤⑥　(2)①⑤　②③④　[(1)⑦中y<0，故没有零点，①②③可通过解方程求零点，④必须用二分法，⑤⑥虽有零点，但零点左右两侧没有变号，故不能用二分法．‎ ‎(2)①⑤图中，与x轴交点两侧符号一致，不能用二分法，②③④均可用二分法，但④应该注意区间的选择．]‎ 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．‎ ‎2．(1)下面关于二分法的叙述，正确的是______．(填序号)‎ ‎①用二分法可求所有函数零点的近似值；‎ ‎②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；‎ ‎③二分法无规律可循；‎ ‎④只有在求函数零点时才用二分法．‎ ‎(2)观察下列函数的图象，能用二分法求其零点的是________．(填序号)‎ ‎(1)②　(2)①　[(1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故①错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故③错；求方程的近似解也可以用二分法，故④错．‎ ‎(2)由图象可知①中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．]‎ ‎1．二分法求函数的零点，只适用于变号零点．当f(a)·f(b)>0时，在[a，b]上也可能存在零点．‎ ‎2．用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点 ‎(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量增大，出现错误．‎ ‎(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值xi时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止．‎ - 6 -‎ ‎1．用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到ε的说法正确的是(　　)‎ A．ε越大，近似解的精确度越高 B．ε越大，近似解的精确度越低 C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关 B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，近似解的精确度越低．]‎ ‎2．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)‎ A．[1,4]　　　　 B．[－2,1]‎ C．[－2,2．5] D．[－0．5,1]‎ D　[因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0．5]，[－0．5,1]，[1,2．5]，[2．5,4]，只有D在其中，故答案为D．]‎ ‎3．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，精确到0．1，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________．(填区间)‎ ‎(2,3)　[由f(2)·f(3)<0可知，x0∈(2,3)．]‎ ‎4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：‎ f(1.600 00)＝0.200‎ f(1.587 5)＝0.133‎ f(1.575 0)＝0.067‎ f(1.562 5)＝0.003‎ f(1.556 2)＝－0.029‎ f(1.550 0)＝－0.060‎ 据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0．01)．‎ ‎[解]　由表中f(1．562 5)＝0．003，‎ f(1．556 2)＝－0．029，‎ 得f(1．562 5)·f(1．556 2)<0．‎ 又因为1．562 5和1．556 2精确到0．01的近似值都为1．56，‎ 故f(x)＝3x－x－4的一个零点近似值为1．56．‎ - 6 -‎