2020版高中数学 第三章 概率 3

2020版高中数学 第三章 概率 3

‎2.3　互斥事件 课后篇巩固提升 A组 ‎1.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球(所有的球除颜色外都相同),则互斥而不对立的两个事件是 (　　)‎ A.至少有1个白球,都是白球 B.至少有1个白球,至少有1个红球 C.恰有1个白球,恰有2个白球 D.至少有1个白球,都是红球 答案C ‎2.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于‎4.8 g的概率为0.3,质量小于‎4.85 g的概率为0.32,则质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.0.62 B.‎0.38 ‎C.0.02 D.0.68‎ 答案C ‎3.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛,甲、乙两队夺取冠军的概率分别是,则该市球队夺得全省足球冠军的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析设事件A,B分别表示该市的甲、乙队夺取冠军,则P(A)=,P(B)=,且A,B互斥.该市球队夺得冠军即事件A+B发生.于是P(A+B)=P(A)+P(B)=.‎ 答案D ‎4.从某班学生中任找一人,如果该同学身高小于‎160 cm的概率为0.2,该同学的身高大于等于‎160 cm小于等于‎175 cm的概率为0.5,那么该同学的身高超过‎1‎‎75 cm的概率为(　　)‎ A.0.2 ‎B.‎0.3 ‎C.0.7 D.0.8‎ 答案B ‎5.在一次随机试验中,其中3个事件A1,A2,A3发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,则下列说法正确的是(　　)‎ A.A1+A2与A3是互斥事件,也是对立事件 B.A1+A2与A3是必然事件 C.P(A2+A3)=0.8‎ D.P(A1+A2)≤0.5‎ 解析由题意,A1,A2,A3间不一定彼此互斥,这时随机试验的结果不只是A1,A2,A3,还可能有其他结果,故A,B,C均错,只有D正确.‎ 答案D ‎6.某班派出甲、乙两名同学参加学校举行的数学竞赛,甲、乙两名同学夺得第一名的概率分别是,则该班同学夺得第一名的概率为　　　　. ‎ 答案 ‎7.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25,则不命中靶的概率是　　　　　. ‎ 解析射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则A、B、C互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.‎ 因为中靶和不中靶是对立事件,故不命中靶的概率为P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.‎ 4‎ 答案0.10‎ ‎8.已知6名同学中恰有两名女同学,从这6名同学中任选两人参加某项活动,则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是　　　　　. ‎ 解析从6名同学中任选两人,用列举法易知共有15种选法.如果从中选2人,全是男生,共有6种选法.故全是男生的概率是.‎ 从而至少有1名女生的概率是1-.‎ 答案 ‎9.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位(单位:m)在各个范围内的概率如下表:‎ 年最高水 位/m ‎[8,10)‎ ‎[10,12)‎ ‎[12,14)‎ ‎[14,16)‎ ‎[16,18)‎ 概率 ‎0.10‎ ‎0.28‎ ‎0.38‎ ‎0.16‎ ‎0.08‎ 计算在同一时期内,河流此处的年最高水位在下列范围内的概率:(1)[10,16)m;(2)[8,12)m;(3)[14,18)m.‎ 解记此河流某处的年最高水位在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18)m分别为事件A,B,C,D,E.‎ ‎(1)P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82.‎ ‎(2)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.10+0.28=0.38.‎ ‎(3)P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.‎ 所以年最高水位在[10,16),[8,12),[14,18)m的概率分别为0.82,0.38,0.24.‎ ‎10.导学号36424068一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,…,9.从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是多少?‎ 解从9张票中任取2张,有 ‎(1,2),(1,3),…,(1,9);‎ ‎(2,3),(2,4),…,(2,9);‎ ‎(3,4),(3,5),…,(3,9);‎ ‎…‎ ‎(7,8),(7,9);‎ ‎(8,9),共计36种取法.‎ 记“号数至少有一个为奇数”为事件B,“号数全是偶数”为事件C,则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共6种取法.‎ 所以P(C)=,由对立事件的性质得P(B)=1-P(C)=1-.‎ B组 ‎1.下列四个命题:①对立事件一定是互斥事件;②A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件,其中错误命题的个数是(　　)‎ A.0 B‎.1 ‎C.2 D.3‎ 答案D ‎2.从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率:‎ ‎(1)事件A={三个数字中不含1和5};‎ ‎(2)事件B={三个数字中含1或5}.‎ 4‎ 解这个试验的基本事件为:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),所以基本事件总数n=10.‎ ‎(1)因为事件A={(2,3,4)},‎ 所以事件A包含的事件数m=1.‎ 所以P(A)=.‎ ‎(2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2, 5), (1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},‎ 所以事件B包含的基本事件数m=9.‎ 所以P(B)=.‎ ‎3.掷一枚质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A+发生的概率为　　　　. ‎ 答案 ‎4.某战士射击一次中靶的概率为0.95,中靶环数大于5的概率为0.75,则中靶环数大于0且小于6的概率为　　　　　(只考虑整数环数). ‎ 解析因为某战士射击一次“中靶的环数大于‎5”‎(事件A)与“中靶的环数大于0且小于‎6”‎(事件B)是互斥事件,P(A+B)=0.95,所以P(A)+P(B)=0.95,所以P(B)=0.95-0.75=0.2.‎ 答案0.2‎ ‎5.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为　　　　　. ‎ 解析设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x,则所有矩形面积之和为1,即(0.02+0.04+0.06+x+0.03)×5=1,解得x=0.05.产品为二等品的概率为0.04×5+0.05×5=0.45.‎ 答案0.45‎ ‎6.袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只(所有的球除颜色外都相同),从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:‎ ‎(1)3只球颜色全相同的概率;‎ ‎(2)3只球颜色不全相同的概率.‎ 解(1)3只球颜色全相同包括3只球全是红球(记为事件A), 3只球全是黄球(记为事件B),3只球全是白球(记为事件C),且它们彼此互斥,故3只球颜色全相同这个事件可记为A+B+C.‎ 又P(A)=P(B)=P(C)=,‎ 故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=.‎ ‎(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D,则事件为“3只球颜色全相同”.‎ 又P()=P(A+B+C) =,‎ 所以P(D)=1-P()=1-,故3只球颜色不全相同的概率为.‎ ‎7.导学号36424069甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.‎ ‎(1)若以A表示和为6的事件,求P(A);‎ 4‎ ‎(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件?为什么?‎ ‎(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.‎ 解(1)如表所示:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎(1,4)‎ ‎(1,5)‎ ‎2‎ ‎(2,1)‎ ‎(2,2)‎ ‎(2,3)‎ ‎(2,4)‎ ‎(2,5)‎ ‎3‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,3)‎ ‎(3,4)‎ ‎(3,5)‎ ‎4‎ ‎(4,1)‎ ‎(4,2)‎ ‎(4,3)‎ ‎(4,4)‎ ‎(4,5)‎ ‎5‎ ‎(5,1)‎ ‎(5,2)‎ ‎(5,3)‎ ‎(5,4)‎ ‎(5,5)‎ 由表可知:基本事件的总数为5×5=25(个),事件A包含的基本事件数共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),由此得到P(A)=.‎ ‎(2)B与C不是互斥事件.因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意.‎ ‎(3)这种游戏规则不公平.由(1)知,和为偶数的基本事件数共13个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).‎ 所以甲赢的概率为,乙赢的概率为,因此这种游戏规则不公平,对甲有利.‎ 4‎