江苏省2020届高三高考全真模拟（六）数学试题 Word版含解析

江苏省2020届高三高考全真模拟（六）数学试题 Word版含解析

- 1 - 2020 年江苏高考数学全真模拟试卷（六）（南通教研室） 数学Ⅰ试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题~第 20 题，共 20 题).本卷满分为 160 分，考试时间 为 120 分钟考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米色水的签字笔填写在答题卡的规定 位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘點的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4.作答试题必须用 0.5 毫米色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答律无 效. 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写楚，线条、符号等须加黑、加粗. A.必做题部分 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合 ， ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据并集的定义求解． 【详解】由题意 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题． 2.复数 （i 为虚数单位） 实部为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由复数除法法则计算出 ，再由复数的定义得结论． 的 { 1,0,2}A = − { }0,1,2,3B = A B = { 1,0,1,2,3}− 1,0,1{ ,2, }3A B = − { 1,0,1,2,3}− 1z 2 i i += − 1 5 z - 2 - 【详解】由已知 ，其实部为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念，属于基础题． 3.某新媒体就我国提前进入“5G 移动通信技术”商用元年的欢迎程度进行调查，参加调查的 总人数为 1000 其中持各种态度的人数如下表： 该媒体为进一步了解被调查者的具体想法，打算从中抽取 50 人进行更为详细的调查，则应抽 取持“很欢迎”态度的人数为______. 【答案】36 【解析】 【分析】 三种态度层次分明，采取分层抽样可得结论． 【详解】应用采取分层抽样，抽取持“很欢迎”态度的人数为 ． 故答案为：36． 【点睛】本题考查分层抽样，掌握分层抽样概念是解题基础． 4.执行如图所示的伪代码，则输出的 S 的值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】 模拟程序运行，观察变量值的变化，即可得结论． 1z 2 i i += − 2(1 )(2 ) 2 2 1 3 (2 )(2 ) 5 5 5 i i i i i ii i + + + + += = = +− + 1 5 1 5 720 50 361000 × = - 3 - 【详解】程序运行，循环中变量值变化如下： ，满足循环条件； ，满 足循环条件； ，满足循环条件； ，不满足循环条件，退出循环，输出 ． 故答案为：8． 【点睛】本题考查伪代码，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，确定变量值． 5.从 3，4，12 这 3 个数中随机取出 2 个数（逐个、不放回），分别记为 a，b，则“ 是整数 ”的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】 用列举法写出取出 2 个数的所有基本事件 ，确定数目后可得概率． 【详解】从 3，4，12 这 3 个数中随机取出 2 个数（逐个、不放回）的所有基本事件有： 共 6 个，其中只有 这 2 个能使 是整 数，∴所求概率为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有基本事件，计数后可计算概率． 6.已知长方体 的体积为 72，则三棱锥 的体积为______. 【答案】24 【解析】 【分析】 设长方体 从同一顶点 A 出发的三条棱 AB，AD， 的长分别为 a，b，c， 根据棱锥体积公式得出长方体在三棱锥 外的四个三棱锥的体积与长方体体积的关 系，从而得出三棱锥 的体积． 【详解】设长方体 从同一顶点 A 出发的三条棱 AB，AD， 的长分别为 a，b，c， 2, 2S i= = 4, 3S i= = 6, 4S i= = 8, 5S i= = 8S = a b 1 3 ( , )a b (3,4),(3,12),(4,3),(4,12),(12,3),(12,4) (12,3),(12,4) a b 2 1 6 3P = = 1 3 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1A BC D− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA 1 1A BC D− 1 1A BC D− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA - 4 - 则 . 同理可得 ， 所以 . 故答案为：24． 【点睛】本题考查棱锥的体积，掌握几何体的求体积的切割法． 7.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 的渐近线方程为 ，且它的一个焦点为 ，则双曲线 C 的一条准线与两条渐近线所成的三角形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】 设双曲线方程为 ，由渐近线方程得 ，再由焦点坐标可求得 ，从而得准 线方程，求得准线与渐近线的交点坐标后可得三角形面积． 【详解】设双曲线方程为 ，因为双曲线 C 的渐近线方程为 ，∴ ， 又它的一个焦点为 ， ,∴ ， 所以双曲线 C 的方程为 ， 所以双曲线 C 的一条准线方程为 ，它与两条渐近线的交点坐标为 ， 1 1 1 1 3 2 6A ABDV ab a cc b− = × × = 1 1 1 1 1 11 1 6B A BC C BC D D A C DV V V abc− − −= = = ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1A BC D ABCD A B C D A ABD B A BC C BC D D A C DV V V V V V− − − − − −= − + + + 1 1 72 243 3abc= = × = y x= ± ( 2,0)F 1 2 2 2 2 2 1x y a b − = a b= , ,a b c 2 2 2 2 1x y a b − = y x= ± a b= ( 2,0)F 2c = 1a b= = 2 2 1x y− = 1 2 x = 1 1( , ) 2 2 ± - 5 - 从而所围成的三角形的面积为 . 故答案为： ． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，掌握渐近线、准线的方程是解题关键． 8.在平面直角坐标系 xOy 中，过点 作斜率为 （e 为自然对数的底数）的直线，与曲 线 相切于点 T，则实数 t 的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出导数，由导数几何意义求得切点的横坐标，从而得切点坐标，再由直线斜率公式求得 ． 【详解】因为 ，所以 . 设点 ，则 . 又因为 ，解得 ， . 故答案为： ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，在不知切点时，一般要设出切点坐标 ，然后 由导数几何意义得切线斜率，切线方程，结合其它条件可求得切点坐标． 9.设等比数列 的公比为 其前 n 项和为 ，若 ， ，则正 整数 m 的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式由条件 可求得 ，然后由等比数列前 项和公式可 求得 ． 【详解】在等比数列 中，因为 ， 1 2 1 1 2 22 2 × × = 1 2 ( )1,P t 1 e lny x= 1 e t lny x= 1y x ′ = ( )0 0,lnT x x 0 1 1 e x = 0 0 1 1 ln x t e x −= − 0x e= 1t e = 1 e 0 0( , ( ))x f x { }na ( 1)q q > nS 2 4 3 5 2a a a+ = 2 9m mS S= 2 4 3 5 2a a a+ = − q n m { }na 2 4 3 5 2a a a+ = - 6 - 所以 ，解得 . 因为 ，所以 ， 解得 . 故答案为：3． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前 项和公式，考查基本量运算，属于基础题． 10.已知 是定义在 R 上的偶函数，且在 上单调递减，则满足不等式 的实数 a 的取值集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用偶函数把不等式化为 ，然后再由单调性去掉函数符号“ ”，从而 可求解． 【详解】因为 是定义在 R 上的偶函数，所以 . 又因为 ， 在 上单调递减， 所以不等式 化为 即 ，从而 ，所以 . 故答案为： ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握单调性的定义是解题关键． 11.在 中，已知 ， ， .若点 C，D 满足 ， ，则 的值为______. 【答案】 【解析】 2 51 ( 1)2q q q+ = > 2q = 2 9m mS S= 2 *1 1(1 2 ) (1 2 )9 ( )1 2 1 2 m ma a m − − − − ∈= × N 3m = n ( )f x [0, )+∞ 2 3( 1) 4f a a f  − + ≥ −   1 2     2 3( 1) ( )4f a a f− + ≥ f ( )f x ( ) ( )f x f x− = 2 1 0a a− + > ( )f x [0, )+∞ 2 3( 1) ( )4ff a a− + ≥ − 2 3( 1) ( )4f a a f− + ≥ 2 31 4a a− + ≤ 21( ) 02a − ≤ 1 2a = 1{ }2 AOB 1OA = 3OB = 2AOB π∠ = 9 7 16 16OC OA OB= +   1 ( )2CD CO CB= +   CD CO⋅  15 64 - 7 - 【分析】 把 也用 表示出来，然后由数量积的运算律、定义计算． 【详解】∵ ，∴D 为 OB 的中点，从而 ， ∴ ∵ ， ， ，∴ ∴ . 故答案为： ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是把向量用 表示． 12.在 中角 A，B，C 的对边分別为 a，b，c，且 ，则 的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 设比值为 ，这样可表示出 ， 从而用余弦定理后可求得 ，再由余弦定理可求得 ． 【详解】设 ， 所以 ，即 ， 所以 ， CO ,OA OB  1 ( )2CD CO CB= +   1 2OD OB=  9 7 1 9 1( )16 16 2 16 16CD CO OD OA OB OB OA OB= + = − + + = − +        1OA = 3OB = 2AOB π∠ = 0OA OB⋅ =  9 1 9 7( ) ( )16 16 16 16CD CO DC OC OA OB OA OB⋅ = ⋅ = − ⋅ +        2 21 (81 7 )256 OA OB= −  1 (81 7 3)256 = − × 15 64 = 15 64 ,OA OB  ABC 35 21 15 cos cos cosbc A ac B ab C = = cosC 2 4 cos cos c 35 21 15 1 osA Bbc ac ab kC = = = cos , cos , cosbc A ac B ab C 2 2 2, ,a b c cosC cos cos c 35 21 15 1 osA Bbc ac ab kC = = = cos 35 cos 21 cos 15 bc A k ac B k ab C k =  =  = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 70 42 30 a b c k b c a k c a b k  − − = −  − − = −  − − = − 2 2 2 36 50 56 a k b k c k  =  =  = - 8 - 不妨取 ，则 所以 . 故答案为： ． 【点睛】本题考查余弦定理，解题关键是对连比问题引入参数，即设 ，然后用参数 表示出 ． 13.已知函数 ，若函数 恰好有 2 个不同的零点， 则实数 m 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 函数 的零点个数转化为方程 的解的个数，再转化为方程 解的个数，从而转化为函数 的图象与直线 的交点个数，作 出函数图象后可得结论． 【详解】令函数 ， 得 ， 结合函数 的图象知当 时， 函数 的图象与直线 恰好有 2 个不同的交点， 1k = 2 2 2 36 50 56 a b c  =  =  = 2 2 2 36 50 56 2 2c 4s 2 6 2 o 5 a b c abC + − + −= = = × × 2 4 cos cos c 35 21 15 1 osA Bbc ac ab kC = = = k , ,a b c 1 , 0 ( ) 1 , 0 x xxf x x xx  + >=   − < ( ) | ( ) |g x f x x m= + − { }( 1,0) 2 2− ∪ ( ) | ( ) |g x f x x m= + − ( ) 0g x = ( )m f x x= + ( )y f x x= + y m= ( ) ( ) 0g x f x x m= + − = 12 , 0 1( ) 2 , 1 0 1 , 1 x xx m f x x x xx xx  + > = + = − − ≤ <   < − ( )y f x x= + { }( 1,0) 2 2m∈ − ∪ ( )y f x x= + y m= - 9 - 所以 . 故答案为： ． 【点睛】本题考查函数零点个数问题，考查转化与化归思想，解题关键是把函数零点个数转 化为方程解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象即可得结论． 14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 ，直线 ，过直线 l 上一点 P 作圆 O 的两条切线，切点分別为 S、T，且 ，则实数 a 的最小值是 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 引入参数 ， ，把 用定义表示为 的式 子，由 可求得 ，从而知 必在圆 上，那么由直线 与此圆有公共点 可得 的最小值． 【详解】设 ， 则 { }( 1,0) 2 2m∈ − ∪ { }( 1,0) 2 2− ∪ 2 2: 1O x y+ = ( ): 3 0 0l x ay a+ − = > 2 3PS PT⋅ =  2 (0 ), 12 OP dSPO πθ θ= < < = >∠ 1sin d θ = PS PT⋅  d 2 3PS PT⋅ =  d P 2 2 3x y+ = l a (0 ), 12 OP dSPO πθ θ= < < = >∠ ( )( )2 2 2| | cos2 1 1 2sinPS PT PS dθ θ⋅ = ⋅ = − −   ( )2 2 2 2 2 2 21 1 3 3d dd d  = − − = + − =   - 10 - 解得 或 （舍去）. 因为 ，所以 即点 P 在圆 上. 又因为点 P 在直线 上， 所以圆心 O 到直线 l 的距离 ， 解得 ，所以实数 a 的最小值是 . 故答案为： ． 【点睛】本题考查直线与圆和位置关系，考查平面向量的数量积，解题关键是由条件 得出 在一个圆，问题转化为直线与此圆有公共点． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量 ， ，函数 . （1）求函数 图象的对称轴方程； （2）求函数 在 上的最大值和最小值以及相应的 x 的值. 【答案】（1）对称轴方程为 （2）当 时， ；当 时， 【解析】 【分析】 （1）由向量数量积的坐标运算求出函数　 ，并利用二倍角公式、两角和的正弦公式化函 数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质得出对称轴； （2）由 范围得出 的范围，由正弦函数性质得出 的值域，从而得最值． 【详解】（1）因为向量 ， 所以函数 2 3d = 2 2 3d = 1d > 3d = 2 2 3x y+ = : 3 0l x ay+ − = 2 3 3 1 a ≤ + 2a ≥ 2 2 2 3PS PT⋅ =  P cos ,sin2 2 x xa  =     3sin , sin2 2 x xb  = −    ( ) 1f x a b= ⋅ +  ( )f x ( )f x [ π,0]− ( )3x k k π π+ ∈= Z 2 3x π= − [ ]min 1( ) 2f x = − 0x = ( ) max 1f x   = ( )f x x 6x π+ ( )f x (cos ,sin )2 2 x xa = 3( 3sin , sin )2 2 xb = − ( ) 1f x a b= ⋅ + 2cos 3sin sin 12 2 2 x x x= × − + - 11 - . 当 时， 所以函数 图象的对称轴方程为 . （2）由（1）知 ` 因为 ， 所以 . 从而 ，即 . 所以，当 ， 时， ； 当 ，即 时， . 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查二倍角公式、两角和的正弦公式，考查三角函数 的性质，正弦函数的性质是解题关键． 16.如图，在四面体 A-BCD 中，已知平面 平面 BCD， 为正三角形， 为等 腰直角三角形，其中 C 为直角顶点，E，F 分别为校 AC，AD 的中点. （1）求证： 平面 BEF； （2）求证： 平面 ACD. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】 3 1 12 2 cossin xx −= − + 1sin( )6 2x π= + + ( )6 2x k k π π π+ = + ∈Z ( )3x k k π π+ ∈= Z ( )f x ( )3x k k π π+ ∈= Z 1( ) sin( )6 2f x x π= + + [ ,0]x π∈ − 5 6 6 6x π π π− ≤ + ≤ 11 sin( )6 2x π− ≤ + ≤ 1 ( ) 12 f x≤− ≤ 6 2x π π+ = − 2 3x π= − [ ]min 1( ) 2f x = − 6 6x π π+ = 0x = ( ) max 1f x   = ABC ⊥ ABC BCD / /CD BE⊥ - 12 - （1）由中位线定理得 .再由线面平行的判定定理得线面平行； （2）由面面垂直的性质定理得 平面 ABC，从而有 .再由等边三角形得一线线 垂直，最终可证得线面垂直． 【详解】证明（1）在 中因为 E，F 分别为 AC，AD 的中点， 所以 . 又因为 平面 BEF， 平面 BEF， 所以 平面 BEF. （2）因为 为等腰直角三角形，且 C 为直角顶点， 故 . 又因为平面 平面 BCD， 平面 平面 ， 平面 BCD， 所以 平面 ABC. 又因为 平面 ABC， 所以 . 因为 为正三角形，E 为 AC 的中点， 所以 又因为 ，CD、 平面 ACD， 所以 平面 ACD. 【点睛】本题考查证明线面平行和线面垂直，掌握线面平行的判定定理和线面垂直的判定定 理是解题基础． 17.为了打击海盗犯罪，甲、乙、丙三国海军进行联合军事演习，分别派出一艘军舰 A，B，C. 演习要求：任何时刻军舰 A、B、C 均不得在同一条直线上. （1）如图 1，若演习过程中，A、B 间的距离始终保持 ，B，C 间的距离始终保持 ，求 的最大值. （2）如图 2，若演习过程中，A，C 间的距离始终保持 ，B、C 间的距离始终保持 . / /CD EF CD ⊥ CD BE⊥ ACD / /CD EF CD ⊄ EF ⊂ / /CD BCD CD BC⊥ ABC ⊥ ABC  BCD BC= CD ⊂ CD ⊥ BE ⊂ CD BE⊥ ABC BE AC⊥ CD AC C= AC ⊂ BE⊥ 3 n mile 2 n mile ACB∠ 1n mile - 13 - .且当 变化时，模拟海盗船 D 始终保持：到 B 的距离与 A、B 间的距离相等， ，与 C 在直线 AB 的两侧，求 C 与 D 间的最大距离. 【答案】（1） （2）C 与 D 间的最大距离为 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理求出 的取值范围后可得 的最大值； （2））以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy， 则 ，由 ，得 A 在圆 上.设 ，得 ，由到 及 ，与 C 在直线 AB 的两侧，可 ，从而得 点坐标，代入 点轨迹方程可得 点轨迹方程，知轨迹为圆，从而由点与圆的位置关系可得最大距离． 【详解】因为任何时刻军舰 A，B，C 均不得在同一条直线上，所以构成 ，记角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c. （1）在 中， ， ， 由正弦定理 ，得 所以 . 又因为 .所以 答：∠ACB 的最大值是 . （2）以 C 为坐标原点，CB 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy， 则 因为 ，所以 A 在圆 上. 2 n mile ACB∠ 90ABD∠ = ° 3 π 3 n mile sinC C ( 2,0)B 1AC = 2 2 1x y+ = ( , )D x y BD BD BA= 90ABD∠ = ° BA A A D ABC ABC 3AB = 2BC = sin sin sin a b c A B C = = 2 sin in 3 sA C = sin sin3 3(0 2 ],2C A= ∈ c a< 3](0,C π∈ 3 π ( 2,0)B 1AC = 2 2 1x y+ = - 14 - 设 ，则 . 因为 D 始终保持：到 B 的距离与 A，B 间的距离相等， 且 ，与 C 在直线 AB 的两侧， 所以 ，所以 . 代入方程 中，得 ， 所以 D 在以点 为圆心 1 为半径的圆上， 故 答：C 与 D 间的最大距离为 . 【点睛】本题考查正弦定理解三角形的应用，考查直线与圆的实际应用．直线与圆的应用中 关键是建立平面直角坐标系，求出动点 的轨迹方程，问题转化为求圆外一点到圆上点的距 离的最大值． 18.在平面直角坐标系 xOy 中已知椭圆 ，焦点在 x 轴上的椭圆 与 的离心 率相同，且椭圆 的外切矩形 ABCD（两组对边分别平行于 x 轴、y 轴）的顶点在椭圆 上. （1）求椭圆 的标准方程. （2）设 为椭圆 上一点（不与点 A、B、C、D 重合）. ①若直线： ，求证：直线 l 与椭圆 相交； ②记①中的直线 l 与椭圆 C1 的交点为 S、T，求证 的面积为定值. 【答案】（1） （2）①证明见解析②证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由于离心率相同可设 方程为 .代入矩形顶点坐标可求得 ，得方 程； （2）①直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后计算 ，同时验证在 的直线与椭圆 . ( ),D x y ( 2, )BD x y= − 90ABD∠ = ° ( , 2)BA y x= − − ( 2 , 2)A y x− − 2 2 1x y+ = 2 2( 2) ( 2) 1x y− + − = ( 2, 2) 2 2 max (0 2) (0 2) 1 3CD = − + − + = 3 n mile D 2 2: 14 xC y+ = 2C 1C 1C 2C 2C ( )P m n, 2C 4 4 0mx ny+ − = 1C PST 2 2 18 2 x y+ = 2C 2 2 ( 0)4 x y λ λ+ = > λ 0∆ ≥ 0∆ = - 15 - 也是相交的，证得结论； ②设 ，由弦长公式得 计算出弦长，再求出 到直 线 的距离 ，计算面积即可得． 【详解】（1）依题意设椭圆 的方程为 . 因为椭圆 的外切矩形 ABCD 的四个顶点为 ， 将点 代入方程 中，得 ， 所以椭圆 的标准方程为 . （2）①联立 ，消去 y 得 . 因为 为椭圆 上一点， 所以 从而 ， 则 . 特别地，当 时， ， 此时直线 与椭圆 也相交， 所以直线 与椭圆 相交. ②设 由① ， 1C ( ) ( )1 1 2 2, , ,S x y T x y 2 1 21ST k x x= + − P ST d 2C 2 2 ( 0)4 x y λ λ+ = > 2 2 1 : 14 xC y+ = ( 2, 1)± ± ( )2,1 2 2 ( 0)4 x y λ λ+ = > 2λ = 2C 2 2 18 2 x y+ = 2 2 4 4 0 14 mx ny x y + − = + = 2 2 2 21 016 4 2 m n mx x n  + − + − =   ( )P m n, 2C 2 2 18 2 m n+ = 2 22(1 ) 0x mx n+ − =− 2 2 2 2 28(1 ) 8 4 8(1 ) 4 0m n n n n∆ = − − = − − − = ≥ 0n = 2 2m = ± : 2l x = ± 1C : 4 4 0l mx ny+ − = 1C ( ) ( )1 1 2 2, , ,S x y T x y 2 2 1,2 8 8 2 m m nx ± + −= - 16 - 知 ，从而 又因为点 到直线 的距离 ， 所以 ， 所以 的面积为定值. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交中三角 形面积问题，可以直接利用弦长公式 计算出弦长，再求出三角形的高， 从而得面积． 19.已知函数 ，其中 ， . （1）若 ，求函数 的单调减区间； （2）若数 的极值点是 ，求 b、c 的值； （3）若 ，曲线 在 处的切线斜率为 ，求证： 的极大值大于 . 【答案】（1）单调减区间为 （2） ， （3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）计算导数 ，由 确定减区间． 2 2 2 2 1 2 8 8 8 8 2 2 m m n m m nx x + + − − + −− = − 2 28 8m n= + − 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 1 ( ) | |4 mST x x y y x xn = − + − = + − ⋅ − 2 2 2 216 8 8 4 | | m n m n n + ⋅ + −= ( )P m n, : 4 1 0l mx ny+ − = 2 2 2 2 2 2 | 4 4 | 4 (4 ) 16 m nd m n m n + −= = + + 2 2 2 2 2 2 1 1 16 8 8 4 2 2 4 | | 16PST m n m nS ST n m n d + ⋅ + −= ⋅ = ⋅ ⋅ + 2 2 2 2 28 8 8 4 8 8 4 12 | | 2 | | 2 | | m n n n n n n n + − − + −= = = = PST 2 1 21ST k x x= + − ( ) ( )( )f x ax x b x c= − − 0a > b c< 1a b c= − = = ( )f x ( )f x 1x = ± 1b = − ( )y f x= 0x = 1− ( )f x 1 4 3 3( , )3 3 − 3b = − 3c = ( )f x′ ( ) 0f x′ < - 17 - （2）由 ， 可求得 ，注意 即可； （3）由所以 ，得 .由于 ，则 ，极大值点必是 的较小 根，设其为 ，则有 ，再结合 ， 可求得 的取值范围，计算 ，可利 用换元法及导数的知识得证 ． 【详解】（1）因为 ， 所以 ， 故 . 令 ，即 ， 解得 ， 所以函数 的单调减区间为 . （2）因为 ， 所以 . 因为 是函数 的极值点， 所以 是方程 的实数根， 故 ，解得 或 ， 又因为 ，所以 ， . （3）若 ，由（2）知 ， 则 . 因为曲线 在 处的切线斜率为 ， 所以 ，即 . ( ) 01f ′ = ( 1) 0f ′ − = ,b c b c< ( )0 1f ′ = − 1ac = 0,a > 0c > ( ) 0f x′ = s 0s < ( ) 0f s′ = 0c > s ( )f s 1( ) 4f s > 1a b c= − = = 3( ) ( 1)( 1)f x x x x x x= + − = − 2( ) 3 1xf x′ = − ( ) 0f x′ < 23 1 0x − < 3 3 3 3x− < < ( )f x 3 3( , )3 3 − 3 2( ) ( )( ) [ ( ) ]f x ax x b x c a x b c x bcx= − − = − + + 2( ) [3 2( ) ]f x a x b c x bc′ = − + + 1x = ± ( )f x 1x = ± 23 2( ) 0x b c x bc− + + = 2( ) 03 13 b c bc + =  = − 3 3 b c  = = − 3 3 b c  = − = b c< 3b = − 3c = 1b = − 3 2( ) [ ( 1) ]f x a x c x cx= − − − 2( ) [3 2( 1) ]f x a x c x c′ = − − − ( )y f x= 0x = 1− ( )0 1f ′ = − 1ac = - 18 - 又因为 ，所以 . 设 的较小的根为 ， 则 ，即 . 由 及 ，得 ，解得 ， 则 的极大值为 令 ，则 . 所以 ， 故 ，在 上恒成立， 所以 ，在 上为减函数， 故 ，即 的极大值大于 . 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性、函数的极值、最值，考查导数的几何意义，考 查了学生的运算求解能力，属于较难题． 20.已知数列 的各项均为正数，其前 n 项的积为 ，记 ， . （1）若数列 为等比数列，数列 为等差数列，求数列 公比. （2）若 ， ，且 ①求数列 的通项公式. ②记 ，那么数列 中是否存在两项 ，（s，t 均为正偶数，且 ），使得 数列 ， ， ，成等差数列？若存在，求 s，t 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）数列 的公比为 1（2）① ②存在；s，t 的值为 和 【解析】 【分析】 （1）由 得 的等式，再由 可求得 的关系，得出结论； 的 0a > 0c > ( ) 0f x′ = ( )0s s < ( ) ( )23 2 1 0f s s c s c′ = − − − = (3 2) 2 1 s sc s += + 0c > 0s < 3 2 02 1 s s + <+ 2 1 3 2s− < < − ( )f x 22 1 (3 2) ( 1)( ) ( 1)( ) ( 1)(3 2) 2 1 3 2 s s s s sf s as s s c s ss s s + + + = + − = ⋅ + − = − + + +  3 2t s= + 1(0, )2t ∈ 21 2( 3)27y t t = − − − 2 1 2(2 ) 027y t t ′ = − + < 1(0, )2 21 2( ) ( 3)27y f s t t = = − − − 1(0, )2 1( ) 4f s > ( )f x 1 4 { }na nT 1 1b T= ( 2)n n nb T n= ≥ { }na { }nb { }na 1 1a = 2 2a = ( )1 1 (1 ), 3n n n nna n a a a n− −− − = ≥ { }nb lnn nc b= { }nc ,s tc c s t< sc 8c tc { }na n nb n= 2 16 s t =  = 4 16 s t =  = 2 1 32b b b= + 1 2 3, ,a a a 2 1 3 2a a a= 1 2,a a - 19 - （2）①已知条件可变形为 （ ），从而可求出 ，从而可 得 ，注意 ，求积可得 ； ②由①知 .利用导数研究函数 的单调性得数列 的单调性： ，假设存在 s，t 满足题意，若 ，由单调性出现矛盾，这样 ， ，分别求 ．即可得结论． 【详解】（1）因为数列 为等差数列， 所以 . 又因为 ， ， ， 所以 （*） 因为数列 为等比数列，所以 ， 代入（*）得 ，即 ， 所以 ， 故数列 的公比为 1. （2）①当 时，由 得 ， 从而 又因为 ， ， 所以 故 ， ， 1 1 1 n n n n a a − −− = 3n ≥ 1( 2) n n n na = − ≥ na 1a nb lnlnn nc n nb= = ln( ) xf x x = { }nc 1 2 3 4 nc c c c c< < > > > 8s ≥ 8s < 2,4,6s = t { }nb 2 1 32b b b= + 1 1 1b T a= = 2 1 2b a a= 3 3 1 2 3b a a a= 3 1 2 1 1 2 32 a a a a a a= + { }na 2 1 3 2a a a= 1 2 1 22 a a a a= + 2 1 2( ) 0a a− = 1 2a a= { }na 3n ≥ 1 1( 1)n n n nna n a a a− −− − = 1 1 1 n n n n a a − −− = 2 2 2 1 n n n na a = + − = − 1 1a = 2 2a = 1, 1 , 21 n n a n nn ==  ≥ − 1 1b = 2 3 4 ( 2)1 2 3 1 nn nn n nb T n nn = = × × × × = ≥− - 20 - 所以 . 综上，数列 的通项公式为 . ②由①知 . 记 ，则 ， 从而函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 又因为 ， 所以 . 假设存在 s，t 满足题意，若 ， 则 ， ，所以 ，不合题意， 所以 s 只能为 2，4，6，且 . （i）当 时，由 ，得 ， 故 . 由数列 的单调性可知存在唯一的 满足题意. （ii）当 时，由 ，得 ， 故 . 同（i）知 . （ⅲ）当 时，由 ，得 故 . 又因为 ， 由数列 的单调性知 ，故 ， 但 不成立，所以与题意不符. 综上，满足条件的 s，t 的值为 和 . n nb n= { }nb n nb n= lnlnn nc n nb= = ( ) ( 1)ln xf x xx = ≥ 2 1 ln( ) xf x x −′ = ( )f x [ )1,e ( , )e +∞ ln2 ln3 2 3 < 1 2 3 4 nc c c c c< < > > > 8s ≥ 8sc c≤ 8tc c< 82s tc c c+ < 8t > 2s = 2 82tc c c+ = lnln2 ln822 8t t+ = ⋅ ln2 ln16 4 l 16 n t t = = { }nc 16t = 4s = 4 82tc c c+ = lnln4 ln824 8t t+ = ⋅ ln2 ln16 4 l 16 n t t = = 16t = 6s = 6 82tc c c+ = lnln6 ln826 8t t+ = ⋅ ln8 ln6 4 ln 6t t = − 3 2 ln8 ln6 1 8 1 128 ln12ln ln4 6 12 6 12 9 12 − = = > { }nc 8 12t< < 10t = ln8 ln6 4 ln 6t t = − 2 16 s t =  = 4 16 s t =  = - 21 - 【点睛】本题考查数列的综合问题，掌握等差数列和等比数列的性质与通项公式是解题基础， 本题还考查学生分析问题解决问题的能力，考查转化与化归能力，解题中考查用导数研究函 数的单调性，考查分类讨论思想．对学生能力要求较高，属于难题． 数学Ⅱ附加题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本试卷共 4 页，均为非选择题(第 21 题~第 23 题).本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟， 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的 规定位置 3.请认真核对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一 律无效 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 21.已知矩阵 的特征值为 3 和 ，对应的一个特征向量分别为 ， . （1）求矩阵 M； （2）设矩阵 M 的逆矩阵为 ， ， ，且 ，求实数 m，n 的值. 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【分析】 （1）根据特征值和特征向量的定义列出 的方程组，解之可得； （2）根据逆矩阵定义，把条件 转化为 ，由矩阵乘法运算可得 ． 【详解】（1）依题意知 ，且 ， 所以 ，且 ， 解得 ， ， ， ， a bM c d  =    1− 1 1      1 1    −  1M − mX n  =    4 2B  =    1M X B− = 1 2 2 1M  =    8m = 10n = a b c d, ,, 1M X B− = X MB= ,m n 1 131 1 a b c d      =           1 111 1 a b c d      = −     − −      3 3 a b c d + =  + = 1 1 a b c d − = −  − = 1a = 2b = 2c = 1d = - 22 - 所以矩阵 . （2）因为 ， 所以 ，即 . 所以 ， 从而 ， . 【点睛】本题考查矩阵的乘法运算，逆矩阵的概念，考查特征值与特征向量的概念，属于基 础题． 22.已知圆 C 的坐标方程为 . （1）求圆心 C 的极坐标； （2）现以极点 O 为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy，求直线 （l 为参数）被圆 C 截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由公式 可化极坐标方程为直角坐标方程，得出圆心的直角坐标后再化为极 坐标； （2）消参后可化直线参数方程为普通方程，由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，再 由勾股定理可求得弦长． 【详解】（1）因为圆 C 的极坐标方程为 所以 ， 化为直角坐标方程得 ， 即 ， 1 2 2 1M  =    1M X B− = 1MM X MB− = X MB= 1 2 4 8 2 1 2 10 m nX        = = =               8m = 10n = 2 2 cos 4 πρ θ = ⋅ +   2 2 21 2 x t y t  =  = − + 7( 2, )4C π 6 cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 cos( )4 πρ θ= + 2 2 2 (sin cos sin sin )4 4 π πρ ρ θ θ= − 2 2 2 2x y x y+ = − 2 2( 1) ( 1) 2x y− + + = - 23 - 所以圆心 C 的直角坐标为 ， ， ，且 是第四象限角， 可取 ，∴ 极坐标 . （2）直线 （ 为参数）的普通方程为 ， 则圆心 到直线 的距离 ， 所以直线 被圆 C 截得的弦长为 . 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，求 圆的弦长，一般是先求出圆心到直线的距离，然后用勾股定理计算出弦长． 23.已知 ，且 ，求实数 的最大值. 【答案】 【解析】 【分析】 利用柯西不等式可求得 的最大值． 【详解】由柯西不等式得 . 因为 ， 所以 . 所以 的最大值为 ， 当且仅当 ， 时等号成立. 【点睛】本题考查柯西不等式的应用，掌握柯西不等式解题关键． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ( )1, 1− 2 21 ( 1) 2ρ = + − = tan 1θ = − θ 7 4 πθ = C 7( 2, )4 π 2 2 21 2 x t y t  =  = − + t 1 0x y− − = ( )1, 1C − 1 0x y− − = 1 2 22 = 1 0x y− − = 222 2 ( ) 62 − = a b c∈R、 、 2 2 22 4a b c+ + = a b c+ + 10 a b c+ + 2 2 2 2 2 2 21( 2 ) 1 1 ( ) 2 a b c a b c    + + + + ≥ + +        2 2 22 4a b c+ + = 2( ) 10a b c ≤+ + a b c+＋ 10 2 10 5a b= = 10 5c = - 24 - 24.如图，在空间直角坐标系 中，已知正四棱锥 P-ABCD 的所有棱长均为 6，正方形 ABCD 的中心为坐标原点 O，AD，BC 平行于 x 轴，AB、CD 平行于 y 轴，顶点 P 在 z 轴的正半轴上， 点 M、N 分别在 PA，BD 上，且 . （1）若 ，求直线 MN 与 PC 所成角 大小； （2）若二面角 A-PN-D 的平面角的余弦值为 ，求 λ 的值. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】 写出图中各点坐标， （1）求出向量 ， ，由向量夹角得出异面直线所成的角； （2）求出平面 和平面 的法向量，由法向量夹角的余弦值的绝对值等于已 知二面角的余弦值可求得 ． 【详解】依题意知 ， ， ， ， . 设 ， . 由 ，知 ， ， 即 ， 且 ， 所以 ， ， ， 的 O xyx− (0 1)PM BN PA BD λ λ= = ≤ ≤ 1= 3 λ 6 6 6 π 1 4 λ = 3 4 λ = MN PC APN PDN ( )PDB λ (0,0,3 2)P ( )3, 3,0A − ( )3,3,0B ( )3,3,0C − ( )3, 3,0D − − ( )1 1 1, ,M x y z ( )2 2, ,0N x y (0 1)PM BN PA BD λ λ= = ≤ ≥ PM PAλ=  BN BDλ=  ( )1 1 1, , 3 2 (3, 3, 3 2)x y z λ− = − − ( )2 23, 3,0 ( 6, 6,0)x y λ− − = − − 1 3x λ= 1 3y λ= − 1 3 2(1 )z λ= − - 25 - ， ， ， 从而 ， . （1）若 ，则 ， ， 所以 ， 所以 . 又因 ， 所以 ， 故直线 MN 与 PC 所成角的大小为 . （2）连结 AC，易知 平面 PBD. 而 ， 故平面 PBD 的一个法向量为 . 设平面 PAN 的一个法向量为 ， 则 . 又因为 ， 所以 不妨取 ，则 ， ， 所以 . 因为二面角 A-PN-D 的平面角的余弦值为 . 2 3 6x λ= − 2 3 6y λ= − 2 0z = (3 , 3 ,3 2(1 ))M λ λ λ− − (3 6 ,3 6 ,0)N λ λ− − 1 3 λ = (1, 1,2 2)M − ( )1,1,0N (0,2, 2 2)MN = − ( 3,3, 3 2)PC = − − 18 3cos , 2| || | 2 3 6 MN PCMN PC MN PC ⋅< >= = = ×      0 ,MN PC π≤ 〈 〉 ≤  , 6MN PC π< >=  6 π AC ⊥ ( 6,6,0)AC = − 1,1( ),0m = − ( ), ,n x y z= 0 0 n PA n PN  ⋅ =  ⋅ =   (3, 3, 3 2)PA = − − (3 6 ,3 6 , 3 2)PN λ λ= − − − 3 3 3 2 0, (3 6 ) (3 6 ) 3 2 0, x y z x y zλ λ  − − = − + − − = 1z = 2(1 ) 1 2x λ λ −= − 2 1 2y λ λ= − 2(1 ) 2( , ,1)1 2 1 2n λ λ λ λ −= − −  6 6 - 26 - 所以 整理得 ，解得 或 . 【点睛】本题考查用空间向量法坟异面直线所成的角，求二面角．考查学生的运算求解能力， 属于中档题． 25.已知集合 ，从 P 中任取 2 个元素，分别记为 a，b. （1）若 ，随机变量 X 表示 ab 被 3 除的余数，求 的概率； （2）若 （ 且 ），随机变量 Y 表示 被 5 除的余数，求 Y 的概率分 布及数学期望 . 【答案】（1） （2）分布列详见解析， . 【解析】 【分析】 （1）从 10 个数中任取 2 个数有 种可能，其中 被 3 除余数为 0，可分为两类，一类两 个数是从 中取得，一类是一个数从 中取，一个数有其余 7 个数中取，这样可得基 本事件的个数，从而得概率． （2）把集合 中的数按除以 5 后所得余数分成 5 类， ， ， ， ， .随机变量 Y 的可能取值为 0，1，2，3，4，如事件“ ”分三类： 从 中任取 2 个数，从 ， 中各取 1 个数，从 ， 中各取 1 个数，以上类推可求得各 概率，得概率分布列，再由期望公式计算出期望． 【详解】（1）当 时，从集合 中任取 2 个元素 a，b，共有 种等可 能基本事件，其中 共包括 种基本事件， 所以 . 2 2 2(1 ) 2 1 2 1 6 2| | 6cos , | || | 2(1 ) 22 11 2 1 2 m nm n m n λ λ λ λ λ λ λ λ −− +− −⋅< >= = =    −× + +  − −         216 16 3 0λ λ− + = 1 4 λ = 3 4 λ = {1,2,3, (} )P n n= … ∈N 10n = X = 0 5 1n k= + 1k > k ∈N a b＋ ( )E Y 8 15 ( ) 2E Y = 2 10C ab 3,6,9 3,6,9 P { }1 1,6,11, ,5 4,5 1P k k= … − + { }2 2,7,12, ,5 3P k= … − { }3 3,8,13, ,5 2P k= … − { }4 4,9,14, ,5 1P k= … − { }5 5,10,15, ,5P k= … Y 0= 5P 1P 4P 2P 3P 10n = 1,2,3 }, 10{ ,P = … 2 10C X = 0 2 1 1 3 3 7C C C+ × 2 1 1 3 3 7 2 10 3 21 8( 0) 45 15 C CCP X C ×+ += = = = - 27 - （2）当 时，将集合 中元素按被 5 除的余数分为 五类： ， ， ， ， . 因为随机变量 Y 表示 被 5 除的余数，所以 Y 的可能取值为 0，1，2，3，4. 事件“ ”分三类：从 中任取 2 个数，从 ， 中各取 1 个数，从 ， 中各取 1 个数，所以 同理可得 ， ， ， ， 则 Y 的概率分布如下： Y 0 1 2 3 4 P 所以 . *(5 1 )1n k k k= + > ∈N且 1,2,3, },{P n= … { }1 1,6,11, ,5 4,5 1P k k= … − + { }2 2,7,12, ,5 3P k= … − { }3 3,8,13, ,5 2P k= … − { }4 4,9,14, ,5 1P k= … − { }5 5,10,15, ,5P k= … +a b Y 0= 5P 1P 4P 2P 3P 2 2 1 1 1 2 2 5 1 ( 1) (5 1)( 1)C C C C C 12 2( 0) (5 1) 5C C 5 2 k k k k k n k k k k kk k k P Y k k ′ ′ + + − ++ + ++ += = = = =+ ⋅ 1 1 1 1 2 1 2 1( 1) 5 k k k k k n C C C C CP Y C + + += = = 2 1 1 1 1 1 2 1( 2) 5 k k k k k n C C C C CP Y C + + += = = 1 1 1 1 2 1 2 1( 3) 5 k k k k n kC C C C CP Y C + + += = = 1 1 1 1 2 1 2 1( 4) 5 k k k k k n C C C C CP Y C + + += = = 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1( ) (0 1 2 3 4) 25E Y = × + + + + = - 28 - 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求得各事件中所含基本事件的总数，这可由分类计 数原理和排列组合知识计算，本题还考查随机事件的概率分布列与数学期望，属于中档题． - 29 -