2020版高中数学 第二章 数列等比数列的概念及通项公式

2020版高中数学 第二章 数列等比数列的概念及通项公式

第1课时　等比数列的概念及通项公式 课后篇巩固探究 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A组 ‎1.若a,b,c成等差数列,则一定(　　)‎ A.是等差数列 B.是等比数列 C.既是等差数列也是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.‎ 答案B ‎2.在等比数列{an}中,a2 017=‎-8a2 014,则公比q等于(　　)‎ A.2 B.‎-2 ‎C.±2 D.‎ 解析由a2 017=-‎8a2 014,得a1q2 016=-‎8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.‎ 答案B ‎3.在等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为(　　)‎ A.16 B‎.27 ‎C.36 D.81‎ 解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为an>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.‎ 答案B ‎4.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=(　　)‎ A.-4 B.‎-6 ‎C.-8 D.-10‎ 解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,‎ ‎∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),‎ 解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.‎ 答案B ‎5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(　　)‎ A.2n-1 B. C. D.‎ 解析由Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,.又S1=a1=1,所以Sn=,故选B.‎ 5‎ 答案B ‎6.已知等比数列{an},a3=3,a10=384,则该数列的通项an=　　　　　. ‎ 解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.‎ ‎∴an=a3qn-3=3·2n-3.‎ 答案3·2n-3‎ ‎7.在数列{an}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an=　　　　. ‎ 解析由2an+1-an=0,得,所以数列{an}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以an=3·.‎ 答案3·‎ ‎8.在等比数列{an}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是　　　　. ‎ 解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.‎ 答案±4‎ ‎9.导学号04994040已知数列{an}是等差数列,且a2=3,a4+‎3a5=56.若log2 bn=an.‎ ‎(1)求证:数列{bn}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式.‎ ‎(1)证明由log2 bn=an,得bn=.‎ 因为数列{an}是等差数列,不妨设公差为d,‎ 则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{bn}是等比数列.‎ ‎(2)解由已知,得 解得 于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,‎ 所以数列{bn}的通项公式bn=·16n-1.‎ ‎10.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+ (n∈N*).‎ ‎(1)求证:是等比数列;‎ 5‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明∵an+1=an+,∴an+1-an+.∴.‎ ‎∴是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎(2)解∵an-,‎ ‎∴an=.‎ B组 ‎1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为(　　)‎ A.16 B‎.15 ‎C.14 D.12‎ 解析依题意,得解得 答案D ‎2.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a‎1a2a3a4a5,则m等于(　　)‎ A.9 B‎.10 ‎C.11 D.12‎ 解析∵am=a‎1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,‎ ‎∴m=11.‎ 答案C ‎3.已知等比数列{an},各项都是正数,且a1, a3,‎2a2成等差数列,则=(　　)‎ A.3+2 B.1- C.1+ D.3-2‎ 解析由a1, a3,‎2a2成等差数列,得a3=a1+‎2a2.在等比数列{an}中,有a1q2=a1+‎2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.‎ 答案A ‎4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=　　　　. ‎ 5‎ 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.‎ 答案-1‎ ‎5.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=　　　　. ‎ 解析依题意,得an=an+1+an+2,所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).‎ 答案 ‎6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=　　　　　. ‎ 解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.‎ 答案32‎ ‎7.已知数列{an}满足Sn=4an-1(n∈N*),求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项公式.‎ 解依题意,得当n≥2时,Sn-1=4an-1-1,所以an=Sn-Sn-1=(4an-1)-(4an-1-1),‎ 即3an=4an-1,所以,故数列{an}是公比为的等比数列.‎ 因为S1=‎4a1-1,即a1=‎4a1-1,所以a1=,故数列{an}的通项公式是an=.‎ ‎8.导学号04994041已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,‎ ‎(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;‎ ‎(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.‎ 证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,‎ ‎∴an+1=2an.‎ 由已知及上式可知an≠0.‎ ‎∴由=2知{an}是等比数列.‎ 5‎ 由a1=S1=‎2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.‎ ‎(2)由(1)知,an=-2n-1,‎ ‎∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.‎ ‎∴数列{bn}是等比数列.‎ 5‎