2017 年漳州市普通高中毕业班质量检查 文科数学

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2017 年漳州市普通高中毕业班质量检查 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页，满分 150 分。 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条 形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试 题卷上作答，答案无效。 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回。 第 Ⅰ卷 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合    1 0 , 2, 1,0,1A x x B      ，则 ( )R A Bð = （A） 2, 1  （B） 2 （C） 1,0,1 （D） 0,1 （2）复数 1 2 iz i    的虚部为 （A） 3 5  （B） 3 5 （C） 1 5 （D） 1 5  （3）在数列{ }na 中， 1 2a  ， 1 2n na a   ， nS 为{ }na 的前 n 项和，则 10S  （A）90 （B）100 （C）110 （D）130 （4）五张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，5，从这五张卡片中随机抽取 2 张，则取出的两张卡片上的数 字之和为奇数的概率等于 （A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 5 （D） 3 5 （5）为了得到函数 cos2y x 的图象，只要把函数 sin(2 )3y x   的图象上所有的点 （A）向右平行移动 5 12  个单位长度 （B）向左平行移动 5 12  个单位长度 （C）向右平行移动 5 6  个单位长度 （D）向左平行移动 5 6  个单位长度 （6）如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的 三视图，则该几何体的体积为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （7）已知函数 1 | | 2 2 , 1( ) ( 2) , 1 x xf x x x      ，若 1( ) 4f m  ，则 (1 )f m  （A） 1 （B） 4 （C） 9 （D） 16 （8）如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部 的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称， 六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90 榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱 柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计）， 若球形容器表面积的最小值为 30 ，则正四棱柱体的高为 （A） 2 6 （B） 2 7 （C） 4 2 （D）5 （9）函数    1 cos sinf x x x  在 ,  上的图象大致是 (A) (B) (C) (D) （10）一个小球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落 下．执行下面的程序框图，则输出的 S 表示的是 (A) 小球第 10 次着地时向下的运动共经过的路程 (B) 小球第 11 次着地时向下的运动共经过的路程 (C) 小球第 10 次着地时一共经过的路程 (D) 小球第 11 次着地时一共经过的路程 （11）若 P 为可行域 1, 2, 2 2 0, x y x y         内的一点，过 P 的直线l 与圆 2 2: 7O x y  交于 ,A B 两点，则 AB 的最小值为 （A） 2 3 （B） 3 （C） 2 （D） 2 2 （12）若不等式    2ln 2 0x a x x    对于任意的 [ 1, )x   恒成立，则实数 a 的取值范围是 （A） 0, （B） 0,1 （C） 0,e （D） 1,0 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷共 3 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题～ 第 23 题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． （13）设向量 ( , 1), (1, 2)AB x x CD     ，且 AB  ∥CD  ，则 x  ． （14）已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的离心率等于 2，其两条渐近线与抛物线 2 2y px ( 0)p  的 准线分别交于 ,A B 两点，O 为坐标原点， 3 4AOBS  ，则 p = ． （15）甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3 人作出如下预测： 甲说：我不是第三名； 乙说：我是第三名； 丙说：我不是第一名． 若甲、乙、丙 3 人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是 ． （16）设 na 是由正数组成的等比数列， nS 是{ }na 的前 n 项和．已知 2 4 316, 28a a S  ，则 1 2 na a a 最 大时， n 的值为_____． 三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分 12 分） ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,其中b c ，且 cos cosb B c C ，延长线段 BC 到点 D ， 使得 4 4BC CD  ， 30CAD   ， （Ⅰ）求证： BAC 是直角； （Ⅱ）求 tan D 的值。 （18）（本小题满分 12 分） 如图 1，四边形 ABCD 是菱形，且 060A  ， 2AB  ，E 为 AB 的中点，将四边形 EBCD 沿 DE 折起至 1 1EDC B ，如图 2． (Ⅰ) 求证：平面 ADE  平面 1AEB ； (Ⅱ) 若二面角的大小为 3  ，求三棱锥 1 1C AB D 的体积． （19）（本小题满分 12 分） 漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕 刻师受雇每天雕刻 250 粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超 出的部分每粒赚1.7 元；如果当天未能按量完成任务，则按实际完成的雕刻量领取当天工资． （I）求雕刻师当天收入(单位：元)关于雕刻量 n （单位：粒， nN ）的函数解析式 ( )f n ； （Ⅱ）该雕刻师记录了过去 10 天每天的雕刻量 n （单位：粒），整理得下表： 雕刻量 n 210 230 250 270 300 频数 1 2 3 3 1 以 10 天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率． （ⅰ）求该雕刻师这 10 天的平均收入； （ⅱ）求该雕刻师当天收入不低于 300 元的概率． A E D B C 图 1 图 2 A E D 1C 1B （20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左，右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 任作一条与两坐标轴都不垂直的 直线，与C 交于 ,A B 两点，且 2ABF 的周长为 8．当直线 AB 的斜率为 3 4 时， 2AF 与 x 轴垂直． （I）求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)在 x 轴上是否存在定点 M ，总能使 1MF 平分 AMB ？说明理由． （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) lnxf x ae b x  ，曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 1( 1) 1y xe    ． （Ⅰ）求 ,a b ； （Ⅱ）证明： ( ) 0f x  ． 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． （22）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，已知点 P (2,0) ，曲线C 的参数方程为 24 , 4 x t y t   ( t 为参数)．以坐标原点为极 点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线 C 的普通方程和极坐标方程； （Ⅱ）过点 P 且倾斜角为 π 4 的直线l 交曲线 C 于 BA, 两点，求 AB ． （23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( )f x x a x a    ， aR ． （Ⅰ）若 1a  ，求函数 ( )f x 的最小值； （Ⅱ）若不等式 ( ) 5f x  的解集为 A ，且 2 A ，求 a 的取值范围． 2017 年漳州市普通高中毕业班质量检查 文科数学试题答案及评分参考 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制定相应的评分细则. 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分. 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分． （1）A （2）C （3）C （4）D （5）B （6）B （7）B （8）D （9）A （10）C （11）D （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分． （13） 1 3  （14） 1p  （15）乙 （16）4 或 5 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) （17）解：（Ⅰ）因为 cos cosb B c C 由正弦定理，得 sin cos sin cosB B C C ， ……………………2 分 所以sin 2 sin 2B C ，又b c 所以 2 2B C  …………………………………………4 分 所以 2B C   ， 所以 090A  ， ……………………………6 分 （Ⅱ）设 , 1ADC CD   ，则 4BC  在△ ABC 中，因为 090A  ， 030ACB    所以 0cos( 30 ) AC BC    ， 所以 04cos( 30 )AC   …………8 分 在 ADC 中， sin sin AC CD CAD   ，即 1 21sin 2 AC    ， 所以 2sinAC  ， …………………………………………………10 分 所以 04cos( 30 ) 2sin   ， 即 3 12 cos sin ) sin2 2    （ ，整理得 3 cos 2sin  O 所以 3tan 2   …………………………………12 分 （18）（Ⅰ）证明：由已知条件得， DE AB ， ………………………………………1 分 折起后， 1,AE DE B E DE  ，且 1AE B E E  ， 所以 DE  平面 1AB E ， DE  平面 ADE ， ……………………………4 分 所以平面 ADE  平面 1AEB ． ……………………………………………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 1AEB 为二面角 1A DE C  的平面角，所以 1 3AEB   ．…6 分 2AB  ，所以 1 1 1AE B E AB   ．取 1B E 的中点O ，连接 AO ， 所以 1AO B E ，又 DE  平面 1AB E ， AO  平面 1AB E ， 所以 DE AO ． ………………………8 分 因为 1B E DE E  ， 所以 AO  平面 1 1B EDC ，且 3 2AO  ． 由条件得 1 1B DC 是边长为 2 的正三角形， 所以 1 1 1 32 2 32 2B C DS      ． …………………………………………10 分 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 3 133 3 2 2C AB D A B DC B DCV V S AO         ． ……………12 分 （19）解：（I）当 250n  时， ( ) 250 1.2 1.7 ( 250) 1.7 125f n n n       ．……2 分 当 250n  时， ( ) 1.2f n n ； ………………………………………………4 分 所以 1.7 125, 250,( ) ( )1.2 , 250. n nf n n Nn n     ．…………………………………6 分 （Ⅱ） （ⅰ）由（Ⅰ）得 (210) 252, (230) 276,f f  (250) 300, (270) 334, (300) 385f f f   ， ………………………………………………………8 分 所以该雕刻师这 10 天的平均收入为 252 1 276 2 300 3 334 3 300 1 309.110           （元）． ……10 分 (ⅱ)雕刻师当天收入不低于 300 元的雕刻量有 250，270 和 300，概率分别是 0.3，0.3和 0.1，所 以该雕刻师当天收入不低于 300 元的概率为 0.3 0.3 0.1 0.7   ． ………12 分 （20）解：（Ⅰ）因为 2 2 8AB AF BF   ，即 1 1 2 2 8AF BF AF BF    ， 又 1 2 1 2 2AF AF BF BF a    ，所以 4 8a  ， 2a  . ………2 分 当直线 AB 的斜率为 3 4 时， 2AF 与 x 轴垂直， 所以 2 1 2 | | 3 | | 4 AF F F  ， 由 2 2 2 2 1c y a b   ，且 0y  ， 解得 2by a  ，即 2 ( , )bA c a ，又 2a  ，故 2 3 4 4 b c  ． ………………………………………………………………………………4 分 所以 2 3b c ，由 2 2 2c a b  ，得 1c  ， 3b  ． 所以椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  . …………………………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 1( 1,0)F  ，设直线 AB 的方程为 1( 0)x my m   ， ,A B 两点的坐标分别为 1 1 2 2( , ),( , )x y x y . …………………………………………7 分 联立 2 2 1, 14 3 x my x y     ，消去 x ，整理得 2 2(3 4) 6 9 0m y my    ， 所以 1 2 1 22 2 6 9,3 4 3 4 my y y ym m      . ………………………………8 分 设 ( ,0)M s ，由已知 1MF 平分 AMB ，得 0AM BMk k  ， 所以 1 2 1 2 0y y x s x s    ，即 1 2 2 1( ) ( ) 0y x s y x s    ， 即 1 2 2 1 1 2( 1) ( 1) ( ) 0y my y my s y y      ， 所以 1 2 1 22 (1 )( ) 0my y s y y    . ……………………………………10 分 即 2 2 9 62 (1 ) 03 4 3 4 mm sm m       ，所以1 3s   ，即 4s   ， 所以 ( 4,0)M  为所求. ……………………………………………………12 分 21.解：（Ⅰ）函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) . ( ) x bf x ae x    ，由题意得 1 1(1) , (1) 1f fe e    ， …………………3 分 所以 1 1 1 ae e ae b e       ，故 2 1 , 1a be   . …………………………………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 2 1( ) lnxf x e xe    . 因为 2 1( ) xf x e x    在 (0, ) 上单调递增， …………………………6 分 又 (1) 0, (2) 0f f   ， 所以 ( ) 0f x  在 (0, ) 上有唯一实根 0x ，且 0 (1,2)x  . ………………8 分 当 0(0, )x x 时， ( ) 0f x  ；当 0( , )x x  时， ( ) 0f x  ， 从而当 0x x ， ( )f x 取极小值，也是最小值. 由 0( ) 0f x  ，得 0 2 0 1xe x   ，则 0 02 lnx x   . ……………………10 分 故 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1( ) ( ) ln 2 2 2 0xf x f x e x x xx x           ， 所以 ( ) 0f x  . ……………………………………………………………12 分 （22）选修 4—4：坐标系与参数方程 解: （Ⅰ）因为 24 , 4 , x t y t   消t 得曲线 C 的普通方程为 2 4y x ．·····························2 分 cos , sinx y     ，∴ 2 2sin 4 cos    ， 即曲线C 的极坐标方程为 2sin 4cos   ．············································5 分 （Ⅱ）因为直线 l 过点 P (2,0) 且倾斜角为 4  ， 所以直线 l 的标准参数方程为 22 ,2 ( 2 2 x s s y s      为参数），···························· 7 分 将其代入 2 4y x ，整理可得 2 4 2 16 0s s   ，······································ 8 分 2( 4 2) 4 16 0      ， 设 ,A B 对应的参数分别为 1 2,s s 则 1 2 1 24 2, 16s s s s    ， 所以 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 (4 2) 4 16 4 6AB s s s s s s         ．·········· 10 分 （23）解：(Ⅰ)因为 1a  ，所以 ( ) 1 1f x x x    1 1x x  ≥ 2 ， 当仅当 ( 1)( 1) 0x x  ≤ 时，即 1 1x ≤ ≤ 时， ( )f x 的最小值为 2．··············· 5 分 （Ⅱ）因为 2 A ，所以 (2) 5f  ，即 2 2 5a a    ，································7 分 当 2a   时，不等式可化为 2 2 5a a     ，解得 5 2a   ，所以 5 2a   ； 当 2 2a ≤ ≤ 时，不等式可化为 2 2 5a a    ，此时无解； 当 2a  时，不等式可化为 2 2 5a a    ，解得 5 2a  ，所以 5 2a  ； 综上， a 的取值范围为 5 5, ,2 2             ．······································· 10 分