2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练57　定点、定值、范围、最值问题

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练57　定点、定值、范围、最值问题

课时分层训练(五十七)　定点、定值、范围、最值问题 ‎(对应学生用书第308页)‎ ‎1．(2017·山西临汾一中月考)已知椭圆C：＋y2＝1(a＞0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．‎ ‎[解]　(1)∵直线过点(a,0)和(0,1)，∴直线的方程为x＋ay－a＝0，∵直线与圆x2＋y2＝相切，∴＝，解得a2＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得＋＝2，解得x0＝－1.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，得x1＋x2＝，x1·x2＝，由k1＋k2＝2⇒＋＝2⇒＝2，‎ 即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)⇒(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，‎ 由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k＝m＋1，即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m⇒m(x ‎＋1)＝y－x，‎ 故直线AB过定点(－1，－1)．‎ 综上，直线AB过定点(－1，－1)．‎ ‎2．(2018·云南二检)已知点A，B是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点．直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N.‎ ‎(1)求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；‎ ‎(2)若直线MN过焦点F，＝λ(λ∈R)，求实数λ的值. ‎ ‎【导学号：79140311】‎ ‎[解]　(1)证明：设P(x0，y0)(x0≠±a)，‎ 由已知A(－a,0)，B(a,0)，‎ ‎∴kAP·kBP＝·＝. ①‎ ‎∵点P在椭圆上，∴＋＝1. ②‎ 由①②得kAP·kBP＝＝＝－.‎ ‎∴直线AP与直线BP的斜率之积为定值－.‎ ‎(2)设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，由已知F(－c,0)，直线AP的方程为y＝k1(x＋a)，‎ 直线l的方程为x＝a，则M(a,2ak1)．‎ ‎∵MN⊥BP，∴kMN·k2＝－1.‎ 由(1)知k1·k2＝－，∴kMN＝·k1.‎ 又F，N，M三点共线，得kMF＝kMN，‎ 即＝k1，得2b2＝a(a＋c)．‎ ‎∵b2＝a2－c2，‎ ‎∴2(a2－c2)＝a2＋ac，化简整理得2c2＋ac－a2＝0，‎ 即2＋－1＝0，解得＝或＝－1(舍去)．‎ ‎∴a＝2c.‎ 由＝λ，得(a－c,0)＝λ(a＋c,0)，‎ 将a＝2c代入，得(c,0)＝λ(3c,0)，即c＝3λc，‎ ‎∴λ＝.‎ ‎3．(2018·呼和浩特一调)已知抛物线C1的方程为y2＝4x，椭圆C2与抛物线C1有公共的焦点，且C2的中心在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1分别交于A，B两点．‎ ‎(1)若＝，求直线l的方程；‎ ‎(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C1上，直线l与椭圆C2有公共点，求椭圆C2的长轴长的最小值. ‎ ‎【导学号：79140312】‎ ‎[解]　(1)当直线l的斜率不存在时，l⊥x轴，＝与已知＝矛盾，所以直线l的斜率必存在．‎ 设直线l的斜率为k(k≠0)，‎ 则直线l的方程为y＝k(x－4)．‎ 联立消去x，‎ 得ky2－4y－16k＝0，所以Δ＝16＋64k2＞0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 又因为＝，‎ 所以(4－x1，－y1)＝(x2－4，y2)，‎ 即y1＝－y2.　　 ③‎ 由式①②③消去y1，y2，得k2＝2，即k＝或k＝－，‎ 故直线l的方程为y＝x－4或y＝－x＋4.‎ ‎(2)设P(m，n)，则OP的中点为.‎ 因为O，P两点关于直线y＝k(x－4)对称，‎ 所以 解得 将其代入抛物线方程，得＝4·.‎ 所以k2＝1.‎ 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 则a2－b2＝1，即b2＝a2－1.‎ 联立消去y，‎ 得(b2＋a2k2)x2－8k2a2x＋16a2k2－a2b2＝0.‎ 因为直线与椭圆有交点，‎ 所以Δ＝(－8k2a2)2－4(b2＋a2k2)(16a2k2－a2b2)≥0.‎ 化简整理得Δ＝4a2b2(b2＋a2k2－16k2)‎ ‎ ＝4a2(a2－1)(2a2－17)≥0.‎ 所以(a2－1)(2a2－17)≥0.‎ 因为a2＝b2＋1＞1，所以2a2≥17.‎ 所以2a≥，‎ 因此椭圆C2的长轴长的最小值为.‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；‎ ‎(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．‎ ‎[解]　设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.‎ ‎(1)当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.‎ 因此直线AM的方程为y＝x＋2.‎ 将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.‎ 解得y＝0或y＝，所以y1＝.‎ 因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.‎ ‎(2)由题意t＞3，k＞0，A(－，0)．‎ 将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得 ‎(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.‎ 由x1·(－)＝得x1＝，‎ 故|AM|＝|x1＋|＝.‎ 由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)，‎ 故同理可得|AN|＝.‎ 由2|AM|＝|AN|得＝，‎ 即(k3－2)t＝3k(2k－1)．‎ 当k＝时上式不成立，因此t＝.‎ t＞3等价于＝＜0，‎ 即＜0.‎ 由此得或解得＜k＜2.‎ 因此k的取值范围是(，2)．‎