江苏省南通市2012届高三数学学科基地密卷(二)

江苏省南通市2012届高三数学学科基地密卷(二)

江苏省南通市 2012 届高三数学学科基地密卷(二) 一、选择题 1、已知集合 A={x|6x+a>0}，若 1 A，则实数 a 的取值范围是 ▲ ． 2、某资料室在计算机使用中，产生如右表所示的编码，该编码以一定的规则排列，且从左至右以及从上 到下都是无限的．此表中，主对角线上数列 1，2，5，10，17，…的一个通项公式 = ▲ ． 3、在 中，A（1，1），B（4，5），C（—1，1）， 则与角 A 的平分线共线且方向相同的单位向量 为 ▲ ． 4、已知函数 f(x)满足 f(1)= ，f(x)+ f(y)=4 f( ) f( )(x,y∈R)，则 f(—2011)= ▲ ． 5、已知二次函数 ，若函数 在 上有两个不同的零点，则 的 最 小 值 为 ▲ ． ∉ na ABC∆ 4 1 2 yx +  2 yx − 2( ) ,f x x x k k Z= − + ∈ 2)()( −= xfxg 31, 2  −   )( 2)]([ 2 xf xf + 1 1 1 1 1 1 … 1 2 3 4 5 6 … 1 3 5 7 9 11 … 1 4 7 10 13 16 … 1 5 9 13 17 21 … 1 6 11 16 21 26 … … … … … … … … 6、已知直线 平面 ，直线 平面 ，给出下列命题： ① 若 ，则 ；　　 ②若 ，则 ； ③ 若 ，则 ； 　　④若 ，则 . 其中正确命题的序号是 ▲ ． 7、若复数 z 满足 （i 是虚数单位），则 z= ▲ ． 8、命题 p：函数 y=tanx 在 R 上单调递增，命题 q：△ABC 中，∠A>∠B 是 sinA>sinB 的充要条件，则 p∨ q 是 ▲ 命题．（填“真”“假”） 9、某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h）， 随机选择了 位中学生进行调查，根据所得数据 画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到 右的第 1 个、第 4 个、第 2 个、第 3 个小长方形 的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列， 又第一小组的频数是 10，则 ▲ ． 10、把一颗骰子投掷 2 次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为 ，第二次出现的点数为 ，则方程 组 只有一个解的概率为 ▲ ． 11、如果 ， 那么 = ▲ ． l ⊥ α m ⊂ β / /α β l m⊥ α β⊥ / /l m / /l m α β⊥ l m⊥ / /α β ( 3 ) 4i z i− = n =n a b 3, 2 2. ax by x y + =  + = 2(tan ) sin 5sin cosf x x x x= −  (5)f 12、已知双曲线 的一个焦点在圆 上，则双曲线的渐近线方程 为 ▲ ． 13、程序框图如下，若恰好经过 6 次循环输出结果，则 a= ▲ ． 14、将函数 y＝sin（2x＋ ）的图象向左平移至少 ▲ 个单位，可得一个偶函数的图象． 二、解答题 15、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 焦 点 为 的 抛 物 线 上 有 两 个 动 点 、 ， 且 满 足 , 过 、 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ． （1） 求： 的值； （2） 证明： 为定值． 19 22 =− m yx 05422 =−−+ xyx 5 6 π xoy F yx 42 = A B FBAF λ= A B →−− OA →−− ⋅OB ABFM ⋅ Y 结束 开始 0, 1T i← ← ( 1 )iT T a a a Z← + > ∈且 输出 T200T > N1i i← + 16、 由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年 12 个月内每月销售量 （单位：吨）与上 市时间 （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线 表示，销售价格 （单位：元／千克） 与上市时间 （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段 表示（ 为顶点）． （Ⅰ）请分别写出 , 关于 的函数关系式，并求出在这一年内 3 到 6 月份的销售额最大的月份？ （Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为 ，动点 在 内（包括边界），求 的最大值； (Ⅲ) 由（Ⅱ），将动点 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如 类比为 ），试列出 所满足的条件，并求出相应的最大值． （图 1） （图 2） 17、 各项均为正数的等比数列 ，a1=1， =16，单调增数列 的前 n 项和为 ， ，且 （ ）． （Ⅰ）求数列 、 的通项公式； （Ⅱ）令 （ ），求使得 的所有 n 的值，并说明理由． (Ⅲ) 证明 中任意三项不可能构成等差数列． ( )P t t ABCDE ( )Q t t GHR H ( )P t ( )Q t t M ( , )P x y M 5z x y= − ( , )P x y 1 2 3 3x y≤ − ≤ 2 31 3x y ≤ ≤ ( , )P x y }{ na 2a 4a }{ nb nS 4 3a b= 26 3 2n n nS b b= + + *Nn ∈ }{ na }{ nb n n n bc a = *Nn ∈ 1nc > }{ na 18、 如图，已知：椭圆 M 的中心为 O，长轴的两个端点为 A、B，右焦点为 F，AF=5BF．若椭圆 M 经过 点 C，C 在 AB 上的射影为 F，且△ABC 的面积为 5． （Ⅰ）求椭圆 M 的方程； （Ⅱ）已知圆 O： =1，直线 =1，试证明：当点 P(m，n)在椭圆 M 上运动时，直线 l 与圆 O 恒相交；并求直线 l 被圆 O 截得的弦长的取值范围． 19、 如图，把长、宽分别为 4、3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角． （Ⅰ）求顶点 B 和 D 之间的距离； （Ⅱ）现发现 BC 边上距点 C 的 处有一缺口 E，请过点 E 作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一 个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论． 20、 已知 ABC 的面积 S 满足 ，且 =—8． （Ⅰ）求角 A 的取值范围； （Ⅱ）若函数 ，求 的最大值． 2 2+x y :l mx ny+ 3 1 ∆ 4 4 3S≤ ≤ AB AC⋅  2 2cos 2sin 3 3 sin cos 4 4 4 4 ( ) x x x xf x − + ⋅= ( )f A xO FA F1 B C y A B C D E. A CB E. D 21、在 A，B，C，D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤． A．选修 4—1　几何证明选讲 已知 中， , 是 外接圆劣弧 上 的点（不与点 重合），延长 至 . 求证： 的延长线平分 . B．选修 4—2　矩阵与变换 已知矩阵 ，若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为α1＝ ，属于特征值 5 的一个特 征向量为α2= ．求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵． C．选修 4—4　参数方程与极坐标 已知圆 C 的参数方程为 ，若 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交点，以原点 O 为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点 P 的圆 C 的切线为 ，求直线 的极坐标方程． D．选修 4—5　不等式证明选讲 设 均为正数，证明： . ABC∆ ACAB = D ABC∆ AC CA, BD E AD CDE∠    = 41 baA     −1 3     1 1 ( )为参数θ θ θ    += += sin23 ,cos21 y x l l cba ,, cbaa c c b b a ++≥++ 222 22、 已知一口袋中共有 4 只白球和 2 只红球 （1）从口袋中一次任取 4 只球，取到一只白球得 1 分，取到一只红球得 2 分，设得分为随机变量 X， 求 X 的分布列与数学期望； （2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求 6 次取球后恰好被停止 的概率． 23、 如果实数 x，y，t 满足|x—t|≤|y—t|，则称 x 比 y 接近 t． （Ⅰ）设 a 为实数，若 a|a| 比 a 更接近 1，求 a 的取值范围； （Ⅱ）f(x)=ln ，证明： 比 更接近 0（k∈Z）． 以下是答案 一、选择题 1、 2、(n—1)2+1 3、 4、 5、 6、①③ 7、—1+ 1 1 + − x x 2 ( ) n k f k = ∑ 22 2 ( 1) n n n n − − + ( , 6]−∞ − )5 52,5 5(− 1 4 28 81 3i 8、 真 9、 100 10、 11、0 12、 13、2 14、 二、解答题 15、解：设 焦点 F（0,1） 消 得 化简整理得 （定值） （2）抛物线方程为 过抛物线 A、B 两点的切线方程分别为 和 11 12 xy 3 22±= 3 π )4,(),4,( 2 2 2 2 1 1 xxBxxA  ∴ )14,(),41,( 2 2 2 2 1 1 −=−−= xxFBxxAF  FBAF λ= ∴    −=− =− )14(41 2 2 2 1 21 xx xx λ λ λ 0)41()14( 2 1 2 2 2 1 =−+− xxxx 0)14)(( 21 21 =+− xxxx 21 xx ≠ 421 −=∴ xx 144 2 2 2 1 21 =⋅=∴ xxyy ∴ 32121 −=+=⋅ yyxxOBOA 2 4 1 xy = xy 2 1=′∴ ∴ 4)(2 1 2 1 11 xxxxy +−= 4)(2 1 2 2 22 xxxxy +−= 即 和 联立解出两切线交点 的坐标为 = （定值） 16、解(Ⅰ) ． （ 在 恒成立，所以函数在 上递增 当 t=6 时， =34.5． ∴6 月份销售额最大为 34500 元 ． (Ⅱ) ，z=x—5y． 令 x—5y=A(x+y)+B(x—y)，则 ， ∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y)．由 , ， ∴ ,则(z)max=11 ． (Ⅲ)类比到乘法有已知 ,求 的最大值．由 =( )A·( )B ．∴ , ∴ ，则(z)max= ． 42 1 2 1 1 xxxy −= 42 1 2 2 2 xxxy −= M      −+ 1,2 21 xx       −−     −+=⋅∴ 4,2.2 2 1 2 2 12 21 xxxxxxABFM 022 2 1 2 2 2 1 2 2 =−−− xxxx 5 0 3, 1 3 6,( ) 11 6 9, 7 9 12 t t t tP t t t t t − + ≤ ≤  − < ≤= − + < ≤  − < ≤ 21( ) ( 4) 6 (0 12)16Q t t t= − − + ≤ ≤ 21( ) ( ) ( 1)[ ( 4) 6]16P t Q t t t⋅ = − − − + 3 6)t< ≤ ' 23( ( ) ( )) [( 3) 33]16P t Q t t⋅ = − − − 0> (3,6]t ∈ ]6,3( max[ ( ) ( )]P t Q t    ≤−≤ ≤+≤ 71 115 yx yx    = −=⇒    −=− =+ 3 2 5 1 B A BA BA 10)(222 −≤+−≤− yx 21)(33 ≤−≤ yx 19 11z− ≤ ≤    ≤≤ ≤≤ 71 115 y x xy 5y xz = 5y x xy y x    = −=⇒    −=− =+ 3 2 5 1 B A BA BA 25 1)(121 1 2 ≤≤ −xy 343)(1 3 ≤≤ xy 25 343 121 1 ≤≤ z 25 343 17、（Ⅰ）∵ = ， =4，∵ ，∴q=2，　∴ ∴b3= ＝8. ∵ +2　① 当 n≥2 时， +2 ② ①-②得 即 ∵ ∴ =3，∴ 是公差为 3 的等差数列． 当 n＝1 时， +2，解得 =1 或 =2， 当 =1 时， ，此时 =7，与 矛盾；当 时 ，此时此时 =8= ，∴ ．　 （Ⅱ）∵ ，∴ ＝ ，∴ =2>1， = ＞1， =2>1, >1， <1，下面 证明当 n≥5 时， 事实上，当 n≥5 时， ＝ ＜0 即 ，∵ <1 ∴当 n≥5 时， ， 故满足条件 的所有 n 的值为 1，2，3，4． (Ⅲ)假设 中存在三项 p,q,r (p 12 −= n na 4a 26 3n n nS b b= + 2 1 1 16 3n n nS b b− − −= + 2 2 1 16 3 3n n n n nb b b b b− −= − + − 1 1 1( )( ) 3( )n n n n n nb b b b b b− − −+ − = + 0>nb 1n nb b −− }{ nb 2 1 1 16 3b b b= + 1b 1b 1b 3 2nb n= − 3b 83 =b 31 =b 3 1nb n= − 3b 4a 3 1nb n= − 3 1nb n= − n n n bc a = 1 3 1 2n n − − 1c 2c 5 2 3c 4 11 8c = 5 7 8c = 1nc < 1 1 3 2 3 1 2 2n n n n n nc c+ − + −− = − 4 3 2n n− 1n nc c+ < 5 7 8c = 1nC }{ na  2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(1 )c a cy b a a −= − = 2 2a cy a −= 2 21 2 52 a ca a −⋅ ⋅ = 2 2a c− 解（1）（2）得 a=3， c=2. ∴ =9—4=5．∴所求椭圆 M 的方程为： ． (Ⅱ) 圆 O 到直线 =1 距离 d= ，由点 P(m,n)在椭圆 M 上，则 ，显然 ，∴ 1， >1, ∴d = <1， 而圆 O 的半径为 1，直线 l 与圆 O 恒相交． 弦长 t=2 =2 ,由 得 ， ∴ , t=2 , ， ∴ ， ， ∴ ，弦长 t 的取值范围是[ ]． 19、（Ⅰ） 由已知 BO= ,OD= 在 Rt△BOD 中, BD= . （Ⅱ）方案(一)过 E 作 EF//AC 交 AB 于 F,EG//CD,交 BD 于 G, , 平面 EFG//平面 ACD 2 2 2b a c= − 2 2 19 5 x y+ = :l mx ny+ 2 2 1 m n+ 2 2 19 5 m n+ = 2 2m n+ > 2 2 9 5 m n+ 2 2m n+ > 2 2m n+ 2 2 1 m n+ 21 d− 2 2 11 m n − + 2 2 19 5 m n+ = 2 2 5(1 )9 mn = − 2 2 2 1 9 4 45m n m =+ + 2 91 4 45m − + | |m a≤ 20 9m≤ ≤ 245 4 45 81m≤ + ≤ 2 4 9 815 4 45 9m ≤ − ≤+ 4 5 4 2,5 3 ACDOD ACDBO ACACDABC ABCBO 面 面 面面 面 面面 ⊂ ⊥⇒       =∩ ⊂ ⊥ ∆ ACDABC O垂足 为AC,⊥BO中作ABC在 BO OD  ⇒ ⊥  5 12 5 193 5 337 EEGEF ACD面EG//同理 // // =∩ ⇒    ⊂ ⊄ ACDEF ACDAC ACDEF ACEF 面 面 面 ⇒         A B C D E. 原三棱锥被分成三棱锥 B-EFG 和三棱台 EFG-CAD 两部分,此时 . 方案(二)过 E 作 EP//BD 交 CD 于 P,EQ//AB,交 AC 于 Q,同(一)可证平面 EPQ//平面 ABD,原三棱锥 被分割成三棱锥 C-EPQ 和三棱台 EPQ-BDA 两部分,此时 , 为使截去部分体积最小,故选用方案(二). 20、（Ⅰ）∵ =—8，∴ =—8， ∴ = ① ∵ ② 将①代入②得 ，由 ，得 ， 又 ，∴ . （Ⅱ） = = = = = ， 当 ，即 时， 取得最大值， 同时， 取得最大值 ． 21、 A．选修 4—1　几何证明选讲 解（Ⅰ）设 为 延长线上一点 ∵ 四点共圆， ∴ 又 ∴ , 且 , ∴ , 27 8)3 2( 3 == − − ACDB EFGB V V 27 1)3 1( 3 == − − BDAC EPQC V V AB AC⋅  | | | | cosAB AC AB AC A⋅ ⋅ ⋅=    | | | |AB AC⋅  8 cos A − |1 | | | sin 2 BA ACS A⋅= ⋅  4tanS A= − 4 4 3S≤ ≤ 3 tan 1A− ≤ ≤ − (0, )A π∈ 2 3,3 4A π π ∈   2 2( ) cos 2sin 3 3sin cos4 4 4 4 A A A Af A = − + ⋅ 1 3 3(1 cos ) (1 cos ) sin2 2 2 2 2 A A A+ − − + 3 3 3 1sin cos2 2 2 2 2 A A+ − 3 1 13( sin cos )2 2 2 2 2 A A+ − 13(sin cos cos sin )2 6 2 6 2 A Aπ π+ − 13sin( )2 6 2 A π+ − 2 6 2 A π π+ = A = 3 2π sin( )2 6 A π+ ( )f A 5 2 F AD DCBA ,,, CDFABC ∠=∠ ACAB = ACBABC ∠=∠ ACBADB ∠=∠ CDFADB ∠=∠ 对顶角 , 故 , 即 的延长线平分 . B．选修 4—2　矩阵与变换 解：由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α1＝ 可得， ＝ ， 即 ； 由矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为 α2＝[1 1 ]，可得 ＝5 ， 即 ， 解得 即 A＝ ， A 的逆矩阵是 C．选修 4—4　参数方程与极坐标 解 由题设知,圆心 ∠CPO=60°,故过 P 点的切线的倾斜角为 30° 设 是过 P 点的圆 C 的切线上的任一点， 则在△PMO 中，∠MOP= 由正弦定理得 ，即为所求切线的极坐标方程. D．选修 4—5　不等式证明选讲 证明： 即得 . 另证 利用柯西不等式 取 代入即证. ADBEDF ∠=∠ CDFEDF ∠=∠ AD CDE∠     −1 3     41 ba     −1 3     −1 3 33 =− ba     41 ba     1 1     1 1 5=+ ba    = = 3 2 b a     4 3 1 2     −      − 5 2 5 3 5 1 5 4 ( ) ( )0.2,3,1 PC ( )θρ,M θ 00 150,30 =∠−=∠ OPMOMP θ ( )θ ρ −=∴∠=∠ 00 30sin 2 sin150,sinsin OMP OP OPM OM ( ) ( )( )130sin160cos 00 =−=+∴ θρθρ 或 )()()( 222222 aa ccc bbb acbaa c c b b a +++++=+++++ cba 222 ++≥ cbaa c c b b a ++≥++ 222 .2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1332211 bbbaaabababa ++++≤++ abcbbb a ca c ba b aa ====== 321321 ,,,,, 22、解：（1）X 的可能取值为 4、5、6. P(X=4)= P(X=5)= P(X=6)= X 的分布列为 P 4 5 6 X (2)设 “6 次取球后恰好被停止”为事件 A 则 6 次取球后恰好被停止的概率为 23、(Ⅰ)|a|a|—1|≤|a—1| （1）当 0

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