2020年高中数学 第一讲不等式的基本性质

2020年高中数学 第一讲不等式的基本性质

‎1.1.1‎‎ 不等式的基本性质 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为(　　)‎ A．m＞n　　　　　　 B．m≥n C．m＜n D．m≤n 解析：因为m－n＝(2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0.‎ 所以m≥n.‎ 答案：B ‎2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是(　　)‎ A.＞ B.＞ C．|a|＞|b| D．a2＞b2‎ 解析：取a＝－2，b＝－1，则＝－1＜－＝.‎ 所以B不成立．‎ 答案：B ‎3．已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是(　　)‎ ‎①a＜b＜0⇒a2＜b2；②＜c⇒a＜bc；‎ ‎③ac2＞bc2⇒a＞b；④a＜b＜0⇒＜1.‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：①不正确．因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，‎ 所以(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.‎ ‎②不正确．因为＜c，若b＜0，则a＞bc.‎ ‎③正确．因为ac2＞bc2，所以c≠0，所以a＞b.‎ ‎④正确．因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，所以1＞＞0.‎ 答案：C ‎4．设a，b∈R，则“(a－b)a2≥‎0”‎是“a≥b”的(　　)‎ 4‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当(a－b)a2≥0时，由a2≥0得a－b≥0，即a≥b，反之也成立，故“(a－b)a2≥‎0”‎是“a≥b”的充要条件．‎ 答案：C ‎5．(2016·北京卷)已知x，y∈R，且x＞y＞0，则(　　)‎ A.－＞0 B．sin x－sin y＞0‎ C.－＜0 D．ln x＋ln y＞0‎ 解析：函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，所以当x＞y＞0时，＜，即－＜0，故C正确；函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，所以由x＞y＞0⇒＜⇒－＜0，故A错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x＞y＞0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；x＞y＞0 xy＞1 ln(xy)＞0 ln x＋ln y＞0，故D错误．‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．‎ 解析：因为a－＝＜0，‎ 所以a＜.‎ 又因为a－a2＝a(1－a)＞0，‎ 所以a＞a2，所以a2＜a＜.‎ 答案：a2＜a＜ ‎7．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范围是______．‎ 解析：因为－4＜b＜2，‎ 所以0≤|b|＜4，‎ 所以－4＜－|b|≤0.‎ 4‎ 又1＜a＜3，‎ 所以－3＜a－|b|＜3.‎ 答案：(－3，3)‎ ‎8．设a＞0，b＞0，则＋与a＋b的大小关系是________．‎ 解析：＋－(a＋b)＝－(a＋b)＝.‎ 因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0.‎ 所以＋≥a＋b.‎ 答案：＋≥a＋b 三、解答题 ‎9．已知α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，求α＋3β的取值范围．‎ 解：设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，‎ 可解得λ＝－1，μ＝2，‎ 所以α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．‎ 又－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，‎ 所以1≤α＋3β≤7.‎ 故α＋3β的取值范围是[1，7]．‎ ‎10．已知a＞b＞0，比较与的大小．‎ 解：－＝＝.‎ 因为a＞b＞0，‎ 所以a－b＞0，b(b＋1)＞0.‎ 所以＞0.‎ 所以＞.‎ B级　能力提升 ‎1．(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞1，0＜c＜1，则(　　)‎ A．ac＜bc B．abc＜bac C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 解析：法一　由0＜c＜1知y＝xc在(1，＋∞)上单调递增，故由a＞b＞1知ac＞bc，A错；‎ 因为0＜c＜1，所以－1＜－c＜0，所以y＝xc－1在x∈(0，＋∞)上是减函数，所以bc－‎ 4‎ ‎1＞ac－1，又ab＞0，所以ab·bc－1＞ab·ac－1，即abc＞bac，B错；‎ 易知y＝logcx是减函数，所以0＞logcb＞logca，所以logbc＜logac，D错；‎ 由logbc＜logac＜0，得－logbc＞－logac＞0，又a＞b＞1＞0，所以－alogbc＞－blogac＞0，所以alogbc＜blogac，故C正确．‎ 法二　依题意，不妨取a＝10，b＝2，c＝.易验证A、B、D均是错误的，只有C正确．‎ 答案：C ‎2．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式：‎ ‎①＞；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2.‎ 其中不成立的是________．‎ 解析：①－＝＝.‎ 因为a－b＞0，a(a－1)的符号不确定，①不成立；‎ ‎②取a＝2，b＝－2，则(a＋b)2＝0，(b＋1)2＝1，②不成立；‎ ‎③取a＝2，b＝－2，则(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立．‎ 答案：①②③‎ ‎3．已知＞，bc＞ad，求证：ab＞0.‎ 证明：⇒ 又bc＞ad，则bc－ad＞0.‎ 由②得bc－ad＞0.‎ 故ab＞0.‎ 4‎