2020年高中数学第一章计数原理1

2020年高中数学第一章计数原理1

‎1.2.2‎‎ 组合 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．某中学一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是(　　)‎ A．C＋C＋C B．CCC C．A＋A＋A D．C 解析：分三类：一年级比赛的场数是C，二年级比赛的场数是C，三年级比赛的场数是C，再由分类加法计数原理可求．‎ 答案：A ‎2．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点均不共线，则以其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．12 D．24‎ 解析：C＝4.‎ 答案：B ‎3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)‎ A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 解析：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C＝2(种)选派方法；‎ 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C＝6(种)选派方法．‎ 由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．‎ 答案：A ‎4．C＋C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)‎ A．C B．C C．C D．C 解析：原式＝(C＋C)＋C＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C＝(C＋C)＋…＋C＝C＝C＝C.‎ 答案：D ‎5．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　)‎ A．140种 B．120种 4‎ C．35种 D．34种 解析：分三种情况：①1男3女共有CC种选法．②2男2女共有CC种选法．③3男1女共CC种选法．则共有CC＋CC＋CC＝34种选法．‎ 答案：D ‎6．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)‎ 解析：由题意知，所有可能的决赛结果有CCC＝6××1＝60(种)．‎ 答案：60‎ ‎7．50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．‎ 解析：分两类，有4件次品的抽法有CC种；有3件次品的抽法有CC种，所以共有CC＋CC＝4 186种不同的抽法．‎ 答案：4 186‎ ‎8．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．‎ 解析：从四个数中任取两个数的取法为C＝6.‎ 答案：6 ‎ ‎9．已知＝3，求n.‎ 解析：原方程可变形为＋1＝，‎ 即C＝C，‎ 即 ‎＝·，‎ 化简整理得n2－3n－54＝0.‎ 解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)．‎ 所以n＝9.‎ ‎10．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？‎ ‎(1)甲当选且乙不当选；‎ ‎(2)至少有1女且至多有3男当选．‎ 解析：(1)∵甲当选且乙不当选，‎ ‎∴只需从余下的8人中任选4人，有C＝70种选法．‎ ‎(2)至少有1女且至多有3男当选时，应分三类：‎ 4‎ 第一类是3男2女，有CC种选法；‎ 第二类是2男3女，有CC种选法；‎ 第三类是1男4女，有CC种选法．‎ 由分类加法计数原理知，‎ 共有CC＋CC＋CC＝186种选法. ‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法是(　　)‎ A．CC B．CA C．CACA D．AA 解析：分两步进行：第一步：选出两名男选手，有C种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种．故有CA种．‎ 答案：B ‎2．某单位拟安排6位员工在2016年端午节3天假期值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值第一日，乙不值最后一日，则不同的安排方法共有(　　)‎ A．30种 B．36种 C．42种 D．48种 解析：所有排法减去甲值第一日或乙值最后一日，再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法，即有CC－2×CC＋CC＝42(种)排法．‎ 答案：C ‎3.如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．‎ 解析：四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有C－C＝16(种)．‎ 答案：16‎ ‎4．如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有________个．‎ 解析：有一个点在圆内的有：C(C－4)＝248(个)．有两个顶点在圆内的有：C(C－2)＝60(个)．三个顶点均在圆内的有：C＝4(个)．所以共有248＋60＋4＝312(个)．‎ 答案：312‎ ‎5．现有10件产品，其中有2件次品，任意取出3件检查．‎ ‎(1)若正品A被取到，则有多少种不同的取法？‎ 4‎ ‎(2)恰有一件是次品的取法有多少种？‎ ‎(3)至少有一件是次品的取法有多少种？‎ 解析：(1)C＝＝36(种)．‎ ‎(2)从2件次品中任取1件，有C种取法，从8件正品中任取2件，有C种取法，由分步乘法计数原理得，不同的取法共有C×C＝2×＝56种．‎ ‎(3)解法一　含1件次品的取法有C×C种，含2件次品的取法有C×C种，由分类加法计数原理得，不同的取法共有C×C＋C×C＝56＋8＝64种．‎ 解法二　从10件产品中任取3件，取法有C种，不含次品的取法有C种，所以至少有1件次品的取法有C－C＝64种．‎ ‎6．某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行．‎ ‎(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；‎ ‎(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；‎ ‎(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．‎ 全部赛程共需比赛多少场？‎ 解析：(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛‎2C＝2×＝30(场)．‎ ‎(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛‎2A＝2×1×2＝4(场)．‎ ‎(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．‎ 4‎