高考数学大题突破训练理科14

高考数学大题突破训练理科14

高考数学大题突破训练（一）‎ ‎1、设的内角所对的边长分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎2、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．‎ ‎3、已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．‎ ‎4、四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．‎ C D E A B ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．‎ ‎5、设椭圆过点，且着焦点为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 ‎6、设函数．数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，整数．证明：．‎ 高考数学大题突破训练（二）‎ ‎1、在中，，． ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设的面积，求的长．‎ ‎2、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。‎ ‎ （Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎（Ⅲ）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。‎ ‎3、如图，正四棱柱中，，点在上且．‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ ‎4、设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．‎ ‎5、已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．‎ ‎（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．‎ ‎6、设数列的前项和为．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的取值范围．‎ 高考数学大题突破训练（三）‎ ‎1、已知函数（）的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．‎ ‎2、为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。‎ ‎（Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 ‎3、已知函数，求导函数，并确定的单调区间．‎ ‎4、如图，在三棱锥中，，，，．‎ A C B P ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离．‎ ‎5、如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.‎ ‎6、设数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式 高考数学大题突破训练（四）‎ 1、 求函数的最大值与最小值。‎ ‎2、甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.‎ ‎（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望； ‎ ‎(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于‎3”‎这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).‎ ‎3、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点 ‎（Ⅰ）证明：直线；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； ‎ ‎（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。‎ ‎4、已知是函数的一个极值点。‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。‎ ‎5、设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．‎ ‎（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；‎ A y x O B G F F1‎ ‎（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．‎ ‎6、在数列中，，，且 ‎（）．‎ ‎（Ⅰ）设（），证明是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．‎ 高考数学大题突破训练（一）‎ ‎1、解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理及 可得 即，则；‎ ‎（Ⅱ）由得 当且仅当时，等号成立，‎ 故当时，的最大值为.‎ ‎2、解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，‎ 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．‎ ‎（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，‎ 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．‎ ‎（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，‎ 则．‎ 所以，的分布列是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3、解：（1）求导：‎ 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减，‎ 递增 ‎（2），且解得：‎ ‎4、解：（1）取中点，连接交于点，‎ ‎，，‎ 又面面，面，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，，即，‎ 面，．‎ ‎（2）在面内过点作的垂线，垂足为．‎ ‎，，面，，‎ 则即为所求二面角的平面角．‎ ‎，，，‎ ‎，则，‎ ‎，即二面角的大小．‎ ‎5、解 (1)由题意：‎ ‎ ，解得，所求椭圆方程为 ‎ ‎(2)方法一 ‎ 设点Q、A、B的坐标分别为。‎ 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ‎ ‎ ， ‎ 从而 ‎ ‎ ，（1） ，（2）‎ 又点A、B在椭圆C上，即 ‎ ‎ ‎ （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 方法二 设点，由题设，均不为零。‎ 且 ‎ 又 四点共线，可设,于是 ‎ （1）‎ ‎ （2）‎ 由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程 整理得 ‎ （3）‎ ‎ (4)‎ ‎(4)－(3) 　　　得 ‎ 即点总在定直线上 ‎6、解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：，‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，‎ 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 ‎.而，则，‎ ‎，也就是说当时，也成立；‎ 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.‎ ‎ （Ⅲ）证明：由．可得 1， 若存在某满足，则由⑵知：‎ 2， 若对任意都有，则 ‎，即成立.‎ 高考数学大题突破训练（二）‎ ‎1、解：（Ⅰ）由，得，由，得．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由得，‎ 由（Ⅰ）知，故，又，‎ 故，．所以．‎ ‎2、【解】：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，‎ ‎ 记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，‎ 记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，‎ 记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ），故的分布列 ‎ 所以 ‎3、解法一：‎ 依题设知，．‎ ‎（Ⅰ）连结交于点，则．‎ 由三垂线定理知，． 3分 A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F H G 在平面内，连结交于点，‎ 由于，‎ 故，，‎ 与互余．‎ 于是．‎ 与平面内两条相交直线都垂直，‎ 所以平面． 6分 ‎（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，‎ 故是二面角的平面角． 8分 ‎，‎ ‎，．‎ ‎，．‎ 又，．‎ ‎．‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x z 所以二面角的大小为． 12分 ‎ 解法二：‎ 以为坐标原点，射线为轴的正半轴，‎ 建立如图所示直角坐标系．‎ 依题设，．‎ ‎，‎ ‎． 3分 ‎（Ⅰ）因为，，‎ 故，．‎ 又，‎ 所以平面． 6分 ‎（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则 ‎，．‎ 故，．‎ 令，则，，． 9分 等于二面角的平面角，‎ ‎． ‎ 所以二面角的大小为． 12分 ‎4、解：（Ⅰ）． 2分 当（）时，，即；‎ 当（）时，，即．‎ 因此在每一个区间（）是增函数，‎ 在每一个区间（）是减函数． 6分 ‎（Ⅱ）令，则 ‎．故当时，．‎ 又，所以当时，，即． 9分 当时，令，则．‎ 故当时，．因此在上单调增加．‎ 故当时，，即．‎ 于是，当时，．‎ 当时，有．‎ 因此，的取值范围是． 12分 ‎5、解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．‎ 因为四边形为菱形，所以．‎ 于是可设直线的方程为．由得．‎ 因为在椭圆上，所以，解得．‎ 设两点坐标分别为，‎ 则，，，．‎ 所以．所以的中点坐标为．‎ 由四边形为菱形可知，点在直线上， ‎ 所以，解得．所以直线的方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，‎ 所以．所以菱形的面积．‎ 由（Ⅰ）可得，‎ 所以．‎ 所以当时，菱形的面积取得最大值．‎ ‎6、解：‎ ‎（Ⅰ）依题意，，即，‎ 由此得． 4分 因此，所求通项公式为 ‎，．① 6分 ‎（Ⅱ）由①知，，于是，当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎．‎ 又．‎ 综上，所求的的取值范围是． 12分 高考数学大题突破训练（三）‎ ‎1、解：（Ⅰ）‎ ‎．‎ 因为函数的最小正周期为，且，‎ 所以，解得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因此，即的取值范围为．‎ ‎2、解：(1)由得,‎ 从而 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得 ‎ 或 ‎ ‎3、解：‎ ‎．‎ 令，得．‎ 当，即时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 当，即时，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 在上单调递减．‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．‎ 当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．‎ A C B D P ‎4、解法一：‎ ‎（Ⅰ）取中点，连结．‎ ‎，．，‎ ‎．，平面．‎ 平面，．‎ ‎（Ⅱ），，．‎ 又，A C B E P ．‎ 又，即，且，‎ 平面．取中点．连结．‎ ‎，．是在平面内的射影，‎ ‎．是二面角的平面角．‎ 在中，，，，‎ A C B D P H ‎．二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，‎ 平面平面．过作，垂足为．‎ 平面平面，平面．‎ 的长即为点到平面的距离．‎ 由（Ⅰ）知，又，且，平面．‎ 平面，．‎ 在中，，，．‎ ‎． 点到平面的距离为．‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ），，．又，‎ ‎．，平面．平面，．‎ A C B P z x y H E ‎（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．‎ 则．‎ 设．，‎ ‎，．取中点，连结．‎ ‎，，，．‎ 是二面角的平面角．‎ ‎，，，‎ ‎．二面角的大小为．‎ ‎（Ⅲ），‎ 在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．‎ 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．，‎ 点的坐标为．．点到平面的距离为．‎ ‎5、解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，‎ 因为△MNF为正三角形， 所以,‎ 即1＝ 因此，椭圆方程为 ‎ (Ⅱ)设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，‎ ‎ (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，‎ 设直线AB的方程为：整理得 所以因为恒有，所以AOB恒为钝角.‎ 即恒成立.‎ 又a2+b‎2m2‎>0,所以-m‎2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，即a2b‎2m2‎> a2 -a2b2+b2对mR恒成立.‎ 当mR时，a2b‎2m2‎最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0. a20,b>0,所以a0,解得a>或a<(舍去)，即a>,‎ 综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一，‎ ‎（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，‎ x=1代入=1.‎ 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1,‎ 解得a>或a<(舍去)，即a>.‎ ‎（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.‎ 设直线AB的方程为y=k(x-1)代入 得(b2+a2k2)x2‎-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,‎ 故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,‎ 所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+ y1y2<0恒成立.‎ x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2‎ ‎=(1+k2).‎ 由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0对kR恒成立.①当a2- a2 b2+b2>0时，不合题意；‎ ‎②当a2- a2 b2+b2=0时，a=;③当a2- a2 b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- ‎3a2 +1>0,‎ 解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.‎ 综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.‎ ‎6、【解】：由题意知，且 ‎ 两式相减得 即 ①‎ ‎（Ⅰ）当时，由①知 于是 ‎ 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即 ‎ 当时，由由①得 因此 得 高考数学大题突破训练（四）‎ ‎1、【解】：‎ 由于函数在中的最大值为 ‎ ‎ 最小值为 ‎ ‎ 故当时取得最大值，当时取得最小值 ‎2、(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且 ‎ 所以ε的分布列为 ε ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ε的数学期望为 ‎　　　　　Eε=‎ 解法二：根据题设可知 因此ε的分布列为 ‎（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又 由互斥事件的概率公式得 解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).‎ ‎=‎ ‎3、方法一（综合法）‎ ‎ （1）取OB中点E，连接ME，NE 又 ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ 为异面直线与所成的角（或其补角）‎ ‎ 作连接 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 所以 与所成角的大小为 ‎ （3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 ‎ 于点Q，‎ ‎ 又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ‎ ，‎ ‎ ，所以点B到平面OCD的距离为 方法二(向量法)‎ 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 ‎,‎ ‎(1)‎ 设平面OCD的法向量为,则 即 ‎ 取,解得 ‎(2)设与所成的角为,‎ ‎ , 与所成角的大小为 ‎(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,‎ ‎ 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 ‎4、【解】：（Ⅰ）因为 所以 因此 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ‎ ‎ ‎ 当时， 当时，‎ 所以的单调增区间是 的单调减区间是 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，‎ 所以的极大值为，极小值为 因此 ‎ 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当 因此，的取值范围为。‎ A y x O B G F F1‎ ‎5、【解析】（1）由得，‎ 当得，G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，‎ 即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；‎ ‎（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，‎ 同理 以为直角的只有一个。‎ 若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， ‎ ‎。‎ 关于的二次方程有一大于零的解，有两解，‎ 即以为直角的有两个，‎ 因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。‎ ‎6、（Ⅰ）证明：由题设（），得 ‎，即，．‎ 又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）‎ ‎　　　　　　　　，　，　……　，，（）．‎ 将以上各式相加，得（）．‎ 所以当时，上式对显然成立．‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．‎ 由可得，由得，　①‎ 整理得，解得或（舍去）．于是．‎ 另一方面，，　．‎ 由①可得，．所以对任意的，是与的等差中项．‎