初中数学八年级上册第十三章轴对称13-3等腰三角形1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教案 人教版

初中数学八年级上册第十三章轴对称13-3等腰三角形1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教案 人教版

等腰三角形 等腰三角形（一）‎ ‎ 教学目标 ‎ （一）教学知识点 ‎ 1．等腰三角形的概念．‎ ‎ 2．等腰三角形的性质．‎ ‎ 3．等腰三角形的概念及性质的应用．‎ ‎ （二）能力训练要求 ‎ 1．经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．‎ ‎ 2．探索并掌握等腰三角形的性质．‎ ‎ （三）情感与价值观要求 ‎ 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．‎ ‎ 教学重点 ‎ 1．等腰三角形的概念及性质．‎ ‎ 2．等腰三角形性质的应用．‎ ‎ 教学难点 ‎ 等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．‎ ‎ 教学方法 ‎ 探究归纳法．‎ ‎ 教具准备 ‎ 师：多媒体课件、投影仪；‎ ‎ 生：硬纸、剪刀．‎ ‎ 教学过程 ‎ Ⅰ．提出问题，创设情境 17‎ ‎ [师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？‎ ‎ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．‎ ‎ [师]那什么样的三角形是轴对称图形？‎ ‎ [生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．‎ ‎ [师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．‎ ‎ Ⅱ．导入新课 ‎[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．‎ ‎ ‎ ‎ 作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．‎ ‎ [生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．‎ ‎ [师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P138探究中的方法，剪出一个等腰三角形．‎ ‎ ……‎ ‎ [师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．‎ ‎ [师]有了上述概念，同学们来想一想．‎ 17‎ ‎ （演示课件）‎ ‎ 1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．‎ ‎ 2．等腰三角形的两底角有什么关系？‎ ‎ 3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？‎ ‎ 4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？‎ ‎ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．‎ ‎ [师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．‎ ‎ [生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．‎ ‎ [生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．‎ ‎ [生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．‎ ‎ [生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．‎ ‎ [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．‎ ‎ [生齐声]它们是同一条直线．‎ ‎ [师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．‎ ‎ [生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．‎ ‎ [师]很好，大家看屏幕．‎ ‎ （演示课件）‎ ‎ 等腰三角形的性质：‎ ‎ 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．‎ 17‎ ‎ 2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．‎ ‎ [师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．‎ ‎ （投影仪演示学生证明过程）‎ ‎ [生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为 ‎ ‎ ‎ 所以△BAD≌△CAD（SSS）．‎ ‎ 所以∠B=∠C．‎ ‎ [生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为 ‎ ‎ ‎ 所以△BAD≌△CAD．‎ ‎ 所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．‎ ‎ [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．‎ ‎ （演示课件）‎ ‎[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，‎ 求：△ABC各角的度数．‎ ‎ [师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．‎ ‎[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到 ‎∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，‎ 再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．‎ 17‎ 再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．‎ ‎ [师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．‎ ‎ （课件演示）‎ ‎ [例]因为AB=AC，BD=BC=AD，‎ ‎ 所以∠ABC=∠C=∠BDC．‎ ‎ ∠A=∠ABD（等边对等角）．‎ ‎ 设∠A=x，则 ‎ ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，‎ ‎ 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．‎ ‎ 于是在△ABC中，有 ‎ ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，‎ ‎ 解得x=36°．‎ ‎ 在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．‎ ‎ [师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．‎ ‎ Ⅲ．随堂练习 ‎ （一）课本P51练习 1、2、3．‎ ‎ 练习 1． 如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．‎ ‎ 答案：（1）72° （2）30°‎ 2． 如右图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？‎ 17‎ ‎ 答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．‎ 1． 如右图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．‎ 答：∠B=77°，∠C=38.5°．‎ ‎ （二）阅读课本P138～P140，然后小结．‎ ‎ Ⅳ．课时小结 ‎ 这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．‎ ‎ 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．‎ ‎ Ⅴ．课后作业[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎ （一）课本P56─1、3、4、8题．‎ ‎ （二）1．预习课本P51～P53．‎ ‎ 2．预习提纲：等腰三角形的判定．‎ ‎ Ⅵ．活动与探究 ‎ 如右图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．‎ 求证：AE=CE．‎ 17‎ ‎ 过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质．‎ ‎ 结果：‎ ‎ 证明：延长CD交AB的延长线于P，如右图，在△ADP和△ADC中 ‎ ‎ ‎ ∴△ADP≌△ADC．‎ ‎ ∴∠P=∠ACD．‎ ‎ 又∵DE∥AP，‎ ‎ ∴∠4=∠P．‎ ‎ ∴∠4=∠ACD．‎ ‎ ∴DE=EC．‎ ‎ 同理可证：AE=DE．‎ ‎ ∴AE=CE．‎ ‎ 板书设计 ‎ §12．3．1等腰三角形（一）‎ ‎ 一、设计方案作出一个等腰三角形 ‎ 二、等腰三角形性质 ‎ 1．等边对等角 ‎ 2．三线合一 ‎ 三、例题分析 ‎ 四、随堂练习 17‎ ‎ 五、课时小结 ‎ 六、课后作业 ‎ 备课资料 ‎ 参考练习 ‎ 一、选择题 ‎ 1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）‎ ‎ A．某一条边上的高; B．某一条边上的中线 ‎ C．平分一角和这个角对边的直线; D．某一个角的平分线 ‎ 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）‎ ‎ A．80° B．20° C．80°和20° D．80°或50°‎ ‎ 答案：1．C 2．C ‎ 二、已知等腰三角形的腰长比底边多‎2cm，并且它的周长为‎16cm．‎ ‎ 求这个等腰三角形的边长．‎ ‎ 解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得 ‎ 2（x+2）+x=16．‎ ‎ 解得x=4．‎ ‎ 所以，等腰三角形的三边长为‎4cm、‎6cm和‎6cm．‎ 17‎ ‎§12．3．1 等腰三角形（二）‎ ‎ 教学目标 ‎ （一）教学知识点 ‎ 探索等腰三角形的判定定理．‎ ‎ （二）能力训练要求 ‎ 探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．‎ ‎ （三）情感与价值观要求 ‎ 通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力．‎ ‎ 教学重点 ‎ 等腰三角形的判定定理及其应用．‎ ‎ 教学难点 ‎ 探索等腰三角形的判定定理．‎ ‎ 教学方法 ‎ 讲练结合法．[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎ 教具准备 ‎ 多媒体课件、投影仪．‎ ‎ 教学过程 ‎ Ⅰ．提出问题，创设情境 ‎ [师]上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢？‎ ‎ [生甲]等腰三角形的两底角相等．‎ ‎ [生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．‎ ‎ [师]同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题．‎ 17‎ ‎ Ⅱ．导入新课 ‎ [师]同学们看下面的问题并讨论：‎ 思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？‎ ‎ 在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？‎ ‎ [生甲]应该能同时赶到出事地点．因为两艘救生船的速度相同，同时出发，在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB，所以两船能同时赶到出事地点．‎ ‎ [生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要，也就是∠A如果不等于∠B，那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点．‎ ‎ [师]现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎ [生丙]我想它们所对的边应该相等．‎ ‎ [师]为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明．‎ ‎ [生丁]我是运用三角形全等来证明的．‎ ‎ （投影仪演示了同学证明过程）‎ ‎ [例1]已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．‎ ‎ 求证：AB=AC．‎ ‎ 证明：作∠BAC的平分线AD．‎ ‎ 在△BAD和△CAD中 ‎ ‎ 17‎ ‎ ∴△BAD≌△CAD（AAS）．‎ ‎ ∴AB=AC．‎ ‎ [师]太好了．从丁同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形．这个结论也回答了我们一开始提出的问题．也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形．‎ ‎ （演示课件）‎ ‎ 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．‎ ‎ [师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用．‎ ‎ （演示课件）‎ ‎ [例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．‎ ‎ [师]这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．‎ ‎ 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．‎ ‎ 求证：AB=AC．‎ ‎ [师]同学们先思考，再分析．‎ ‎ [生]要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C．‎ ‎ [师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容，很好!‎ ‎ [生]接下来，可以找∠B、∠C与∠1、∠2的关系．‎ ‎ [师]我们共同证明，注意每一步证明的理论根据．‎ ‎ （演示课件，括号内部分由学生来填）‎ ‎ 证明：∵AD∥BC，‎ ‎ ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），‎ ‎ ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．‎ 17‎ ‎ 又∵∠1=∠2，‎ ‎ ∴∠B=∠C，‎ ‎ ∴AB=AC（等角对等边）．‎ ‎ [师]看大屏幕，同学们试着完成这个题．‎ ‎ （课件演示）‎ ‎ 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．‎ ‎ 求证：AB=AD．‎ ‎ （投影仪演示学生证明过程）‎ ‎ 证明：∵AD∥BC，‎ ‎ ∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．‎ ‎ 又∵BD平分∠ABC，‎ ‎ ∴∠ABD=∠DBC，[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎ ∴∠ABD=∠ADB，‎ ‎ ∴AB=AD（等角对等边）．‎ ‎ [师]下面来看另一个例题．‎ ‎ （演示课件）‎ ‎[例3]如图（1），标杆AB的高为‎5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=‎4米，绳子CD和CE要多长？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 17‎ ‎ [师]这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．‎ ‎ 解：选取比例尺为1：100（即为‎1cm代表‎1m）．‎ ‎ （1）作线段DE=‎4cm；‎ ‎ （2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；‎ ‎ （3）在MN上截取BC=‎2.5cm；‎ ‎ （4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长．‎ ‎ [师]同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少．‎ ‎ Ⅲ．随堂练习 ‎ （一）课本P53 1、2、3．‎ ‎1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．‎ ‎ 答案：∠1=72°，∠2=36°．‎ ‎ 等腰三角形有：△ABC、△ABD、△BCD．‎ ‎2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？‎ ‎ 答案：是等腰三角形．因为，如图可证∠1=∠2．‎ 17‎ ‎ 3．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD．‎ ‎ 答案：‎ ‎ 证明：∵OA=OB，‎ ‎ ∴∠A=∠B．‎ ‎ 又∵AB∥DC，‎ ‎ ∴∠A=∠C，∠B=∠D．‎ ‎ ∴∠C=∠D．‎ ‎ ∴OC=OD（等角对等边）．‎ ‎ （二）补充练习：‎ ‎ 如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD．‎ ‎ （1）求证：△ABD是等腰三角形．‎ ‎ （2）求∠BAD的度数．‎ ‎ 答案：‎ ‎ （1）证明：∵AC⊥BD，‎ ‎ ∴∠ACB=∠ACD=90°．‎ ‎ 又∵AC=AC，BC=CD，‎ ‎ ∴△ACB≌△ACD（SAS）．‎ ‎ ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．‎ ‎ ∴△ABD是等腰三角形．‎ ‎ （2）解：由（1）可知AB=AD，‎ ‎ ∴∠B=∠D．‎ ‎ 又∵AC=BC，‎ ‎ ∴∠B=∠BAC，‎ ‎ AC=CD．‎ ‎ ∴∠D=∠DAC（等边对等角）．‎ ‎ 在△ABD中，∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°，‎ 17‎ ‎ ∴2（∠BAC+∠DAC）=180°．‎ ‎ ∴∠BAC+∠DAC=90°，‎ ‎ 即∠BAD=90°．‎ ‎ （鼓励学生思考其他解法）‎ ‎ Ⅳ．课时小结 ‎ 本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作了一定的了解．在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力．‎ ‎ Ⅴ．课后作业 ‎ （一）课本P56─2、4、5、9、13题．‎ ‎ （二）预习P53～P54．‎ ‎ Ⅵ．活动与探究 ‎ [探究1]等腰三角形两底角的平分线相等．‎ ‎ 过程：利用等腰三角形的性质即等边对等角，全等三角形的判定及性质．‎ ‎ 结果：‎ ‎ 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分线．‎ ‎ 求证：BD=CE．‎ ‎ 证明：∵AB=AC，‎ ‎ ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．‎ ‎ ∵∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，‎ ‎ ∴∠1=∠2．‎ ‎ 在△BDC和△CEB中，‎ ‎ ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2，‎ ‎ ∴△BDC≌△CEB（ASA）．‎ ‎ ∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．‎ ‎ [探究2]等腰三角形两腰上的高相等．‎ 17‎ ‎ 过程：同探究1．‎ ‎ 结果：‎ ‎ 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分别是△ABC的高．‎ ‎ 求证：BE=CF．‎ ‎ 证明：∵AB=AC，‎ ‎ ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．‎ ‎ 又∵BE、CF分别是△ABC的高，‎ ‎ ∴∠BFC=∠CEB=90°．‎ ‎ 在△BFC和△CEB中，‎ ‎ ∵∠ABC=∠ACB，∠BFC=∠CEB，BC=CB，‎ ‎ ∴△BFC≌△CEB（AAS）．‎ ‎ ∴BE=CF．‎ ‎ [探究3]等腰三角形两腰上的中线相等．‎ ‎ 过程：同探究1．‎ ‎ 结果：‎ ‎ 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的中线．‎ ‎ 求证：BD=CE．‎ ‎ 证明：∵AB=AC，‎ ‎ ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．‎ ‎ 又∵CD=AC，BE=AB，‎ ‎ ∴CD=BE．‎ ‎ 在△BEC和△CDB中，‎ ‎ ∵BE=CD，∠ABC=∠ACB，BC=CB，‎ ‎ ∴△BEC≌△CDB（SAS）．‎ ‎ ∴BD=CE．‎ 17‎ ‎ 板书设计 ‎ §12．3．1 等腰三角形（一）‎ ‎ 一、等腰三角形的判定定理──等角对等边 ‎ 二、等腰三角形判定定理的应用 ‎ 三、随堂作业 ‎ 四、课时小结 ‎ 五、课后作业 ‎ 备课资料 墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平．他拿来一个如下图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤．小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点．如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的．你能说明其中的道理吗？‎ ‎ 答案：根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC（即木条），如果重锤过点A，说明直线AD垂直于水平线，那么木条就是水平的．根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．‎ 17‎