高考数学复习专题五概率随机变量及其分布列理学案

高考数学复习专题五概率随机变量及其分布列理学案

第2讲概率、随机变量及其分布列 考向预测 ‎1．计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；‎ ‎2．概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”．‎ ‎1．概率模型公式及相关结论 ‎(1)古典概型的概率公式．‎ P(A)＝＝．‎ ‎(2)几何概型的概率公式．‎ P(A)＝．‎ ‎(3)条件概率．‎ 在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝．‎ ‎(4)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)．‎ ‎(5)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P()＝1－P(A)．‎ ‎2．独立重复试验与二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k．‎ ‎3．超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n．‎ ‎4．离散型随机变量的均值、方差 ‎(1)离散型随机变量ξ的分布列为：‎ ξ x1‎ x2‎ x3‎ ‎…‎ xi ‎…‎ n P p1‎ p2‎ p3‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；‎ ‎②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n)．‎ ‎(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值．‎ D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差．‎ ‎(3)数学期望、方差的性质．‎ ‎①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．‎ ‎②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．‎ ‎③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．‎ 热点一　随机变量的分布列、均值与方差 ‎【例1】(2019·黄山一模)2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会．黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显．贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一．据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为‎1‎‎4‎，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为‎1‎‎3‎，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为‎1‎‎2‎．‎ ‎（Ⅰ）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；‎ ‎（Ⅱ）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X，求X的分布列；‎ ‎（Ⅲ）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”．请问：他说的是真的吗？‎ 解(Ⅰ)设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A，则P(A)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎16‎，‎ ‎∴帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为‎1‎‎16‎．‎ ‎（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．‎ P(X=0)=‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎‎；‎ P(X=1)=‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎+‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎+‎3‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎=‎‎11‎‎24‎‎；‎ P(X=2)=‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎+‎1‎‎4‎×‎2‎‎3‎×‎1‎‎2‎+‎3‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎‎；‎ P(X=3)=‎1‎‎4‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎24‎‎．‎ 随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎4‎ ‎11‎‎24‎ ‎1‎‎4‎ ‎1‎‎24‎ ‎（Ⅲ）E(X)=‎11‎‎24‎+‎1‎‎2‎+‎1‎‎8‎=‎‎13‎‎12‎，所以E(X)>1‎，所以杨老汉说的是真的．‎ 探究提高　1．求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列．‎ ‎2．对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从二项分布B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得．‎ ‎【训练1】(2017·西安二模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式．若甲、乙、丙3名旅客都准备购买火车票，并且这3名旅客选择购票的方式是相互独立的．‎ ‎(1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率；‎ ‎(2)记这三名旅客购票方式的种数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ 解　(1)记“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件A，“三名旅客都选择网上购票”为事件B，且A，B互斥．‎ 则P(A)＝C××＝，P(B)＝＝．‎ 因此，三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率P＝P(A)＋P(B)＝．‎ ‎(2)由题意，ξ的所有可能取值为1，2，3，‎ 则P(ξ＝1)＝C×＝； P(ξ＝2)＝C××＝； P(ξ＝3)＝×＝．‎ 所以随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故ξ的期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝．‎ 热点二　概率与统计的综合问题 ‎【例2】(2018·德州期末)在创新“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：‎ ‎（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z∼N(μ，198)‎，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P(38．20‎；当p∈(0．1，1)‎时，f‎'‎‎(p)<0‎．‎ 所以f(p)‎的最大值点为p‎0‎‎=0．1‎．‎ ‎（2）由（1）知，p=0．1‎．‎ ‎（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y∼B(180，0．1)‎，X=20×2+25Y，‎ 即X=40+25Y．‎ 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490‎．‎ ‎（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．‎ 由于EX>400‎，故应该对余下的产品作检验．‎ ‎1．【解题思路】(1)本题是独立重复试验，二项分布，可得P(X＝2)；(2)依题意计算ξ的可能取值，‎ 并计算其概率，列出分布列．‎ ‎【答案】解　(1)依题意，每家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为，去另外两个片区建立分公司的 概率为，这4家央企恰有2家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为P＝C＝．‎ ‎(2)由独立重复试验概率，‎ 则P(X＝k)＝C·(k＝0，1，2，3，4)，‎ 随机变量ξ的所有可能取值为0，2，4．‎ P(ξ＝0)＝P(X＝2)＝；P(ξ＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝；‎ P(ξ＝4)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝．‎ 所以随机变量ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎2．【解题思路】(1)从图中找出服药的且指标y的值小于60的人数；(2)此问是超几何分布，依题意计算ξ的可能取值，并计算其概率，列出分布列；(3)根据图示中数据的稳定性即可判断方差的大小．‎ ‎【答案】解　(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，‎ 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0．3．‎ ‎(2)由题图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1．7的有2人：A和C．‎ 所以ξ的所有可能取值为0，1，2．‎ P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝．‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1．‎ ‎(3)由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．‎ ‎1．【解题思路】(1) 投中2次或2次以上，记为达标，就是投中2次或投中3次；(2)应注意连中2次终止，‎ 也可能前两次至多中一次，第三次不中，这时可以肯定不能达标，也终止，所以应依题意列举所有可能情况，再确定X的可能取值，并计算其概率，列出分布列．‎ ‎【答案】解　(1)记“甲达标”为事件A，则P(A)＝C××＋＝．‎ ‎(2)X的所有可能的值为2，3，4．‎ P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝××＋××＋＋××＝，‎ P(X＝4)＝××＋××＝．‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴E(X)＝2×＋3×＋4×＝．‎ ‎2．【解题思路】(1) 完成2×2列联表，并起算K2；(2)应注意优良中的人怎么抽和成绩不优良的乙班人数无关，所以只需考虑不优良的11人中抽取3人的情况，此时此3人可能分属甲乙两班，属于超几何分布，确定X的可能取值，并计算其概率，列出分布列．‎ ‎【答案】解　(1)由统计数据得2×2列联表：‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ 成绩不优良 ‎11‎ ‎4‎ ‎15‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为k＝≈5．227>5．024，‎ ‎∴能在犯错概率不超过0．025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．‎ ‎(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为×8＝3，则X的可能取值为0，1，2，3．‎ P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝．‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．‎