2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第六章数列顶层设计前瞻数列热点问题

2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第六章数列顶层设计前瞻数列热点问题

www.ks5u.com 数列热点问题 ‎ 三年真题考情 核心热点 真题印证 核心素养 等比(差)数列的判定与证明 ‎2019·全国Ⅱ，19；2018·全国Ⅰ，17；2017·全国Ⅰ，17‎ 逻辑推理、数学运算 通项与求和 ‎2019·天津，19；2018·全国Ⅱ，17；2018·全国Ⅲ，17‎ 数学运算、数学建模 等差与等比数列的综合问题 ‎2019·全国Ⅰ，18；2019·全国Ⅱ，18；2019·北京，16；2017·全国Ⅱ，17；2018·天津，18；2018·全国Ⅰ，17；2018·浙江，20‎ 数学运算、逻辑推理 ‎ 热点聚焦突破 教材链接高考——等比(差)数列的判定与证明 ‎[教材探究]1.(必修5P50例2)根据图2.4－2中的框图(图略，教材中的图)，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？‎ ‎2.(必修5P69B6)已知数列{an}中，a1＝5，a2＝2，且an＝2an－1＋3an－2(n≥3).对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？‎ ‎[试题评析]　(1)题目以程序框图为载体给出递推数列{an}，其中a1＝1，an＝an－1(n>1).进而由递推公式写出前5项，并利用定义判断数列{an}是等比数列.‎ ‎(2)题目以递推形式给出数列，构造数列模型bn＝an＋an－1(n≥2)，cn＝an－3an－1(n≥2)，利用等比数列定义不难得到{bn}，{cn}是等比数列，进而求出数列{an}的通项公式.‎ 两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养.‎ ‎【教材拓展】 (2019·绵阳检测)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝1＋2＋3＋…＋n.‎ ‎(1)求证：数列是等差数列；‎ ‎(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎(1)证明　∵nan＋1－(n＋1)an＝1＋2＋3＋…＋n＝，‎ ‎∴－＝－＝，‎ ‎∴数列是首项为1，公差为的等差数列.‎ ‎(2)解　由(1)知，＝1＋(n－1)＝，‎ ‎∴an＝.‎ ‎∴bn＝＝＝2.‎ ‎∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2(1－＋－＋…＋－)＝.‎ 探究提高　由数列的递推公式证明数列是等差或等比数列，并求其通项公式是数列命题的常见题型，解题的关键是通过适当的变形，转化为等差、等比等特殊的数列问题.‎ ‎【链接高考】 (2019·全国Ⅱ卷)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.‎ ‎(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；‎ ‎(2)求{an}和{bn}的通项公式.‎ ‎(1)证明　由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，‎ 即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn).又因为a1＋b1＝1，‎ 所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列.‎ 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，‎ 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.‎ 又因为a1－b1＝1，‎ 所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列.‎ ‎(2)解　由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，‎ 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，‎ bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.‎ 教你如何审题——等差与等比数列的综合问题 ‎【例题】 (2018·天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.‎ ‎(1)求Sn和Tn；‎ ‎(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值.‎ ‎[审题路线]‎ ‎[自主解答]‎ 解　(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0).‎ 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.‎ 因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.‎ 所以Tn＝＝2n－1.‎ 设等差数列{an}的公差为d.‎ 由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.‎ 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，‎ 故an＝n.‎ 所以Sn＝.‎ ‎(2)由(1)，有 T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n ‎＝－n＝2n＋1－n－2.‎ 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn 可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，‎ 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.‎ 所以n的值为4.‎ 探究提高　1.本题主要考查利用等差、等比数列通项公式与前n项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键.‎ ‎2.利用等差(比)数列的通项公式及前n 项和公式列方程(组)求出等差(比)数列的首项和公差(比)，进而写出所求数列的通项公式及前n项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法.‎ ‎3.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.‎ ‎【尝试训练】 (2019·全国Ⅱ卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和.‎ 解　(1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.‎ 解得q＝－2(舍去)或q＝4.‎ 因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.‎ ‎(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.‎ 满分答题示范——数列的通项与求和 ‎【例题】 (13分)(2019·天津卷)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{cn}满足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*).‎ ‎[规范解答]‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0).‎ 依题意，得解得 由条件建立方程组求公差和公比3′‎ 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.由公式求通项 所以{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3n.5′‎ ‎(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n ‎＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)‎ ‎　根据数列特征分组7′‎ ‎＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)‎ ‎　应用公式求和9′‎ ‎＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n).‎ 记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①‎ 则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②‎ ‎②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1‎ ‎＝－＋n×3n＋1＝.‎ ‎　　　错位相减求和 所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn ‎＝3n2＋3× ‎＝(n∈N*).13′‎ ‎[高考状元满分心得]‎ ‎❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由条件式转化为关于d，q的方程组，由公式求an，bn，在第(2)问中观察数列的结构特征先分组，后用错位相减法求和.‎ ‎❷得关键分：(1)列方程组，(2)分组求和都是不可缺少的过程，有则给分，无则没分.‎ ‎❸得计算分：解题过程中计算正确是得满分的根本保证，特别是第(1)问中的解方程，起着至关重要的作用，第(2)问中的错位相减法求和是计算中的难点.‎ ‎[构建模板]‎ ‎……由等差、等比数列的通项公式列方程组求通项公式 ‎ ‎ ‎……根据数列的特征，先分组，后分别用公式法与错位相减法求和 ‎ ‎ ‎……反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤 ‎【规范训练】 (开放题)在等差数列{an}中，已知a6＝16，a18＝36.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)若________，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 在①bn＝，②bn＝(－1)n·an，③bn＝2an·an这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解.‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.‎ 解　(1)由题意， 解得d＝2，a1＝2.‎ ‎∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.‎ ‎(2)选条件①：bn＝＝，‎ Sn＝＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋ ‎＝1－＝.‎ 选条件②：∵an＝2n，bn＝(－1)nan，‎ ‎∴Sn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，‎ 当n为偶数时， ‎ Sn＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]‎ ‎＝×2＝n；‎ 当n为奇数时，n－1为偶数，‎ Sn＝(n－1)－2n＝－n－1.‎ ‎∴Sn＝ 选条件③：∵an＝2n，bn＝2an·an，‎ ‎∴bn＝22n·2n＝2n·4n，‎ ‎∴Sn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n×4n，①‎ ‎4Sn＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n－1)×4n＋2n×4n＋1，②‎ 由①－②得，‎ ‎－3Sn＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n－2n×4n＋1‎ ‎＝－2n×4n＋1‎ ‎＝－2n×4n＋1，‎ ‎∴Sn＝(1－4n)＋·4n＋1.‎ ‎ 热点跟踪训练 ‎1.(2018·全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.‎ ‎(1)求b1，b2，b3；‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎(3)求{an}的通项公式.‎ 解　(1)由条件可得an＋1＝an.‎ 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.‎ 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.‎ 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.‎ ‎(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：‎ 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.‎ ‎(3)由(2)可得＝2n－1，‎ 所以{an}的通项公式为an＝n·2n－1.‎ ‎2.已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{bn}的前n项和.‎ 解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.‎ 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.‎ ‎(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，‎ 因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列.‎ 记{bn}的前n项和为Sn，则 Sn＝＝－.‎ ‎3.(2019·潍坊期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2，an，Sn成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)数列{bn}满足bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求数列的前n项和Tn.‎ 解　(1)∵2，an，Sn成等差数列，‎ ‎∴2an＝2＋Sn，∴Sn＝2an－2.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－2an－1＋2，‎ ‎∴an＝2an－1.‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，即通项公式为an＝2n.‎ ‎(2)∵log2an＝log22n＝n，‎ ‎∴bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋…＋n ‎＝n(n＋1).‎ ‎∴＝＝2.‎ ‎∴Tn＝2 ‎＝2＝.‎ ‎4.(2020·长沙一模)已知数列{an}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足bn＝a2n－1，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求使b1＋b2＋…＋bn>2 020成立的最小正整数n的值.‎ 解　(1)令n＝1，得a1－2a2＋a3＝0，解得a2＝5.‎ 由an－2an＋1＋an＋2＝0知，‎ an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝2.‎ 故数列{an}是首项a1＝3，公差d＝2的等差数列.‎ 于是an＝2n＋1.‎ 所以bn＝a2n－1＝2n＋1.‎ ‎(2)由(1)知bn＝2n＋1，于是数列{bn}的前n项和 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(21＋22＋…＋2n)＋n ‎＝＋n＝2n＋1＋n－2.‎ 令f(x)＝2x＋1＋x－2，则f′(x)＝2x＋1·ln 2＋1>0，‎ 所以f(x)是关于x的单调递增函数.‎ 又f(9)＝210＋9－2＝1 031，f(10)＝211＋10－2＝2 056，‎ 故使b1＋b2＋…＋bn>2 020成立的最小正整数n的值是10.‎ ‎5.(2019·泉州二模)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝2，an＋1＝Sn＋2.‎ ‎(1)求证：数列{an}为等比数列；‎ ‎(2)记bn＝log2an，数列的前n项和为Tn.若Tn≥10，求λ的取值范围.‎ ‎(1)证明　由已知，得a1＝S1＝2，‎ 则a2＝S1＋2＝4.‎ 当n≥2时，an＝Sn－1＋2，‎ 所以an＋1－an＝(Sn＋2)－(Sn－1＋2)＝an，‎ 所以an＋1＝2an(n≥2).‎ 又a2＝2a1，所以＝2(n∈N*).‎ 所以数列{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列.‎ ‎(2)解　由(1)可知an＝2n，所以bn＝n，‎ 则＝＝λ，‎ 所以Tn＝λ ‎＝λ＝.‎ 由题意，有Tn≥10，即≥10，所以λ≥.‎ 因为＝10≤20，‎ 所以λ的取值范围为[20，＋∞).‎ ‎6.(2020·辽宁五校联考)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，且b2＋S3＝11，S6＝9b3.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ 则解得 所以an＝2n－1，bn＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)得cn＝.‎ 当n＝1时，T1＝1；‎ 当n≥2时，‎ Tn＝1＋＋＋…＋＋，①‎ Tn＝＋＋＋…＋＋.②‎ ‎①－②，得Tn＝1＋＋＋＋…＋－ ‎＝1＋2－＝3－，‎ 所以Tn＝6－(n≥2)，‎ 又n＝1时，T1＝1也适合.‎ 综上所述，Tn＝6－.‎