2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第六章数列顶层设计前瞻数列热点问题

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第六章数列顶层设计前瞻数列热点问题

www.ks5u.com 数列热点问题 ‎ 三年真题考情 核心热点 真题印证 核心素养 等比(差)数列的判定与证明 ‎2019·全国Ⅱ,19;2018·全国Ⅰ,17;2017·全国Ⅰ,17‎ 逻辑推理、数学运算 通项与求和 ‎2019·天津,19;2018·全国Ⅱ,17;2018·全国Ⅲ,17‎ 数学运算、数学建模 等差与等比数列的综合问题 ‎2019·全国Ⅰ,18;2019·全国Ⅱ,18;2019·北京,16;2017·全国Ⅱ,17;2018·天津,18;2018·全国Ⅰ,17;2018·浙江,20‎ 数学运算、逻辑推理 ‎ 热点聚焦突破 教材链接高考——等比(差)数列的判定与证明 ‎[教材探究]1.(必修5P50例2)根据图2.4-2中的框图(图略,教材中的图),写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?‎ ‎2.(必修5P69B6)已知数列{an}中,a1=5,a2=2,且an=2an-1+3an-2(n≥3).对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?‎ ‎[试题评析] (1)题目以程序框图为载体给出递推数列{an},其中a1=1,an=an-1(n>1).进而由递推公式写出前5项,并利用定义判断数列{an}是等比数列.‎ ‎(2)题目以递推形式给出数列,构造数列模型bn=an+an-1(n≥2),cn=an-3an-1(n≥2),利用等比数列定义不难得到{bn},{cn}是等比数列,进而求出数列{an}的通项公式.‎ 两题均从递推关系入手,考查等比数列的判定和通项公式的求解,突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养.‎ ‎【教材拓展】 (2019·绵阳检测)已知数列{an}满足a1=1,nan+1-(n+1)an=1+2+3+…+n.‎ ‎(1)求证:数列是等差数列;‎ ‎(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎(1)证明 ∵nan+1-(n+1)an=1+2+3+…+n=,‎ ‎∴-=-=,‎ ‎∴数列是首项为1,公差为的等差数列.‎ ‎(2)解 由(1)知,=1+(n-1)=,‎ ‎∴an=.‎ ‎∴bn===2.‎ ‎∴Sn=b1+b2+…+bn=2(1-+-+…+-)=.‎ 探究提高 由数列的递推公式证明数列是等差或等比数列,并求其通项公式是数列命题的常见题型,解题的关键是通过适当的变形,转化为等差、等比等特殊的数列问题.‎ ‎【链接高考】 (2019·全国Ⅱ卷)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.‎ ‎(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;‎ ‎(2)求{an}和{bn}的通项公式.‎ ‎(1)证明 由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),‎ 即an+1+bn+1=(an+bn).又因为a1+b1=1,‎ 所以{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列.‎ 由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,‎ 即an+1-bn+1=an-bn+2.‎ 又因为a1-b1=1,‎ 所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)解 由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1,‎ 所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,‎ bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.‎ 教你如何审题——等差与等比数列的综合问题 ‎【例题】 (2018·天津卷)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.‎ ‎(1)求Sn和Tn;‎ ‎(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.‎ ‎[审题路线]‎ ‎[自主解答]‎ 解 (1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0).‎ 由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.‎ 因为q>0,可得q=2,故bn=2n-1.‎ 所以Tn==2n-1.‎ 设等差数列{an}的公差为d.‎ 由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.‎ 由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,‎ 故an=n.‎ 所以Sn=.‎ ‎(2)由(1),有 T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n ‎=-n=2n+1-n-2.‎ 由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn 可得+2n+1-n-2=n+2n+1,‎ 整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4.‎ 所以n的值为4.‎ 探究提高 1.本题主要考查利用等差、等比数列通项公式与前n项和公式计算,突出方程思想和数学运算等核心素养,准确计算是求解的关键.‎ ‎2.利用等差(比)数列的通项公式及前n 项和公式列方程(组)求出等差(比)数列的首项和公差(比),进而写出所求数列的通项公式及前n项和公式,这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法.‎ ‎3.对等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列项之间的关系,以便实现等差、等比数列之间的相互转化.‎ ‎【尝试训练】 (2019·全国Ⅱ卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.‎ 解 (1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0.‎ 解得q=-2(舍去)或q=4.‎ 因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.‎ ‎(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.‎ 满分答题示范——数列的通项与求和 ‎【例题】 (13分)(2019·天津卷)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设数列{cn}满足cn=求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*).‎ ‎[规范解答]‎ 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q>0).‎ 依题意,得解得 由条件建立方程组求公差和公比3′‎ 故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n.由公式求通项 所以{an}的通项公式为an=3n,{bn}的通项公式为bn=3n.5′‎ ‎(2)a1c1+a2c2+…+a2nc2n ‎=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn)‎ ‎ 根据数列特征分组7′‎ ‎=+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n)‎ ‎ 应用公式求和9′‎ ‎=3n2+6(1×31+2×32+…+n×3n).‎ 记Tn=1×31+2×32+…+n×3n,①‎ 则3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1,②‎ ‎②-①得,2Tn=-3-32-33-…-3n+n×3n+1‎ ‎=-+n×3n+1=.‎ ‎   错位相减求和 所以a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6Tn ‎=3n2+3× ‎=(n∈N*).13′‎ ‎[高考状元满分心得]‎ ‎❶得步骤分:抓住得分点的解题步骤,“步步为赢”,在第(1)问中,由条件式转化为关于d,q的方程组,由公式求an,bn,在第(2)问中观察数列的结构特征先分组,后用错位相减法求和.‎ ‎❷得关键分:(1)列方程组,(2)分组求和都是不可缺少的过程,有则给分,无则没分.‎ ‎❸得计算分:解题过程中计算正确是得满分的根本保证,特别是第(1)问中的解方程,起着至关重要的作用,第(2)问中的错位相减法求和是计算中的难点.‎ ‎[构建模板]‎ ‎……由等差、等比数列的通项公式列方程组求通项公式 ‎ ‎ ‎……根据数列的特征,先分组,后分别用公式法与错位相减法求和 ‎ ‎ ‎……反思解题过程,检验易错点,规范解题步骤 ‎【规范训练】 (开放题)在等差数列{an}中,已知a6=16,a18=36.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)若________,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 在①bn=,②bn=(-1)n·an,③bn=2an·an这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并对其求解.‎ 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.‎ 解 (1)由题意, 解得d=2,a1=2.‎ ‎∴an=2+(n-1)×2=2n.‎ ‎(2)选条件①:bn==,‎ Sn=++…+ ‎=++…+ ‎=1-=.‎ 选条件②:∵an=2n,bn=(-1)nan,‎ ‎∴Sn=-2+4-6+8-…+(-1)n·2n,‎ 当n为偶数时, ‎ Sn=(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n-1)+2n]‎ ‎=×2=n;‎ 当n为奇数时,n-1为偶数,‎ Sn=(n-1)-2n=-n-1.‎ ‎∴Sn= 选条件③:∵an=2n,bn=2an·an,‎ ‎∴bn=22n·2n=2n·4n,‎ ‎∴Sn=2×41+4×42+6×43+…+2n×4n,①‎ ‎4Sn=2×42+4×43+6×44+…+2(n-1)×4n+2n×4n+1,②‎ 由①-②得,‎ ‎-3Sn=2×41+2×42+2×43+…+2×4n-2n×4n+1‎ ‎=-2n×4n+1‎ ‎=-2n×4n+1,‎ ‎∴Sn=(1-4n)+·4n+1.‎ ‎ 热点跟踪训练 ‎1.(2018·全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.‎ ‎(1)求b1,b2,b3;‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;‎ ‎(3)求{an}的通项公式.‎ 解 (1)由条件可得an+1=an.‎ 将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.‎ 将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.‎ 从而b1=1,b2=2,b3=4.‎ ‎(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:‎ 由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.‎ ‎(3)由(2)可得=2n-1,‎ 所以{an}的通项公式为an=n·2n-1.‎ ‎2.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求{bn}的前n项和.‎ 解 (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.‎ 所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.‎ ‎(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,‎ 因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.‎ 记{bn}的前n项和为Sn,则 Sn==-.‎ ‎3.(2019·潍坊期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2,an,Sn成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)数列{bn}满足bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求数列的前n项和Tn.‎ 解 (1)∵2,an,Sn成等差数列,‎ ‎∴2an=2+Sn,∴Sn=2an-2.‎ 当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得a1=2;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2-2an-1+2,‎ ‎∴an=2an-1.‎ ‎∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,即通项公式为an=2n.‎ ‎(2)∵log2an=log22n=n,‎ ‎∴bn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+2+…+n ‎=n(n+1).‎ ‎∴==2.‎ ‎∴Tn=2 ‎=2=.‎ ‎4.(2020·长沙一模)已知数列{an}的首项a1=3,a3=7,且对任意的n∈N*,都有an-2an+1+an+2=0,数列{bn}满足bn=a2n-1,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求使b1+b2+…+bn>2 020成立的最小正整数n的值.‎ 解 (1)令n=1,得a1-2a2+a3=0,解得a2=5.‎ 由an-2an+1+an+2=0知,‎ an+2-an+1=an+1-an=…=a2-a1=2.‎ 故数列{an}是首项a1=3,公差d=2的等差数列.‎ 于是an=2n+1.‎ 所以bn=a2n-1=2n+1.‎ ‎(2)由(1)知bn=2n+1,于是数列{bn}的前n项和 Tn=b1+b2+…+bn=(21+22+…+2n)+n ‎=+n=2n+1+n-2.‎ 令f(x)=2x+1+x-2,则f′(x)=2x+1·ln 2+1>0,‎ 所以f(x)是关于x的单调递增函数.‎ 又f(9)=210+9-2=1 031,f(10)=211+10-2=2 056,‎ 故使b1+b2+…+bn>2 020成立的最小正整数n的值是10.‎ ‎5.(2019·泉州二模)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S1=2,an+1=Sn+2.‎ ‎(1)求证:数列{an}为等比数列;‎ ‎(2)记bn=log2an,数列的前n项和为Tn.若Tn≥10,求λ的取值范围.‎ ‎(1)证明 由已知,得a1=S1=2,‎ 则a2=S1+2=4.‎ 当n≥2时,an=Sn-1+2,‎ 所以an+1-an=(Sn+2)-(Sn-1+2)=an,‎ 所以an+1=2an(n≥2).‎ 又a2=2a1,所以=2(n∈N*).‎ 所以数列{an}是首项a1=2,公比q=2的等比数列.‎ ‎(2)解 由(1)可知an=2n,所以bn=n,‎ 则==λ,‎ 所以Tn=λ ‎=λ=.‎ 由题意,有Tn≥10,即≥10,所以λ≥.‎ 因为=10≤20,‎ 所以λ的取值范围为[20,+∞).‎ ‎6.(2020·辽宁五校联考)在等差数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,且b2+S3=11,S6=9b3.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,‎ 则解得 所以an=2n-1,bn=2n-1.‎ ‎(2)由(1)得cn=.‎ 当n=1时,T1=1;‎ 当n≥2时,‎ Tn=1+++…++,①‎ Tn=+++…++.②‎ ‎①-②,得Tn=1++++…+- ‎=1+2-=3-,‎ 所以Tn=6-(n≥2),‎ 又n=1时,T1=1也适合.‎ 综上所述,Tn=6-.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档