浙江中考数学专题训练——解答题1

浙江中考数学专题训练——解答题1

浙江中考数学专题训练——解答题1‎ ‎1．（1）计算：； ‎ ‎（2）解方程组：．‎ ‎2．如图，在五边形中，，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，求的度数．‎ ‎3．某宾馆有120间标准房，当每间标准房每天价格为100元时，每天都客满，市场调查表明每间标准房每天价格在100~180元之间（含100元，180元）浮动时，每提高5元，日均入住数减少3间，每间标准房如果有人入住每天各种费用40元，如果没人入住每天需各种费用10元，宾馆将每间标准房每天价格提高到多少元时，客房的日收益额最大？（注：收益额营业收入各种费用）‎ www.czsx.com.cn ‎4．如图，在中，平分，交外接圆于另一点，点在延长线上，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎5．如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交轴正半轴于点，连结，．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求直线的表达式；‎ ‎（3）设抛物线分别交边，延长线于点，．‎ ‎①若，求抛物线表达式；‎ ‎②若与相似，则的值为 ．（直接写出答案）‎ www.czsx.com.cn ‎6．在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计表和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：(直接填写结果)‎ 费用(元)‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎80‎ ‎100‎ 人数 ‎6‎ a ‎10‎ b ‎4‎ ‎(1)本次调查获取的样本数据的众数是　 　元，中位数是　 　元；‎ ‎(2)扇形统计图中，“50元”所对应的圆心角的度数为　 　度，该班学生购买课外书的平均费用为　 　元；‎ ‎(3)若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期购买课外书花费50元的学生有　 　人．‎ ‎7．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．‎ ‎（1）求证：BG＝CF；‎ ‎（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．‎ www.czsx.com.cn ‎8．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试营销，售价为9元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线ODE表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少4件，‎ ‎(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎(2)日销售利润不低于960元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？‎ ‎(3)工作人员在统计的过程中发现，有连续两天的销售利润之和为1980元，请你算出是哪两天．‎ ‎9．如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求⊙O直径的长．‎ ‎10．某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克（x≥5且为正整数）．‎ ‎（1）若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；‎ ‎（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；‎ ‎（3）市政府每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+‎ www.czsx.com.cn 政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．‎ ‎11．如图，已知平面直角坐标系中，点C（3，4），以OC为边作菱形OABC，且点A落在x轴的正半轴上，点D为y轴上的一个动点，设D（0，m），连结DB，交直线OC于点E．‎ ‎（1）填空：B的坐标为（　 　），sin∠AOC＝　 　；‎ ‎（2）当点D在y轴正半轴时，记△DEO的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2时，求m的值．‎ ‎（3）过点D，O，A作⊙M，交线段OC于点F．‎ ‎①当⊙M与菱形OABC一边所在的直线相切时，求所有满足条件的m的值．‎ ‎②当OD＝DE时，直接写出OE:EF的值．‎ www.czsx.com.cn 参考答案 ‎1．（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． （2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎．‎ ‎（2）‎ 解：由（1），得（3）‎ 由（2），得（4）‎ ‎，得（5），‎ 把（5）代人（4），得 ‎∴方程组的解为．‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考查了实数的运算，以及解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．‎ ‎2．（1）详见解析；（2）80°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由“ASA”可证△ABC≌△AED；‎ ‎（2）由全等三角形的性质和五边形内角和，可求∠B的度数．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）得．‎ ‎∴．‎ ‎∵五边形的内角和为 ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全等三角形的判定和性质，多边形内角和，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．‎ ‎3．宾馆将每间标准房每天价格提高到165元时，客房的日收益额最大．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设宾馆客房租金每间日租金为x元，以及客房租金收入为y，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：设每间标准房每天价格为元，客房的日收益额为元，由题意，得 ‎，‎ 化简，得：；‎ ‎∵，‎ ‎∵，‎ ‎∵在范围内，‎ ‎∴当时，客房的日收益额最大．‎ 答：宾馆将每间标准房每天价格提高到165元时，客房的日收益额最大．‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考查了二次函数的应用，以及二次函数最值问题，由营业额=入住房间数量×房价得出函数解析式及二次函数的性质是解题关键．‎ ‎4．（1）详见解析；（2）12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接AD，由等腰三角形的性质得到∠E=∠DBA，由角平分线的性质得到∠DBC=∠DBA，根据全等三角形的性质即可得到结论；‎ ‎（2）过D作DH⊥AB于H，于是得到EH=EB=4，根据勾股定理即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）连结，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵平分，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵四边形内接于圆，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎（2）作于．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 则．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎5．（1）点的坐标为；（2）；（3）①；②．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得对称轴，由对称性可知C点坐标；‎ ‎（2）利用待定系数法求解可得；‎ ‎（3）①由AE=3AO的关系，建立K型模型相似，求得点E坐标代入解析式可得；‎ ‎②若△CDB与△BOA相似，则∠OAB=∠CDB=90°，由相似关系可得点D坐标，代入解析式y=ax2-2ax可得a值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）把代入，得，‎ 解得：，或．‎ ‎∵点在轴正半轴上，‎ ‎∴点的坐标为．‎ ‎（2）设直线表达式为，把点，分别代入，‎ 得，解得，‎ ‎∴直线的表达式为：．‎ ‎（3）①作轴于点，于点（如图），‎ ‎∵，，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 由，得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴点坐标为．‎ 把代入，得，‎ 解得：．‎ ‎∴．‎ ‎②若△CDB与△BOA相似，如图，作DG⊥BC，‎ ‎∴，∠OAB=∠CDB=90°，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴点D的坐标为：（，），‎ 把点D代入，即 解得：；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题是二次函数的综合问题，考查了二次函数的基本性质，数形结合与K型模型的使用，以及相似存在性问题，内容综合较好，难度相当入门级压轴问题．‎ ‎6．（1）30，50;（2）90，50.5;（3）250．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断； （2）根据题意列出算式，求出即可； ‎ ‎（3）利用1000乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵a=40×30%=12,b=40×20%=8,‎ ‎∴众数是：30元，中位数是：50元； 故答案是：30，50； （2）圆心角的度数为：360°×=90°,‎ ‎×（6×20+12×30+10×50+8×80+4×100）=50.5（元）， 故答案为50.5； （3）调查的总人数是：6+12+10+8+4=40（人）， 则估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有：1000×=250（人）． 故答案是：250．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎7．（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用ASA判定△BGDCFD，从而得出BG=CF；‎ ‎（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵BG∥AC，‎ ‎∴∠DBG＝∠DCF．‎ ‎∵D为BC的中点，‎ ‎∴BD＝CD 又∵∠BDG＝∠CDF，‎ 在△BGD与△CFD中，‎ ‎∵‎ ‎∴△BGD≌△CFD（ASA）．‎ ‎∴BG＝CF．‎ ‎（2）BE+CF＞EF．‎ ‎∵△BGD≌△CFD，‎ ‎∴GD＝FD，BG＝CF．‎ 又∵DE⊥FG，‎ ‎∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．‎ ‎∴在△EBG中，BE+BG＞EG，‎ 即BE+CF＞EF．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．‎ ‎8．（1） ；（2）试销售期间，日销售最大利润是1080元；（3）连续两天的销售利润之和为1980元的是第16，17两天和第25，26两天．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据点D的坐标利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式，根据第23天销售了340件，结合时间每增加1天日销售量减少4件，即可求出线段DE的函数关系式，联立两函数关系式求出交点D的坐标，此题得解； （2）分0≤x≤18和18＜x≤30，找出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于960元的天数，再根据点D的坐标结合日销售利润=单件利润×日销售数，即可求出日销售最大利润;‎ ‎(3) 设第x天和第（x＋1）天的销售利润之和为1980元,据此列出方程，根据取值范围解答即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎（2）当0≤x≤18时，根据题意得，（9﹣6）×20x≥960，解得：x≥16；‎ 当18＜x≤30时，根据题意得，（9﹣6）×（－4x＋432）≥960，解得：x≤28．‎ ‎∴16≤x≤28． 28－16＋1＝13（天），‎ ‎∴日销售利润不低于960元的天数共有13天． ‎ 由20x＝－4x＋432解得，x＝18，‎ 当x＝18时，y＝20x＝360，∴点D的坐标为（18，360），‎ ‎∴日最大销售量为360件，‎ ‎360×（9－6）＝1080（元），‎ ‎∴试销售期间，日销售最大利润是1080元． ‎ ‎（3）设第x天和第（x＋1）天的销售利润之和为1980元．‎ ‎∵1980÷（9﹣6）＝660＜340×2，‎ ‎∴x＜17，或x＋1＞23， ‎ 当x＜17时，根据题意可得20x＋20（x＋1）＝660，解得x＝16，符合， ‎ 当x＋1＞23时，－4x＋432－4（x＋1）＋432＝660，解得x＝25，符合，‎ ‎∴连续两天的销售利润之和为1980元的是第16，17两天和第25，26两天．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一次函数的应用、待定系数法一次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求出OD的函数关系式以及依照数量关系找出DE的函数关系式．‎ ‎9．（1）见解析；（2）⊙O直径的长是4．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论； （2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BDC∽△BED，求出BD，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）连接BD，交AC于F，‎ ‎∵DC⊥BE，‎ ‎∴∠BCD＝∠DCE＝90°，‎ ‎∴BD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠DEC+∠CDE＝90°，‎ ‎∵∠DEC＝∠BAC，‎ ‎∴∠BAC+∠CDE＝90°，‎ ‎∵弧BC=弧BC，‎ ‎∴∠BAC＝∠BDC，‎ ‎∴∠BDC+∠CDE＝90°，‎ ‎∴BD⊥DE，‎ ‎∴DE是⊙O切线；‎ 解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，‎ ‎∴BD⊥AC．‎ ‎∵BD是⊙O直径，‎ ‎∴AF＝CF，‎ ‎∴AB＝BC＝8，‎ ‎∵BD⊥DE，DC⊥BE，‎ ‎∴∠BCD＝∠BDE＝90°，∠DBC＝∠EBD，‎ ‎∴△BDC∽△BED，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BD2＝BC•BE＝8×10＝80，‎ ‎∴BD＝4．‎ 即⊙O直径的长是4．‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，第二问中求出BC=8是解本题的关键．‎ ‎10．（1）该日瓯柑的单价是10元/千克；（2）w＝﹣2x2+44x（5≤x≤15，且x为正整数）；x＝11时，w有最大值是242元，x＝5时，w有最小值是170元；（3）所有符合题意的a值为：106，107，108．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程可解答；‎ ‎（2）根据题意，利用销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，根据二次函数的性质及配方法可求得答案；‎ ‎（3）由题意得：340≤-2x2+44x+a≤350，由二次函数的对称性可知x的取值为9，10，11，12，13，从而计算可得a值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意得：34﹣2(x﹣5)＝24，‎ 解得 x＝10，‎ 答：该日瓯柑的单价是10元/千克；‎ ‎（2）根据题意得：w＝x[34﹣2(x﹣5)]＝﹣2x2+44x＝﹣2(x2﹣22x+121﹣121)＝﹣2(x﹣11)2+242，‎ 由题意得：5≤x≤15，且x为正整数，‎ ‎∵﹣2＜0，‎ ‎∴x＝11时，w有最大值是242元，‎ x＝5时，w有最小值是﹣2(5﹣11)2+242＝170元；‎ 则w关于x的函数表达式为：w＝x[34﹣2(x﹣5)]＝﹣2x2+44x（5≤x≤15，且x为正整数）；‎ ‎（3）由题意得：340≤﹣2x2+44x+a≤350‎ ‎∵只有5种不同的单价使日收入不少于340元，5为奇数 ‎∴由二次函数的对称性可知，x的取值为9，10，11，12，13‎ 当x＝9或13时，﹣2x2+44x＝234，；当x＝10或12时，﹣2x2+44x＝240，当x＝11时，﹣2x2+44x ‎＝242‎ ‎∵补贴后不超过350元，234+106＝340，242+108＝350‎ ‎∴当a＝106，或107，或108时符合题意．‎ 答：所有符合题意的a值为：106，107，108．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的应用；得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．‎ ‎11．（1）（8，4），；（2）m＝；（3）①满足条件的m的值为或；②OE:EF的值8:5．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）如图1中，作CH⊥OA于H．根据点C的坐标求出OH，CH 利用勾股定理求出OC即可解决问题；‎ ‎（2）如图1中，延长BC交OD于F．由S1=S2，推出S△OCF=S△BDF，由此构建方程即可解决问题；‎ ‎（3）①分两种情形：如图2中，当⊙M与BC相切时，根据PQ=DM，构建方程即可解决问题．如图3中，当⊙M与AB相切时，AD⊥AB，设AD交OC于Q．根据tam∠OAD=tan∠DOC=，构建方程即可解决问题；‎ ‎②如图4中，作BG⊥BC交OC的延长线于G，连接DF，AF，作FP⊥OA于P．首先求出BG，再证明BE=BG，根据DE+BE=BD，构建方程求出m，设OF=5k，则FP=4k，OP=3k，在Rt△APF中，根据AF2=PF2+PA2，构建方程求出k即可解决问题．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图1中，作CH⊥OA于H．‎ ‎∵C(3，4)，CH⊥OA，‎ ‎∴OH＝3，CH＝4，‎ ‎∴OC＝＝＝5，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴OA＝AB＝OC＝BC＝5，BC∥OA，‎ ‎∴B(8，4)，‎ ‎∴sin∠AOC＝＝．‎ ‎（2）如图1中，延长BC交OD于F．‎ ‎∵S1＝S2，‎ ‎∴S△OCF＝S△BDF，‎ ‎∴×3×4＝×(4﹣m)×8，‎ 解得m＝．‎ ‎（3）①如图2中，延长BC交OD于P，作MQ⊥OD于Q．‎ 当⊙M与BC相切时，PQ＝DM．‎ 则有4﹣＝，‎ 解得m＝．‎ 如图3中，当⊙M与AB相切时，AD⊥AB，设AD交OC于Q．‎ ‎∵OC//AB，‎ ‎∴OC⊥AD，‎ ‎∴∠AQD＝90°，‎ ‎∴∠DOQ+∠AOQ＝90°，∠AOQ+∠OAQ＝90°，‎ ‎∴∠DOQ＝∠OAQ，‎ ‎∴tam∠OAD＝tan∠DOC＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴m＝．‎ 综上所述，满足条件的m的值为或．‎ ‎②如图4中，作BG⊥BC交OC的延长线于G，连接DF，AF，作BH⊥OG于H，作FP⊥OA于P．‎ ‎∵BC//OA，‎ ‎∴tan∠GCB＝tan∠COA＝＝，‎ ‎∴BG＝，‎ ‎∵OD//BG，‎ ‎∴∠G＝∠DOE，‎ ‎∵DO＝ED，‎ ‎∴∠DOE＝∠DEO＝∠BEG，‎ ‎∴∠G＝∠BEG，‎ ‎∴BE＝BG＝，‎ ‎∵DE+BE＝BD，‎ ‎∴(m+)2＝82+(4﹣m)2，‎ 解得m＝，‎ 设OF＝5k，则FP＝4k，OP＝3k，‎ ‎∵∠ODF＝∠DAF，‎ ‎∴tan∠DAF＝＝，‎ ‎∴sin∠DAF＝，‎ ‎∵AD＝＝，‎ ‎∴AF＝，‎ 在Rt△APF中，∵AF2＝PF2+PA2，‎ ‎∴×(m2+25)＝(4k)2+(5﹣3k)2，‎ 把m＝代入，整理得：45k2﹣54k+13＝0，‎ 解得k＝（舍去）或，‎ ‎∴OF＝．‎ ‎∵sin∠G＝sin∠DAF＝，‎ ‎∴GH=，‎ ‎∴EG=2GH=，‎ ‎∵BG//OD，‎ ‎∴△ODE∽△GBE，‎ ‎∴，‎ ‎∵OE＝，‎ ‎∴EF＝OF﹣OE＝，‎ ‎∴＝＝．‎ ‎【点睛】‎ 本题属于圆的综合题，考查了解直角三角形的应用，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．‎