高考数学二轮复习教案:第二编 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高考数学二轮复习教案:第二编 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形

第2讲 三角恒等变换与解三角形 ‎「考情研析」  正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:1.边和角的计算. 2.三角形形状的判断. 3.面积的计算. 4.有关参数的范围问题.由于此内容应用性较强,与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点,不可轻视.‎ 核心知识回顾 ‎1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;‎ cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;‎ tan(α±β)=.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α=2sinαcosα;‎ cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;‎ tan2α=;‎ cos2α=,sin2α=.‎ ‎3.辅助角公式 asinα+bcosα= sin(α+φ).‎ ‎4.正弦定理 ===2R(2R为△ABC外接圆的直径).‎ 变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.‎ sinA=,sinB=,sinC=.‎ a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.‎ ‎5.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.‎ 推论:cosA=,‎ cosB=,‎ cosC=.‎ ‎6.面积公式 S△ABC=bcsinA=acsinB=absinC.‎ ‎7.常用结论 ‎(1)三角形内角和A+B+C=π;‎ ‎(2)a>b>c⇔A>B>C⇔sinA>sinB>sinC;‎ ‎(3)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC.‎ 热点考向探究 考向1 三角恒等变换与求值 例1 (1)已知α为第一象限角,cosα=,则 =(  )‎ A. B. C. D.- 答案 C 解析 ∵cosα=且α为第一象限角,∴sinα=,sin2α=2sinαcosα=2××=,cos2α=2cos2α-1=2×2-1=-,∴===.‎ ‎(2)已知θ∈(0,π),且sin=,则tan2θ=(  )‎ A. B. C.- D. 答案 C 解析 ∵sin=(sinθ-cosθ)=,∴sinθ-cosθ=.∵θ∈(0,π),且sin2θ+cos2θ=1,‎ ‎∴∴tanθ=,tan2θ==-.‎ ‎(3)(2019·四川德阳高三第二次诊断)已知α为锐角,且tanα=,则cos=(  )‎ A.- B.- C. D. 答案 A 解析 cos=-sin2α=-2sinαcosα ‎===-.‎ ‎(1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”,即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”,其中涉及sin2,cos2时,常逆用二倍角余弦公式降幂.‎ ‎(2)常见的“变角”技巧:α=(α+β)-β=β-(β-α),α=[(α+β)+(α-β)],+α=-,α=-等,使用“变角”技巧时,应根据已知条件中的角,选择恰当变角技巧.‎ ‎1.在△ABC中,若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC的值为(  )‎ A.- B. C. D.- 答案 B 解析 由tanAtanB=tanA+tanB+1,可得=-1,即tan(A+B)=-1.又因为A,B是△ABC的内角,即A+B∈(0,π),所以A+B=,易知C=,cosC=.‎ ‎2.(2019·辽宁抚顺高三一模)已知函数f(x)=sinx-cos,若在区间上f(x)≥a恒成立,则实数a的最大值是(  )‎ A.- B.- C. D. 答案 A 解析 函数f(x)=sinx-cos=sinx-cosx=sin,由于0≤x≤,故-≤x-≤,-≤sin≤.当x=0时,函数的最小值为-.由于在区间上f(x)≥a恒成立,故a≤-,所以a的最大值为-.故选A.‎ ‎3.已知tan=,且-<α<0,则等于(  )‎ A.- B.- C.- D. 答案 A 解析 由tan==,得tanα=-.又-<α<0,所以sinα=-.故==2sinα=-.‎ 考向2 正弦定理与余弦定理的应用 例2 (2019·辽宁抚顺高三一模)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,若a=10,角B是最小的内角,且3c=4asinB+3bcosA.‎ ‎(1)求sinB的值;‎ ‎(2)若c=14,求b的值.‎ 解 (1)由3c=4asinB+3bcosA且A+B+C=π,由正弦定理得3sinC=4sinAsinB+3sinBcosA,即3sin(A+B)=4sinAsinB+3sinBcosA,由于00,整理可得3cosB=4sinB,又sinB>0,所以sinB=.‎ ‎(2)因为角B是最小的内角,所以00,所以AD=3.‎ 真题押题 ‎『真题模拟』‎ ‎1.(2019·山东聊城高三一模)设函数f(x)=sinx-cosx,若对于任意的x∈R,都有f(2θ-x)=f(x),则sin=(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 B 解析 f(x)=sinx-cosx=sin,由f(2θ-x)=f(x),得x=θ是函数f(x)的对称轴,得θ-=+kπ,k∈Z,得θ=+kπ,k∈Z.∴sin=sin=sin=-.故选B.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 由题可知S△ABC=absinC=,所以a2+b2-c2=2absinC.由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,所以sinC=cosC.∵C∈(0,π),∴C=.故选C.‎ ‎3.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin2α=cos2α+1,则sinα=(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 由2sin2α=cos2α+1,得4sinαcosα=2cos2α.‎ 又∵α∈,∴tanα=,∴sinα=.故选B.‎ ‎4.(2019·河南顶级名校高三四模)已知α∈,β∈,sin(2α+β)=sinβ,cosβ的最小值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 因为sin(2α+β)=sinβ,即sin[(α+β)+α]=sin[(α+β)-α],则sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα],有sin(α+β)cosα=5cos(α+β)sinα⇒tan(α+β)=5tanα,即=5tanα,那么tanβ==,∵α∈,β∈,∴tanα>0,tanβ>0,∴tanβ≤=,当5tanα=即tanα=时等号成立.因此tan2β==≤,即cos2β≥,又β∈‎ eq blc(rc)(avs4alco1(0,f(π,2))),cosβ>0⇒cosβ≥.故选A.‎ ‎5.(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=______.‎ 答案 - 解析 解法一:因为sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,所以(1-sinα)2+(-cosα)2=1,所以sinα=,cosβ=,因此sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×-cos2α=-1+sin2α=-1+=-.‎ 解法二:由(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=1,得2+2sin(α+β)=1,所以sin(α+β)=-.‎ ‎6.(2019·浙江高考)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=________,cos∠ABD=________.‎ 答案   解析 如图,易知sin∠C=,‎ cos∠C=.在△BDC中,由正弦定理可得=,‎ ‎∴BD===.由∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°,可得cos∠ABD=cos(90°-∠CBD)=sin∠CBD=sin[π-(∠C+∠BDC)]=sin(∠C+∠BDC)=sin∠C·cos∠BDC+cos∠C·sin∠BDC=×+×=.‎ ‎『金版押题』‎ ‎7.已知sinx+cosx=,则cos=(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 B 解析 sinx+cosx=2=2=2cos=,‎ 即cos=.‎ ‎8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若=,则cosB=(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 B 解析 在△ABC中,由正弦定理,得==1,‎ ‎∴tanB=,又B∈(0,π),∴B=,cosB=.故选B.‎ 配套作业 一、选择题 ‎1.在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点M的坐标为(,1),则cos的值是(  )‎ A.- B.0‎ C. D.1‎ 答案 B 解析 由已知得sinα=,cosα=,所以cos=cosα-sinα=0.‎ ‎2. (2019·贵州凯里第一中学模拟)如图,是我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积为225,小正方形的面积为9,直角三角形较小的锐角为α,则sin2α=(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 ∵大正方形的面积为225,小正方形的面积为9,∴大正方形的边长为15,小正方形的边长为3.设四个全等的直角三角形的长直角边为x,则短直角边为x-3,由勾股定理得x2+(x-3)2=152,解得x=12,α为直角三角形较小的锐角,所以sinα=,cosα=,所以sin2α=2sinαcosα=.‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若 a=b,A=2B,则cosB=(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 ∵a=b,由正弦定理,得sinA=sinB.①‎ 又∵A=2B,∴sinA=sin2B,sinA=2sinBcosB.②‎ 由①②且角B为△ABC的内角得cosB=.‎ ‎4.(2019·内蒙古呼和浩特市3月质检)在平面直角坐标系中,角α的终边过P(-2,1),则cos2α-sin2α的值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 ∵在平面直角坐标系中,角α的终边过P(-2,1),∴tanα==-,则cos2α-sin2α===,故选B.‎ ‎5.(2019·四川德阳第二次模拟)在△ABC中,BD是AC边上的高,A=,cos∠ABC=-,则=(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 ∵cos∠ABC=-,∴sin∠ABC==,sinC=sin=(sin∠ABC+cos∠ABC)=,∵BD是AC边上的高,∴BD=BCsinC=BC,‎ 如图,由正弦定理可知=,即AC=BC,∴==,故选A.‎ ‎6.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB=(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 在△ACD中,由余弦定理可得cosC==,则sinC=.在△ABC中,由正弦定理可得=,则AB=,选A.‎ ‎7.(2019·河南信阳高三模拟)已知函数f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1,且y=f(x)的图象沿x轴方向平移m个单位后所得的图象关于坐标原点对称,则|m|的最小值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1=sin2x-cos2x=2sin,将y=f(x)的图象向左平移m个单位(若m<0,则为向右平移-m个单位),得到g(x)=2sin,因为平移后图象关于点(0,0)对称,将(0,0)代入g(x),得sin=0,可得2m-=kπ,k∈Z,m=+,k∈Z,则|m|的最小值为.故选C.‎ 二、填空题 ‎8.已知cos+sinα=,则cos的值是________.‎ 答案 - 解析 ∵cos+sinα=cos=,‎ ‎∴cos=2cos2-1=-.‎ ‎9.(2019·辽宁辽南协作体高三一模)已知cosα=,α∈,则的值为________.‎ 答案 - 解析 由cosα=,α∈,得sinα=-=-,∴==‎ eq f(cosα,sinα)==-.‎ ‎10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin2A-sin2B=sinBsinC,sinC=2sinB,则A=________.‎ 答案 30°‎ 解析 根据正弦定理可得a2-b2=bc,c=2b,解得a=b.根据余弦定理cosA= ‎==,得A=30°.‎ ‎11.已知不等式3sincos+cos2--m≤0对任意的-≤x≤恒成立,则实数m的取值范围是________.‎ 答案 [,+∞)‎ 解析 依题意得,3sincos+cos2--m=sin+cos-m=sin-m≤0在上恒成立,∴m≥sin在上恒成立,由于-≤+≤,‎ ‎∴-≤ sin≤ ,故m≥ .‎ 三、解答题 ‎12.(2019·上海金山区第二学期质检)已知△ABC中,tanA=,tanB=,AB=.求:‎ ‎(1)角C的大小;‎ ‎(2)△ABC中最小边的边长.‎ 解 (1)tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)‎ ‎=-=-=-1,所以C=.‎ ‎(2)因为tanA0),则在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB·BDcosB,即=25x2+×49x2-2×5x××7x×,解得x=1,所以a=7,c=5,故S△ABC= acsinB=10.‎ 三角函数与解三角形类解答题 ‎(12分)已知函数f(x)=sinωxcosωx-sin2ωx+1(ω>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为.‎ ‎(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间;‎ ‎(2)已知a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,且满足a=,f(A)=1,求△ABC面积S的最大值.‎ 解题思路 (1)首先将函数解析式化为“一角一函数”的形式,然后利用函数图象中对称轴之间的距离确定函数的周期,从而求得ω的值,最后利用换元法求得函数的递减区间;(2)根据第(1)问所得,利用f(A)=1求得角A,再根据余弦定理建立b,c的关系式,利用基本不等式求得bc的最大值,将其代入面积公式即可.‎ 解 (1)f(x)=sin2ωx-+1=sin+.(3分)‎ 因为函数f(x)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为,所以T=π,即=π,所以ω=1.(4分)‎ 所以f(x)=sin+.‎ 令+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(6分)‎ ‎(2)由f(A)=1得sin=.因为2A+∈,‎ 所以2A+=,得A=.(8分)‎ 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即()2=b2+c2-2bccos,(9分)‎ 所以bc+3=b2+c2≥2bc,解得bc≤3,当且仅当b=c时等号成立.(11分)‎ 所以S△ABC=bcsinA≤×3×=.‎ 故△ABC面积S的最大值为.(12分)‎ ‎1.化简:用诱导公式、和角公式、差角公式和倍角公式化简给3分.‎ ‎2.求ω值:运用三角函数的对称轴及周期性求ω值给1分.‎ ‎3.求单调区间:利用三角函数的单调区间求f(x)的单调区间给2分.‎ ‎4.求角:已知三角函数值求角给2分.‎ ‎5.建立关系式:利用余弦定理得出b,c的关系式给1分.‎ ‎6.求最值:利用基本不等式求出bc的最大值给2分.‎ ‎7.求面积最值:代入面积公式求最大值给1分.‎ ‎1.发现差异:观察角、函数运算的差异,即进行所谓的“差异分析”.‎ ‎2.寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系.‎ ‎3.合理转化:选择恰当的公式促使差异的转化.‎ ‎4.挖掘隐含:如定义域、锐角、三角函数值的正负对角的范围的影响,将已知的三角函数值与特殊角的三角函数值比较、缩小角的范围等等.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎(2019·天津九校联考)(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若b=c,且2sinB=sinA.‎ ‎(1)求sinB的值;‎ ‎(2)求cos的值;‎ ‎(3)若b=2,求△ABC的面积.‎ 解 (1)因为2sinB=sinA,‎ 所以2b=a,即a=b,(1分)‎ 所以cosB===,(3分)‎ 因为B∈(0,π),所以sinB=.(4分)‎ ‎(2)由(1)可知cosB=.(5分)‎ 因为sin2B=2sinBcosB=2××=,‎ cos2B=2cos2B-1=2×2-1=-.(6分)‎ 所以cos=cos2Bcos-sin2Bsin ‎=-×-×=-.(8分)‎ ‎(3)因为b=2,所以c=2,a=,(10分)‎ 所以S△ABC=acsinB=××2×=.(12分)‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档