高考数学二轮复习教案：仿真模拟卷一
仿真模拟卷
仿真模拟卷一
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∪B＝{x|x>1} B．A∪B＝R
C．A∩B＝{x|x<0} D．A∩B＝∅
答案 C
解析 集合B＝{x|3x<1}，即B＝{x|x<0}，而A＝{x|x<1}，所以A∪B＝{x|x<1}，A∩B＝{x|x<0}．
2．记复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A. B．1 C．2 D．2
答案 A
解析 由(1－i)＝2i，可得＝＝＝－1＋i，所以z＝－1－i，|z|＝.
3．设a＝ln，b＝20.3，c＝2，则( )
A．a
1，又00，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则使f(a＋x)－f(a－x)＝0成立的a的最小正值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由图象易知，A＝2，f(0)＝1，即2sinφ＝1，且|φ|<，即φ＝，由图可知，f＝0，所以sin＝0，所以·ω＋＝2kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z，又由图可知，周期T>⇒>，得ω<，且ω>0，所以k＝1，ω＝2，所以函数f(x)＝2sin，因为f(a＋x)－f(a－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于x＝a对称，即有2a＋＝kπ＋，k∈Z，所以可得a＝＋，k∈Z，所以a的最小正值为.
9．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f＝1，当x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，则实数m＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，f＝1，且x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，∴f＝log2＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1.
10．在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于( )
A．66 B．132 C．－66 D．－132
答案 D
解析 因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，所以a3＋a9＝－24，又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12，S11＝＝＝－132.
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为a，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知等腰△ABP中，|AB|＝|AP|＝2a，设∠ABP＝∠APB＝θ，F1为双曲线的左焦点，
则∠F1AP＝2θ，其中θ必为锐角．
∵△ABP外接圆的半径为a，∴2a＝，
∴sinθ＝，cosθ＝，
∴sin2θ＝2××＝，
cos2θ＝2×2－1＝.
设点P的坐标为(x，y)，
则x＝－a－|AP|cos2θ＝－，y＝|AP|sin2θ＝，
故点P的坐标为.
由点P在双曲线上，得－＝1，
整理得＝，∴e＝＝ ＝.
12．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805～1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y＝f(x)＝其中R为实数集，Q为有理数集．则关于函数f(x)有如下四个命题：
①f[f(x)]＝0；②函数f(x)是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 当x为有理数时，f(x)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0.∴当x为有理数时，f[f(x)]＝f(1)＝1；当x为无理数时，f[f(x)]＝f(0)＝1，∴无论x是有理数还是无理数，均有f[f(x)]＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故②正确；当T∈Q时，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对x∈R恒成立，故③正确；取x1＝，x2＝0，x3＝－，f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0，∴A，B(0,1)，C，△ABC恰好为等边三角形，故④正确，故选C.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知x，y满足约束条件x，y∈R，则x2＋y2的最大值为________．
答案 8
解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．x2＋y2表示可行域内的点(x，y)到原点距离的平方．
由图形可得，可行域内的点A或点B到原点的距离最大，且A(2，－2)，B(2,2)，又|OA|＝|OB|＝2，∴(x2＋y2)max＝8.
14．设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是________．
答案 2
解析 设AB＝AC＝AA1＝x，在△ABC中，∠BAC＝120°，则由余弦定理可得BC＝x.
由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径为r＝x，
又∵球的表面积是40π，∴球的半径为R＝.
设△ABC外接圆的圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，有2＋x2＝10，解得x＝2，即AA1＝2.∴直三棱柱的高是2.
15．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图，在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．
答案
解析 由七巧板的构造可知，△BIC≌△GOH，故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等，而S梯形EFOH＝S△DOF＝×S正方形ABDF＝S正方形ABDF，
∴所求的概率为P＝＝.
16．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*，n≥1)，则数列{Sn}的通项公式为________．
答案 Sn＝3n－2n
解析 ∵an＋1＝Sn＋3n＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1＝2Sn＋3n，
∴＝·＋，∴－1＝，
又－1＝－1＝－，
∴数列是首项为－，公比为的等比数列，
∴－1＝－×n－1＝－n，
∴Sn＝3n－2n.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且bcosA＝sinA(acosC＋ccosA)．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解 (1)∵bcosA＝sinA(acosC＋ccosA)，
∴由正弦定理可得，
sinBcosA＝sinA(sinAcosC＋sinCcosA)
＝sinAsin(A＋C)＝sinAsinB，
即sinBcosA＝sinAsinB，∵sinB≠0，∴tanA＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵A＝，a＝2，△ABC的面积为，
∴bcsinA＝bc＝，∴bc＝5，
∴由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA，
即12＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－15，
解得b＋c＝3，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋3＝5.
18．(本小题满分12分)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(3)若二面角E－BD－F的余弦值为，求线段CF的长．
解 依题意，可以建立以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，
B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，1,0)，
E(0,0,2)．设CF＝h(h>0)，
则F(1,2，h)．
(1)证明：依题意，＝(1,0,0)是平面ADE的法向量，又＝(0,2，h)，可得·＝0，又因为直线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE.
(2)依题意，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(－1，－2,2)．
设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则
即不妨令z＝1，
可得n＝(2,2,1)．
因此有cos〈，n〉＝＝－.
所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.
(3)设m＝(x′，y′，z′)为平面BDF的法向量，
则即
不妨令y＝1，可得m＝.
由题意，有|cos〈m，n〉|＝＝＝，
解得h＝.经检验，符合题意．
所以线段CF的长为.
19．(本小题满分12分)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)求的最小值及此时点G的坐标．
解 (1)由题意得＝1，即p＝2.
所以抛物线的准线方程为x＝－1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)．令yA＝2t,2t≠0，则xA＝t2.
由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2－y－4＝0，
故2tyB＝－4，即yB＝－，所以B.
又由于xG＝(xA＋xB＋xC)，yG＝(yA＋yB＋yC)及重心G在x轴上，故2t－＋yC＝0，得
C，G.
所以直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，
得Q(t2－1,0)．
由于Q在焦点F的右侧，故t2>2.从而
＝
＝
＝＝2－.
令m＝t2－2，则m>0，
＝2－＝2－
≥2－＝1＋.
当m＝时，取得最小值1＋，此时G(2,0)．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝mex－x2＋3，其中m∈R.
(1)当f(x)为偶函数时，求函数h(x)＝xf(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间[－2,4]上有两个零点，求m的取值范围．
解 (1)由函数f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即me－x－(－x)2＋3＝mex－x2＋3对于任意实数x都成立，所以m＝0.
此时h(x)＝xf(x)＝－x3＋3x，则h′(x)＝－3x2＋3.
由h′(x)＝0，解得x＝±1.
当x变化时，h′(x)与h(x)的变化情况如下表所示：
所以h(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增．
所以h(x)有极小值h(－1)＝－2，极大值h(1)＝2.
(2)由f(x)＝mex－x2＋3＝0，得m＝.
所以“f(x)在区间[－2,4]上有两个零点”等价于“直线y＝m与曲线g(x)＝，x∈[－2,4]有且只有两个公共点”．
对函数g(x)求导，得g′(x)＝.
由g′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：
所以g(x)在(－2，－1)，(3,4)上单调递减，在(－1,3)上单调递增．
又因为g(－2)＝e2，g(－1)＝－2e，g(3)＝g(－1)，
所以当－2e
查看更多
