高考数学二轮复习教案：第二编 专题八 第2讲 新定义型、创新型、应用型试题突破
第2讲 新定义型、创新型、应用型试题突破
「考情研析」 本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．
核心知识回顾
1.新定义型问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．
2．创新型问题
创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．
3．实际应用型问题
将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．
热点考向探究
考向1 新定义型问题
例1 (1)(2019·北京市顺义区高三第二次统练)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于∀(x1，y1)∈M，∃(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；M2＝{(x，y)|y＝ln x}；M3＝{(x，y)|y＝ex}；M4＝{(x，y)|y＝sinx＋1}．其中是“互垂点集”集合的为( )
A．M1 B．M2 C．M3 D．M4
答案 D
解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合M1，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝x＋1＝0不成立，所以集合M1不是“互垂点集”．对于集合M2，x>0，当x1＝1时，y1＝0，x1x2＋y1y2＝x2＝0不成立，所以集合M2不是“互垂点集”．对于集合M3，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝ex2
＝0不成立，所以集合M3不是“互垂点集”．排除A，B，C.故选D.
(2)若函数y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A，B]为y＝f(x)的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数f(x)＝恰好由两个“友情点对”，则实数a的值为( )
A．－2 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 首先注意到(0，a)没有对称点，当x>0时，f(x)＝－x3＋6x2－9x＋a，则－f(－x)＝－x3－6x2－9x－a，即－x3－6x2－9x－a＝2(x<0)有两个实数根，即a＝－x3－6x2－9x－2(x<0)有两个实数根．画出y＝－x3－6x2－9x－2(x<0)的图象如图所示，由图可知a＝2 时有两个解．
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．
1．若数列{an}满足－＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{an}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 依题意可得bn＋1＝pbn，则数列{bn}为等比数列．又b1b2b3·…·b99＝299＝b，则b50＝2.b8＋b92≥2＝2b50＝4，当且仅当b8＝b92，即该数列为常数列时取等号．
2．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第五次调研)定义两个实数间的一种新运算：x*y＝lg (10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c，给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，其中正确的是( )
A．② B．①② C．②③ D．①②③
答案 D
解析 根据运算法则，可知(a*b)*c＝lg (10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg (10a＋10b＋10c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正确；结合相应式子的运算律，可知a*b＝b*a，故②正确；(a*b)＋c＝lg (10a＋10b)＋c.(a＋c)*(b＋c)＝lg (10a＋c＋10b＋c)＝lg [10c(10a＋10b)]＝lg (10a＋10b)＋c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，故③正确；所以正确的是①②③，故选D.
考向2 创新型问题
例2 (1)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝102，那么可以估计π的值约为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 (构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有＝，解得π＝.
(2)(2019·重庆模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 本题考查古典概型和排列组合．依题意，从5种物质中任取2种，共有C＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P＝，故选C.
高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．
1．(2019·南充市高三第一次高考适应性考试)在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a
3，故选B.
3．(2019·上海市嘉定(长宁)区高三二模)对于△ABC，若存在△A1B1C1，满足＝＝＝1，则称△ABC为“V类三角形”．“V类三角形”一定满足( )
A．有一个内角为30° B．有一个内角为45°
C．有一个内角为60° D．有一个内角为75°
答案 B
解析 由对称性，不妨设A1和B1为锐角，则A1＝－A，B1＝－B，所以A1＋B1＝π－(A＋B)＝C，于是cosC＝sinC1＝sin(A1＋B1)＝sinC，即tanC＝1，解得C＝45°，故选B.
4．(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是( )
A．① B．② C．①② D．①②③
答案 C
解析 由x2＋y2＝1＋|x|y，当x＝0时，y＝±1；当y＝0时，x＝±1；当y＝1时，x＝0，±1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，D(1,1)，
E(－1,0)，F(－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y>0时，x2＋y2＝1＋|x|y＝1＋|xy|≤1＋，所以x2＋y2≤2，所以≤，故②正确．如图，由①知长方形CDFE面积为2，三角形BCE面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.
5．(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”．
(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求证：数列{an}为“M数列”；
(2)已知数列{bn}(n∈N*)满足：b1＝1，＝－，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m为正整数．若存在“M数列”{cn}(n∈N*)，对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck＋1成立，求m的最大值．
解 (1)证明：设等比数列{an}的公比为q，
所以a1≠0，q≠0.
由得
解得因此数列{an}为“M数列”．
(2)①因为＝－，所以bn≠0.
由b1＝1，S1＝b1，得＝－，则b2＝2.
由＝－，得Sn＝.
当n≥2时，由bn＝Sn－Sn－1，得
bn＝－，
整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
因此，数列{bn}的通项公式为bn＝n(n∈N*)．
②由①知，bk＝k，k∈N*.
因为数列{cn}为“M数列”，设公比为q，所以c1＝1，q>0.
因为ck≤bk≤ck＋1，所以qk－1≤k≤qk，
其中k＝1,2,3，…，m(m∈N*)．
当k＝1时，有q≥1；
当k＝2,3，…，m时，有≤ln q≤.
设f(x)＝(x>1)，则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，得x＝e.列表如下：
x
(1，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值
因为＝<＝，
所以f(k)max＝f(3)＝.
取q＝，当k＝1,2,3,4,5时，≤ln q，即k≤qk，经检验知qk－1≤k也成立．因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6，分别取k＝3,6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在．因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5.
『金版押题』
6．已知一族双曲线En：x2－y2＝(n∈N*，n≤2019)，设直线x＝2与En在第一象限内的交点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，Cn，记△AnBnCn的面积为an，则a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝________.
答案
解析 设An(x0，y0)，可得x－y＝.
双曲线En：x2－y2＝(n∈N*，n≤2019)的渐近线方程为
x－y＝0，x＋y＝0.
由点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，Cn，不妨设Bn在第一象限内，可得|AnBn|＝，
|AnCn|＝，易知双曲线En的两条渐近线互相垂直，可得AnBn⊥AnCn，
则△AnBnCn的面积an＝|AnBn|·|AnCn|＝··＝＝n，则a1＋a2＋
a3＋…＋a2019＝××2019×2020＝.
配套作业
一、选择题
1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x](其中[x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案 C
解析 根据题意，当x＝16时y＝1，所以A，B不正确；当x＝17时y＝2，所以D不正确，故选C.
2.(2019·黄山市高三第二次质量检测)2018年，晓文同学参加工作，月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为( )
A．7000 B．7500 C．8500 D．9500
答案 C
解析 参加工作时就医费为7000×15%＝1050，设目前晓文同学的月工资为
x，则目前的就医费为10%·x，因此10%·x＝1050－200＝850，∴x＝8500.故选C.
3．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：
甲说胡老师不是上海人，是福州人；
乙说胡老师不是福州人，是南昌人；
丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人．
听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对．由此可推测胡老师( )
A．一定是南昌人 B．一定是广州人
C．一定是福州人 D．可能是上海人
答案 D
解析 若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意；
若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙对一半，符合题意；
若胡老师是上海人，则甲全错，乙一对一错，丙全对，符合题意；
若胡老师是广州人，则甲一对一错，乙一对一错，丙一对一错，不符合题意．
4．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( )
A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2
C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2
答案 C
解析 不妨设a≤b，c≤d，则a∨b＝b，c∧d＝c.若b<2，则a<2，∴ab<4，与ab≥4矛盾，∴b≥2.故a∨b≥2.若c>2，则d>2，∴c＋d>4，与c＋d≤4矛盾，∴c≤2.故c∧d≤2.故选C.
5．某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，当学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉”到学生A的运动是( )
A．逆时针方向匀速前跑 B．顺时针方向匀速前跑
C．顺时针方向匀速后退 D．静止不动
答案 C
解析 令操场的周长为C，则学生B每隔50秒看一次，学生A都距上一次学生B观察的位置(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的．
6．对函数f(x)，如果存在x0≠0使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(e，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 B
解析 由题意可知，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，即y1＝ex1－a，y2＝ex2－a，因为关于原点对称，所以ex1－a＝－ex2＋a，即2a＝ex1＋ex2≥2＝2＝2，因为x1≠x2，所以a>1，故选B.
7．若存在正实数a，b，使得∀x∈R有f(x＋a)≤f(x)＋b恒成立，则称f(x)为“限增函数”．给出以下三个函数：①f(x)＝x2＋x＋1；②f(x)＝；③f(x)＝sin(x2)，其中是“限增函数”的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③
答案 B
解析 对于①，f(x＋a)≤f(x)＋b即(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，即2ax≤－a2－a＋b，x≤对一切x∈R恒成立，显然不存在这样的正实数a，b.对于②，f(x)＝，即≤＋b，|x＋a|≤|x|＋b2＋2b，而|x＋a|≤|x|＋a，
∴|x|＋a≤|x|＋b2＋2b，则≥，显然，当a≤b2时式子恒成立，∴f(x)＝是“限增函数”．对于③，f(x)＝sin(x2)，－1≤f(x)＝sin(x2)≤1，故f(x＋a)－f(x)≤2，当b≥2时，对于任意的正实数a，b都成立．故选B.
8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(lg 2≈0.3，lg 1.3≈0.11，lg 1.12≈0.05)
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
答案 D
解析 设从2017年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n>200，∴1.12n>，两边取常用对数得nlg 1.12>lg ，∴n>≈＝3.8，∴n≥4，故选D.
9．(2019·湖南省宁乡一中、攸县一中高三联考)
微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK或点赞．加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )
A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
答案 D
解析 根据折线图得中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程在2月、7月、8月、11月减少，月跑步平均里程高峰期大致在9月、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故选D.
二、填空题
10．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．
答案 3800
解析 设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y＝
如果稿费为4000元应纳税为448元，现知，某人共纳税420元，∴稿费应在800～4000元之间，
∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.
11．(2019·北京市东城区高三综合练习)设A，B是R上的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝
(1)若A⊆B，则对任意x∈R，m(1－n)＝________；
(2)若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B的关系为________．
答案 (1)0 (2)A＝∁RB
解析 (1)∵A⊆B.则当x∉A时，m＝0，m(1－n)＝0.
当x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m(1－n)＝0.
综上可得m(1－n)＝0.
(2)对任意x∈R，m＋n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即当x∈A时，必有x∉B或x∈B时，必有x∉A，
∴A，B的关系为A＝∁RB.
12．(2019·濮阳市高二下学期升级考试)某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的天数最大是________．
答案 3
解析 ∵A完成后，C才可以开工；B，C完成后，D才可以开工，完成A，C，D需用时间依次为2，x,4天，
且A，B可以同时开工，又∵该工程共需9天，
∴2＋xmax＋4＝9⇒xmax＝3.
13．(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝________，若实数a0，V(x)单调递增，
故V(0)
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